江苏省苏锡常镇届高三数学二模试题.docx

1、江苏省苏锡常镇届高三数学二模试题江苏省苏锡常镇 2020 届高三数学二模试题第 I 卷(必做题，共 160 分)、填空题(本大题共 14小题，每小题 5 分，共 70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上)1已知集合 A x x 1 ， B x 0 x 3 ，则 AI B 3 4i 2已知复数 z ，其中 i是虚数单位，则 z 5ix2 23已知双曲线 C 的方程为 y2 1，则其离心率为 44根据如图所示的伪代码，最后输出的 i 的值为 5某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4：4： 3，现按年级用分层抽样的方法抽取若千人，若抽取的高三年级的学生数为 15，则抽取的样本容量为6口装中有形

2、状大小完全相同的四个球，球的编号分别为 1，2， 3，4若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于 6 的概率为 S 7已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a6 2a2 ，则 12 n n 6 2 S88函数 f (x) cos( x )( 0) 的图像关于直线 x 对称，则 的最小值为 2a2 1 2b2 49已知正实数 a，b 满足 ab 1，则 的最小值为 ab10已知偶函数 f (x)的定义域为 R，且在0 ， )上为增函数，则不等式 f(3x) f(x2 2) 的解集为 11过直线 l ： y x 2上任意点 P作圆 C： x2 y2 1的两条切线，切点分别为

3、A，B，当 切线最小时， PAB的面积为 1212已知点 P在曲线 C： y x2上，曲线 C在点 P处的切线为 l ，过点 P且与直线 l 垂直2的直线与曲线 C的另一交点为 Q，O为坐标原点 ，若 OPOQ，则点 P 的纵坐标为 13如图，在等腰直角三角形 ABC中， ABC90， AB2，以 AB为直径在 ABC外作半 uuru uuru 8 uuur uuur圆 O，P为半圆弧 AB上的动点，点 Q在斜边 BC上，若 AB AQ ，则 AQ CP的最3小值为 314已知 e 为自然对数的底数，函数 f （x） ex ax2的图像恒在直线 y ax 上方，则实 数 a 的取值范围为 二、

4、解答题（本大题共 6 小题，共计 90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ）15（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 P ABC中，过点 P作 PDAB，垂足为 D，E，F 分别是 PD，PC的中点，且平面 PAB平面 PCD（ 1）求证： EF平面 PCD；（ 2）求证： CE AB16（本小题满分 14 分）1）求角 A 的大小；12）若 cos（B ） ，求 cosC 的值6417（本小题满分 14 分） 某工厂拟制造一个如图所示的容积为 36 立方米的有盖圆锥形容器 （ 1）若该容器的底面半径为 6 米，求该容器的表面积； （2）当容器的高为多少

5、米时，制造该容器的侧面用料最省？18（本小题满分 16 分）22如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 C： x2 y2 1（ab0） 的左、右顶点分 a2 b2别为 A1（ 2，0） ，A2（2 ，0） ，右准线方程为 x4过点 A1的直线交椭圆 C于 x轴上方的点 P，交椭圆 C的右准线于点 D直线 A2D与椭圆 C的另一交点为 G，直线 OG与直线 A1D 交于点 H1）求椭圆 C 的标准方程；2）若 HG A1D，试求直线 A1D的方程；uuuur uuuur3）如果 A 1H A 1P，试求 的取值范围19（本小题满分 16 分）已知函数 f （ x）2x2 (2 a)x a l

6、n x ，其中 a R1）如果曲线 y f（x）在 x 1处的切线斜率为 1，求实数 a的值；2）若函数 f （x） 的极小值不超过 a，求实数 a 的最小值；23）对任意 x1 1 ，2 ，总存在 x2 4 ，8 ，使得 f （x1） f （ x2 ）成立，求实数 a的取值范围20（本小题满分 16 分）已 知 数 列 an 是 各 项 都 不 为 0 的 无 穷 数 列 ， 对任 意 的 n 3， n Na1a2 a2 a3 L an 1an (n 1)a1an 恒成立1111）如果 1 ， 1 ， 1 成等差数列，求实数 的值； a1 a2 a3an10 分共计 20 分，21【选做题】

