江苏省苏锡常镇届高三数学二模试题.docx

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江苏省苏锡常镇届高三数学二模试题

江苏省苏锡常镇2020届高三数学二模试题

第I卷（必做题，共160分）

、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置

上．）

1．已知集合A＝xx1，B＝x0x3，则AIB＝．

34i2．已知复数z，其中i是虚数单位，则z＝．

x22

3．已知双曲线C的方程为y21，则其离心率为．

4．根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为．

5．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：

4：

3，现按年级

用分层抽样的方法抽取若千人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量

为．

6．口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取

两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为．

S7．已知等比数列an的前n项和为Sn，若a62a2，则12＝．

nn62S8

8．函数f（x）cos（x）（0）的图像关于直线x对称，则的最小值为．

2a212b24

9．已知正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为．

10．已知偶函数f（x）的定义域为R，且在［0，）上为增函数，则不等式f（3x）f（x22）的解集为．

11．过直线l：

yx2上任意点P作圆C：

x2y21的两条切线，切点分别为A，B，当切线最小时，△PAB的面积为．

12．已知点P在曲线C：

yx2上，曲线C在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直

的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为．

13．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，以AB为直径在△ABC外作半uuruuuru8uuuruuur

圆O，P为半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若ABAQ＝，则AQCP的最

小值为．

14．已知e为自然对数的底数，函数f（x）exax2的图像恒在直线yax上方，则实数a的取值范围为．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥P—ABC中，过点P作PD⊥AB，垂足为D，E，F分别是PD，PC的中点，

且平面PAB⊥平面PCD．

（1）求证：

EF∥平面PCD；

（2）求证：

CE⊥AB．

16．（本小题满分14分）

1）求角A的大小；

2）若cos（B＋）＝，求cosC的值．

17．（本小题满分14分）某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．

（1）若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；

（2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2y21（a>b>0）的左、右顶点分a2b2

别为A1（﹣2，0），A2（2，0），右准线方程为x＝4．过点A1的直线交椭圆C于x轴上方的点P，

交椭圆C的右准线于点D．直线A2D与椭圆C的另一交点为G，直线OG与直线A1D交于点H．

1）求椭圆C的标准方程；

2）若HG⊥A1D，试求直线A1D的方程；

uuuuruuuur

3）如果A1HA1P，试求的取值范围．

19．（本小题满分16分）

已知函数f（x）

x2（2a）xalnx，其中aR．

1）如果曲线yf（x）在x＝1处的切线斜率为1，求实数a的值；

2）若函数f（x）的极小值不超过a，求实数a的最小值；

3）对任意x1[1，2]，总存在x2[4，8]，使得f（x1）＝f（x2）成立，求实数a的

取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知数列an是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，nN

a1a2a2a3Lan1an（n1）a1an恒成立．

111

1）如果1，1，1成等差数列，求实数的值；a1a2a3

10分共计20分，

21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

A．选修4—2：

矩阵与变换

已知矩阵A＝21，其逆矩阵A1＝bc，求A2．

0a01

B．选修4—4：

坐标系与参数方程

（为参数）．以坐

N的极坐标分別为

x22cos

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

y32sin

标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l上两点M，

（2，0），（23，），求直线l被曲线C截得的弦长．

C．选修4—5：

不等式选讲

已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝2，求证：

必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程

或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

C：

y24x的焦点为F，过F的直线l交抛物

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线线C于A，B两点．

1）求线段AF的中点M的轨迹方程；

2）已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．

23．（本小题满分10分）

已知数列an，a12，且an1an2an1对任意nN恒成立．

1）求证：

an1anan1an2La2a11（nN）；

2）求证：

an1nn1（nN）．

15.证明：

住三棱^P^ABC中：

（1）因为厶F分别是PD,PG的中点,所UEF为XCD的中位线，••••••2分

则有EF〃CD•••••••3分

乂EFU面XBC,CDU面ABC.

