苏科版七年级数学下册第7章平面图形的认识二 练习题一.docx

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苏科版七年级数学下册第7章平面图形的认识二练习题一

七年级数学下册第7章平面图形的认识

（二）

练习题一

1．如图，CE是∠ACD的平分线，过点A作CD的平行线交CE于点B．

（1）补全图形；

（2）求证：

∠ACB＝∠ABC；

（3）点P是射线CE上的一点（点P不与点B和点C重合），连接AP，∠PCD＝α，∠PAB＝β，∠APC＝γ，请直接写出α，β与γ之间的数量关系．

2．已知，AE∥BD，∠A＝∠D．

（1）如图1，求证：

AB∥CD；

（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，求证：

∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；

（3）如图3，在

（2）的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．

3．如图，直线AB与CD交于点F，锐角∠CDE＝α，∠AFC+α＝180°．

（1）求证：

AB∥DE；

（2）若G为直线AB（不与点F重合）上一点，∠FDG与∠DGB的角平分线所在的直线交于点P．

①如图2，α＝50°，G为FB上一点，请补齐图形并求∠DPG的度数；

②直接写出∠DPG的度数为　　（结果用含α的式子表示）．

4．如图，如果AB∥CD，证明∠B+∠E＝∠C+180°．

请阅读以下证明过程，并补全所空内容．

证明：

过点E作直线EF，使得EF∥AB．

∵EF∥AB，∴∠B+　　＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

又∵AB∥CD，∴EF∥　　（平行于同一直线的两条直线平行）．

∴∠FEC＝∠C（　　）．

∵∠BEC＝∠BEF+∠FEC．

∴∠B+∠BEC＝∠B+∠BEF+∠FEC．

故：

∠B+∠BEC＝　　+∠C（等量代换）．

5．如图：

已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．

（1）求证：

EF∥BH；

（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．

6．如图，AB∥CD，点E在BD上．

（1）试探讨∠BFE、∠DGE和∠FEG三者之间的关系，并说明理由；

（2）已知∠BFE＝∠BEF，∠DEG＝∠DGE，试判断线段EF与EG的位置关系，并说明理由．

7．已知：

如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．

①求证：

BD∥CE．

②若∠A＝40°，求∠F的值．

8．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．

小明：

老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”．即

已知：

如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．

求证：

∠AEC＝∠A+∠C．

小明笔记上写出的证明过程如下：

证明：

过点E作EF∥AB，

∴∠1＝∠A．

∵AB∥CD，EF∥AB，

∴EF∥CD．

∴∠2＝∠C．

∵∠AEC＝∠1+∠2，

∴∠AEC＝∠A+∠C．

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．

（1）如图2，若AB∥CD，∠E＝60°，则∠B+∠C+∠F＝　　．

（2）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，E、B、H共线，F、C、H共线，则∠H＝　　．

9．已知：

如图，线段AC和BD相交于点G，连接AB，CD，E是CD上一点，F是DG上一点FE∥CG，且∠1＝∠A．

（1）求证：

AB∥DC；

（2）若∠B＝30°，∠1＝63°，求∠EFG的度数．

10．如图，MN，EF分别表示两面镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经过镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，且AB∥CD．求证：