7、本题包括 A， B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修 4 2：矩阵与变换已知矩阵 A 2 1 ，其逆矩阵 A 1 b c ，求 A20 a 0 1B选修 4 4：坐标系与参数方程（ 为参数 ） 以坐N的极坐标分別为x 2 2cos在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C的参数方程为y 3 2sin标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 上两点 M，（2， 0） ，（ 2 3 ， ） ，求直线 l 被曲线 C截得的弦长6b2C选修 4 5：不等式选讲已知正数 a，b，c 满足 a b c 2，求证：必做题】第 22 题

8、、第 23 题，每题 10 分，共计 20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）C： y2 4x的焦点为 F，过 F 的直线 l 交抛物在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 线 C于 A，B 两点1）求线段 AF 的中点 M的轨迹方程；2）已知 AOB的面积是 BOF面积的 3 倍，求直线 l 的方程23（本小题满分 10 分）已知数列 an ， a1 2 ，且 an 1 an2 an 1对任意 n N 恒成立1)求证： an 1 anan 1an 2L a2a1 1(n N ) ；2)求证： an 1 nn 1( n N ) 15.证明：住三棱P ABC

9、中：（1）因为厶F分别是PD, PG的中点,所UEF为XCD的中位线，2分则有EF CD 3分乂 EFU 面 XBC , CDU 面 ABC .则有ZT 平面ABC. 7分（2） N为平面丄平面PCD平面PAB平面PCD二PD ABI. PD MU 平面 PAR ,所VIAB丄平面PCD9 Il分又CEU平面PCD .则仏丄CE 14分6.解：(1)由正弦定理F=一=r，且血=土沁 Sln SInZJ SInC C SinCZfcl V?sin A 2 - COS JSinC SinC倚 =一 R1JW3sinJ = 2-cosJ,即V3sin J + COSA = 2. 2sin(J + -

10、) = 2 tO4分 6则 Sin(J+ )=1 ,6I 7 Jr因为 HG(0 )f JIjJ + !4lJ = TT 即丿=6 6 6 6 2 3(2)在厶 ABC I1 ,因为 f 11 Bw(),). ()则sin(3+ ；) 0 .33 6 6 6 乂因为 CoS(B + 三)一丄，则 sin(5-) Jl-cos2 (H= 6 4 6 X 6 4分又 tt ABC 中，J + Z + C- 9分所以COSC二 cos(-J-)= -CoS(J十)二一COS(3十彳)10分-cos(f? + -) + - cos(tf+ )cos- +sin(Z? +)sin-6 6 6 6 6 6

11、3 I I 15 5-3二 X = 14 分2 4 2 4 817解：设圆锥形容器的底面半径为厂米.高为米.母线为/米.例面枳为5平方米,容积为7立方米，则 = 36 3分故该容器的表面积为(185 + 36)= 18(2+5) (平方米) 4分该容器的表面枳为1&2*5）7t半方米(2)因为r = f=36x得r2 = 336 =Jo8 其中巾3 Xh h所以 S = Tvi = IU J f +/F = J + t3h = y+y =7i-+108当必(Q6)时，,() 0 , f(h)在(6.+)上单调递增. 12 分数学答窠弟2页（共8页）18解:(1)由椭圆C的左、右顶点分別为J1(

12、-2,0).J2(IO)f右准线方程为x4得: =2. = 4 ,故c = h b =a1 -c? = 3 2 分C所以椭圆C的方程为v4 = 1. 3分43(2)设直线AiDZ y = (x+2) (0)则与右准线 = 4的空点D (4从).乂 J2(2.0).所以i殳直线 AJ) ： V = 3A(-2)t KL(1)得：14分15分16分因为丽=JI丽.所以(t + 2 VzZ) = i(Jz + 2, yr).则 yu = yr.YlkA = 2k = ) = I5 =I4=_!_=_1yp 2k 12十+5 12+9-4 , 43+4P 3+4“ 3+4”因为/(灯在(0,+为减函数