则有ZT〃平面ABC.……7分

（2）N为平面丄平面PCD∙平面PABΓ∖平面PCD二PD•

ABI.PD∙MU平面PAR,

所VIAB丄平面PCD9Il分

又CEU平面PCD.则•仏丄CE\14分

∣6.解：

（1）由正弦定理F=一τ=r，且血=土沁SlnΛSInZJSInCCSinC

ZfclV?

sinA2-COSJ

SinCSinC

倚—=一•

R1JW√3sinJ=2-cosJ,即V3sinJ+COSA=2.2sin（J+-）=2t

•…4分

••••••6

则Sin（J+^）=1,

Iππ7πππJr

因为HG（0’π）fJIjJ+—∈•▼!

4lJ÷~=TT即丿=〒•

666623

（2）在厶ABCI1,因为—f1Ψ1Bw（（）,〒•）.∈（—▼[）■则sin（3+；）>0.

33666□

乂因为CoS（B+三）一丄，则sin（5÷-）≡Jl-cos2（^÷H="‘•

646X64

・・・・・・«分

又tt∆ABC中，J+Z∕+C-π•

……9分

所以COSC二cos（π-J-^）=-CoS（J十〃）二一COS（3十彳）

••・••・10分

--cos[（f?

+-）+—]--cos（tf+—）cos-+sin（Z?

+—）sin-

666666

√3II√15√Γ5-√3

二X——×=•

••••••14分

24248

17•解：

设圆锥形容器的底面半径为厂米.高为〃米.母线为/米.例面枳为5平方米,

容积为7立方米，则Γ=36π・

<1）由r=6,=^nrIh=36π,得Λ=3,1分

所以S=JW√=ItrylrZ+A2=6崗6：

43：

=18V?

Jt，2分

/底而积为πr2-36z（平方米）>3分

故该容器的表面积为（18√5π+36π）=18（2+√5）π（平方米）•4分

该容器的表面枳为1&2*√5）7t半方米•

（2）因为r=fπ∕⅞=36x∙得r2=3><36π=Jo8其中巾〉°

3Xhh

所以S=Tvi=IU∙Jf+/F=π∖Jιμ+t∙3h'=π^~yτ^+~y^^=7i^^γτ-+108Λ

当必（Q6）时，∕,（λ）

当必（6,4oo）时，f（h）>0,f（h）在（6.+∞）上单调递增.••••••12分

数学答窠弟2页（共8页）

18•解:

（1）由椭圆C的左、右顶点分別为J1（-2,0）.J2（IO）f右准线方程为x∙4得:

«=2.—=4,故c=hb=a1-c?

=3・2分

所以椭圆C'的方程为v÷4=1①.••••••3分

（2）设直线AiDZy=^（x+2）（Λ>0）②•则与右准线λ=4的空点D（4∙从）.

乂J2（2.0）.所以i殳直线AJ）：

V=3A（Λ-2）tK⅛L

（1）得：

14分

•15分

16分

因为丽=JI丽.所以（・t〃+2∙VzZ）=∕i（Jz>+2,yr）.则yu=λyr.

Ylk

A=2k=^）=I⅛5=I±4^=_^!

_=_1

yp∖2k12十+512^+9-4,4

3+4P3+4“3+4”

因为/（灯在（0,+◎为减函数，

所以λ∈Λ∣）.

19•解：

因为f（χ}=χ2+（2-a）x-aInX»所以厂（X）=

（v÷l∏2r-Λ）

（!

）因曲线v=∕（v）在Xi处的切线斜率为l∙所以/'（122（27）=1,

得«=|.・・・・・•2分

（2）①当αWO时，八x）>O在（O,-WCxg成立,即/⑴在（0,+8）单调暹增,

故函数/（口不存在极值.・•・・・•3分

②当Λ>OIM,令f（Λ）=O.得Λ=∙^.

（（）；）

（p+∞）

rω

—

∕ω

、

极小值

则/⑴“二/白二—牛"In駅•冈为“>0•则〉斗-In耳€0.