MN∥EF．

参考答案

1．解：

（1）根据题意作图如下，

（2）∵AB∥CD，

∴∠ABC＝∠BCD，

∵∠ACB＝∠BCD，

∴∠ACB＝∠ABC；

（3）当点P在B、C两点之间时，α+β＝γ，如图2，过P点作PQ∥AC于点Q，

∴∠CPQ＝∠PCD＝α，∠APQ＝∠BAP＝β，

∴∠CPQ+∠APQ＝α+β，

∴∠APC＝α+β，即α+β＝γ；

当点P在CB的延长线上时，α﹣β＝γ，如图3，过P作PQ∥AC于点Q，

∴∠CPQ＝∠PCD＝α，∠APQ＝∠BAP＝β，

∴∠CPQ﹣∠APQ＝α﹣β，

∴∠APC＝α﹣β，即α﹣β＝γ．

2．

（1）证明：

∵AE∥BD，

∴∠A+∠B＝180°，

∵∠A＝∠D，

∴∠D+∠B＝180°，

∴AB∥CD；

（2）证明：

如图2，过点E作EP∥CD，

∵AB∥CD，

∴AB∥EP，

∴∠PEA＝∠EAB，∠PEC＝∠ECF，

∵∠AEC＝∠PEC﹣∠PEA，

∴∠AEC＝∠ECF﹣∠EAB，

即∠ECF＝∠AEC+∠EAB，

∵AF是∠BAE的平分线，

∴∠EAF＝∠FAB＝

EAB，

∵FH是∠CFG的平分线，

∴∠CFH＝∠HFG＝

CFG，

∵CD∥AB，

∴∠BHF＝∠CFH，∠CFA＝∠FAB，

设∠FAB＝α，∠CFH＝β，

∵∠AFH＝∠CFH﹣∠CFA＝∠CFH﹣∠FAB，

∴∠AFH＝β﹣α，∠BHF＝∠CFH＝β，

∴∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+∠EAB+2∠AFH＝∠AEC+2α+2（β﹣α）＝∠AEC+2β，