2422242

令^^）=T-T-InT=T+,n2，则g（σ）=~7-丄Vo,

242244a

则g（α）在（θ∙+∞）单调递减，7分

Z^<2）=O.所以X⑷«

（2）=0.则心2・则实数α的诫小伯为2.・・・•・•8分

（3）记/（x）在⑴2]上的值域/-JA.住[4周上的值域为〃・

“任^x∣e[l∙2]•总存⅛r2e[4∙8]∙使得/（打）=/（勺）成立-等价于aAQB99.

①当Yl或彳$8.即広2或心16时.IlJ

（2）∕ω∕E[L8]±为单调函数,

不合题意：

••••••9分

®当lv^≤2,EP2<α≤4时，由

（2）知：

/（x）在（0,彳）上单调递减,

（分R）上单调遥增，故∕⅛eA,{U∕（⅛e5.不合题意：

・・••・・10分

厶厶厶

因为OVln2vl,则2<2+ln2<3,即4<—<—^―<8.

32+ln2

•7

又與为c>2∙7∙汁ii{,Je3>24∙则J,2∙UlJ->ln21=41n2tIl∣）7>81n2∙

13分

所以此时：

島g

④为4v^

15分

•16分

叫斗kJlC6,则8<α≤-⅛-・

7+3In277*31n2

S∣6一77

综丄:

S—rτZ一∑τ^r・

2+In27÷3ln2

20•解2（I）因为"23且刃wN°时•4角+$殆+…十恒成立•

则”=3时，叽+吆产2曲,因为数列S爲各项都不为0.同除叱5得:

2ΛI1

—=—+—・1分

乂因为丄•丄•丄成等至数列■则二=丄+丄＞2分

o∣∏2Cj∏2引Oy

比较得：

—β"~＞所以Λ=L3分

⅛⅛

a∖aia2

1I2

（2）①当-1./1-3时∙nia2÷QE=2al∏.①'整理得一+—=—a∖

IIlI

则=②•

a2alaia2

当”=4时.aχa2+a2a5+竹①=3°冋③.

③-①得：

αg=3αq-2α/,B*——,X2H，

Mlll∖U∖UXu>

~IllIC

所以=④•

α4aiQ、aI

当刃N3时.λi<72+λ2λ3+∙∙∙+6fλ.iλi=（n-1）λ1λzi.

ola2^alai+—+at^latl+ana9^≡nala^l两式相减得：

In/I-1

"M∙ι="5%ι∙（"-l八因为〜工0,得：

~=^"一—6分

a∖4aħ-∖

1∕ι+ln~•〃'//+1n

进叽厂订订，所以厂…二

②设数列[丄!

公差为d,令c”=丄，Cl=—=c（c≠0）»'∕lJh=Cl=C,br-C-=c÷J,

d-c2-cl=b]_b\=Cq-C・

当j=2时，⅛=c,=⅛»从而g=l,b2=bi得α1=α2»与已知不符.10分

⅛/=3⅛T由bι=cvcq2=c+2J=c+2c（^-1）•得g'=]+2（g_l）.

11分

得q=l,与己知不符•

当f=l时，由δ3=q,CqI=c,得g'=l,则q=-l（上面已证q≠∖）为整数•

数列｛»｝为：

c、-Ctc,∙∙∙;数列｛ς,｝中，c∣=c,c2=-cf公差d=-2c.

数列｛%｝每一项都是｛ςl｝中的项（C=Cjf-c=c2）.12分

当∕≥4时，由by=C（ICq-=c÷（r—∖）d=c+（Z-I）C（^-I）,得g~—（z—l）q+（j—2）=O,

得q=∖（舍去），q=i-2（∕≥4）为正整数.・・・・・・14分

因为Cg=C+〃，bi=q■

对任意的正整数斤刁4,欲证明®是数列｛ς,｝屮的项，只需：

bk-Cq1-Ci+xd=b3+x（Cq-C）=CCJ2+X（Cq-C）有正整数解X.等价于：

√-,=√2÷.v（<7-1）,X=（I-~f-为正整数.

因为T=C+d,⅛=Cif

对任意的正整数AM4,欲证明力足数列｛ςl｝中的项，只需：

⅛=Cqk1=CJ+xd=bi+x（C（I-C）=C（Il^X（Cef-C）有正整数解兀等价于：

严=孑十也_i）,*亡二£为正整数

q一I

因为2亡¥=纟"二表示首项为『,公比为q=i-2（∕≥4）.q-∖q-ι

共—3（A）项的等比数列的相，所以X为止整数.

S[：

Io肚;]•

10分

21B.解：

由X=PCoS（7.V=PSill^,得:

Λf（2,0）,N（3∙√J）,则直线/：

y=√3（j-2）,

曲线U：

（x-2）2+（y+√3）2-4,圆心为（2,-√J）,半径r=2,则圆心到直线/的距离为〃=∣2ξ2^I=√Σ,

则直线/被曲线r截得的戎浪为2厶厂庐二√B.

10分

21C∙解：

因为α>0,b>0,c>0,α十b十c_2,由柯西不等式得：

[（&十I）十（C十"）十（“+〃）]+

n+cc+aΛ÷D

=[w"（g）pE）[（島卜磐/+h⅛1]

≥∖∣b+c-^^+>Jc+a丁伫=++b

√6+c√c÷λ

=（α+b十T）=2?

则丄+£+丄A、严3

Λ+cc+αa（6十e）十（C十"）+（α∙b）4

所以-^-+―4-—>1.

b^cC^UU^b

10分

22.解：

因为抛物线方程为y1=4rt所以F（LO）.••••••1分

（1>设W（x・刃・丿（心Jo）-

因为"为线段"的中点，则X=凹亍=丿二¥，•・・・・•2分

则r0=2τ-i.VO=2J代入抛物找方程得,∕=2x-l,

即点M的轨迹方稈为尸=2x-1・・・・・・・4分

（2）设J（Xy∣>B（xγy2）r不妨设y↑>0∣y2<0,

i殳ZX""和∕∖BOF的而积分别为»52.

囚为AdOB的面积是ZJJO厂面积的3倍.即Sl^=35?

所以S1=25,.

因5,=^C?

F-.i

门，S2=^OF∙∣j2∣=-^F-y2.则.Vi=-2>∙2Φ.・・・・・•6分

UtAB：

X=A+1（40）②,与y2=4x联立，消去X得:

√-4iV-4=0,

yl;=2/±2√∕y+l•片+必=缶③.Jl>,2=-4®»8分

由①③④可得・代入②，得直线厶V=2√2（X-I）:

同理当Jl<0»>2>O时，得直线厶y=-2√2（r-b.

10分

综1.・宜线/的方稈为：

J=±2√2（T-1）.

23∙还明,

（1）为"_1时.勺一α"-1）十1三3十严1成立•

假设∕ι=A时,结论成立，UPdA.1=UkUl1--U2CZ1+1.

当/r=A十1时.ak:

="“|（兔訂_1）十I=IIM（UMJ・••色a〕十I_1）十I

MM"」••仲I+1•

则当M=A,÷1时"命题成立.综上：

flff-∣=（Inat_Idn_2∙∙∙a2al+1.4分

（2）要证$a^l>λλ+1,由

（1）%∣=Q工勺・2…勺。

+1■

R≡tiE:

叭心…叭角川，下用数学归纳法证明：

当/F=L2,3时，0=2,a?

=3,αλ-7,则2>b2×3>22,2χ3×7>3∖

假设λ=A

«!

>AA»6分

β,J∕ι=A+1时.α^1fl4∙∙∙α2α1-（UkakI∙∙∙d2α1+1）铐的l∙∙∙α2d1

2999a2alY>A：

（7分

设Λa）=2λInA-（A+1）hι（λ+1）（x≥3）>

三Cl（FUK—e≡c）c—（e）y⅛u∙）J≡•毎®S采EJM£

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