∴∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；

（3）解：

如图，延长DC至点Q，

∵AB∥CD，

∴∠QCA＝∠CAB，∠BGM＝∠DFG，∠CFH＝∠BHF，∠CFA＝∠FAG，

∵∠ACE＝∠BAC+∠BGM，

∴∠ECQ+∠QCA＝∠BAC+∠BGM，

∴∠ECQ＝∠BGM＝∠DFG，

∵∠ECQ+∠ECD＝180°，∠DFG+∠CFG＝180

°，

∴∠ECF＝∠CFG，

由

（2）问知：

∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+2∠BHF，∠CFG＝2∠CFH＝2∠BHF，

∴∠AEC＝2∠AFH，

∵2∠AEC﹣3∠AFH＝20°，

∴∠AFH＝20°，

由

（2）问知：

∠CFM＝2β，∠FHG＝β，

∵FH⊥HM，

∴∠FHM＝90°，

∴∠GHM＝90°﹣β，

过点M作MN∥AB，

∴MN∥CD，

∴∠CFM+∠NMF＝180°，∠GHM＝∠HMN＝90°﹣β，

∴∠HMB＝∠HMN＝90°﹣β，

由

（2）问知：

∠EAF＝∠FAB，

∴∠EAF＝∠CFA＝∠CFH﹣∠AFH＝β﹣20°，

∴∠EAF+∠GMH＝β﹣20°+90°﹣β＝70°，

∴∠EAF+∠GMH＝70°．

3．

（1）证明：

∵∠AFC+∠AFD＝180°，∠AFC+α＝180°，

∴∠AFD＝α＝∠CDE，

∴AB∥DE；

（2）解：

①如图即为补齐的图形，

∵∠FDG与∠DGB的角平分线所在的直线交于点P，

∴∠FDG＝2∠FDP＝2∠GDP，∠DGB＝2∠DGQ＝2∠BGQ，

由

（1）知AB∥DE，

∴∠DFB＝180°﹣α＝180°﹣50°＝130°，

∵∠DGB＝∠FDG+∠DFG，

∴2∠DGQ＝2∠GDP+130°，

∴∠DGQ＝∠GDP+65°，

∵∠DGQ＝∠GDP+∠DPG，

∴∠DPG＝65°；

②由①知∠DPG＝

DFB＝

（180°﹣α）＝90°﹣

．

故答案为：

90°﹣

．

4．证明：

过点E作直线EF，使得EF∥AB．

∵EF∥AB，

∴∠B+∠BEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

又∵AB∥CD，

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线平行）．

∴∠FEC＝∠C（两直线平行，内错角相等）．

∵∠BEC＝∠BEF+∠FEC．

∴∠B+∠BEC＝∠B+∠BEF+∠FEC．

故：

∠B+∠BEC＝180°+∠C（等量代换）．

故答案为：

∠BEF；CD；两直线平行，内错角相等；180°．

5．证明：

（1）∵∠HCO＝∠EBC，

∴EB∥HC．

∴∠EBH＝∠CHB．

∵∠BHC+∠BEF＝180°，

∴∠EBH+∠BEF＝180°．

∴EF∥BH．

（2）∵∠HCO＝∠EBC，

∴∠HCO＝∠EBC＝64°，

∵BH平分∠EBO，

∴∠EBH＝∠CHB＝

∠EBC＝32°．

∵EF⊥AO于F，EF∥BH，

∴∠BHA＝90°．

∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．

∵∠CHO＝180°﹣∠FHC

＝180°﹣122°

＝58°．

6．解：

过点E作EF∥AB，如图所示：

（1）∠FEG＝∠BFE+∠DGE，理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠BFE＝∠1，

又∵EF∥AB，

∴EF∥CD，

∴∠2＝∠DGE，

又∵∠FEG＝∠1+∠2，

∴∠FEG＝∠BFE+∠DGE；

（2）EF⊥EG，理由如下：

∵∠BFE＝∠BEF，∠DEG＝∠DGE，

∴∠1＝∠BEF，∠2＝∠DEG，

又∵∠1+∠2+∠BEF+∠DEG＝180°，

∴∠1+∠2＝90°，

∴EF⊥EG．

7．解：

如图，

①证明：

∵∠1＝∠2，∠1＝∠5，

∴∠2＝∠5，

∴BD∥CE；

②∵BD∥CE，

∴∠3+∠C＝180°，

∵∠3＝∠4，

∴∠4+∠C＝180°，

∴DF∥AC，

∴∠F＝∠A＝40°，

答：

∠F的值为40°．

8．解：

（1）过点E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，如图2所示：

∵EM∥AB，

∴∠1＝∠B，

又∵FN∥AB，

∴FN∥EM，

∴∠2＝∠3，

又∵AB∥CD，

∴FN∥CD，

∴∠4+∠C＝180°，

又∵∠BEF＝∠1+∠2，∠EFC＝∠3+∠4，∠BEF＝60°

∴∠B+∠EFC+∠C＝∠1+∠3+∠4+∠C

＝（∠1+∠2）+（∠4+∠C）

＝60°+180°

＝240°；

（2）过点G、H作EF∥AB，MN∥AB，如图3所示：

∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，

∴∠ABG＝2∠1，∠DCG＝2∠4，

又∵EF∥AB，

∴2∠1+∠7＝180°，

又∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴2∠4+∠8＝180°，

∴∠7+∠8＝360°﹣2（∠1+∠4），

又∵∠7+∠8+∠BGC＝180°，

∴2（∠1+∠4）＝∠BGC+180°，

又∵MN∥AB，

∴∠1＝∠5，

又∵AB∥CD，

∴MN∥CD，

∴∠4＝∠6，

∴2（∠5+∠6）＝∠BGC+180°，

又∵∠5+∠6+∠BHC＝180°，

∴∠BGC+2∠BHC＝180°，

又∠BGC＝∠BHC+27°，

∴3∠BHC+27°＝180°，

∴∠BHC＝51°；

故答案为：

240°，51°．

9．解：

（1）∵FE∥CG，

∴∠1＝∠C．

又∵∠1＝∠A，

∴∠C＝∠A，

∴AB∥DC；

（2）∵AB∥DC，

∴∠D＝∠B＝30°．

∵∠1＝63°，

∴∠EFG＝∠D+∠1＝30°+63°＝93°．

10．证明：

∵AB∥CD，

∴∠ABC＝∠BCD，

∵∠1+∠ABC+∠2＝∠3+∠BCD+∠4＝180°，

∴∠1+∠2＝∠3+∠4，

又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠2＝∠3，

∴MN∥EF．