13、，所以).19解：因为 f( = 2 + (2 - a)x-a In X 所以厂(X) =(vl2r-)(!)因曲线v = (v)在Xi处的切线斜率为l所以/(122(27) = 1,得=|. 2分(2)当WO时，八x)O在(O,-WCxg成立,即/ 在(0,+8)单调暹增,故函数/(口不存在极值. 3分当 O IM ,令 f() = O .得 =.X()；)a2(p+)rO+、极小值Z则/“二/白二牛In駅 冈为“0则斗-In耳0.2 4 2 2 2 4 2令)=T-T-InT = T+ ,n2，则g () = 7-丄 Vo ,24 2 2 4 4 a则g()在(+)单调递减， 7分Z2)

14、= O .所以X(2) = 0.则心2则实数的诫小伯为2.8分(3)记/(x)在2上的值域/-J A .住4周上的值域为“任xel2总存r2e48使得/(打)=/(勺)成立-等价于aAQB99 . 当 Yl或彳$8.即広2或心16时.IlJ (2) EL8为单调函数,不合题意： 9分当lv2, EP24时，由(2)知：/(x)在(0,彳)上单调递减, (分R)上单调遥增，故e A , U (e5.不合题意： 10分厶 厶 厶因为OVln2vl,则22 + ln23,即 4 27汁ii,Je324则J,2 UlJ- ln21 =41n2 t Il)781n213分所以此时：島g为4vrR即8v1

15、6时.Ih AcR9彻/(D岑得“15分16分叫斗kJlC6,则8 IllIC所以 = 4 ai Q、 aI当刃 N3 时.i72+23+ + 6f.ii =(n-1)1zi.ola2 alai + + atlatl + ana9 nalal 两式相减得：I n /I -1M=5%(-l 八 因为工0,得： = 一 6 分a 4 a-1 +l n /+1 n进叽厂订订，所以厂二 设数列丄!公差为 d,令c” =丄，Cl = = c(c0)lJh =Cl=C , br -C- =c J ,d -c2-cl = b_b =Cq-C 当j = 2时， = c, = 从而g = l, b2=bi 得1

16、 = 2与已知不符. 10分 / = 3 T 由b = cv cq2 =c + 2J = c+2c(-1) 得g = + 2(g_l).11分得q = l,与己知不符当f = l时，由3 = q , CqI= c ,得g=l,则q = -l (上面已证q )为整数数列为：c、-Ct c, ;数列,中，c = c , c2=-c f 公差d = -2c.数列%每一项都是l中的项(C = Cjf -c = c2) . 12分当 4 时，由 by = C(I Cq- =c(r )d = c + (Z- I)C(-I),得g (z l)q + (j 2) = O ,得q = (舍去)，q = i-2(

17、 4 )为正整数. 14分因为 Cg = C + ，bi=q 对任意的正整数斤刁4,欲证明是数列,屮的项，只需： bk -Cq 1 -Ci +xd = b3 + x(Cq-C) = CCJ2 + X(Cq - C)有正整数解 X. 等价于：-,=2.v(0, b0, c0, 十b十c_2,由柯西不等式得：（&十I）十（C十）十（“ + ） +n+c c+a D=w（g）pE）（島卜磐/+h1 b + c- + Jc+a 丁伫=+ b6+c c=（ +b 十 T） =2?.则丄+丄A 、严 3 + c c + a（6十e）十（C十） + （ b） 4所以- + 4-1.bc CU Ub10分22

18、.解：因为抛物线方程为y1 = 4r t所以F(LO). 1分(1 设W(x刃丿(心Jo)-因为为线段的中点，则X =凹亍=丿二， 2分则r0=2-i. VO = 2J代入抛物找方程得, = 2x-l,即点M的轨迹方稈为尸= 2x-1 4分(2)设 J(Xy B(x y2) r 不妨设y 0 y2 2 .6 分UtAB： X = A+ 1 (40),与y2 =4x联立，消去X得:-4iV-4 = 0,yl; =2/2y+l 片 + 必=缶. Jl,2=-4 8 分由可得代入，得直线厶V=22(X-I): 同理当Jl 2 O时，得直线厶y = -22(r-b.10分综1.宜线/的方稈为：J =

19、22(T-1).23还明,(1)为_1时.勺一 -1)十1三3十严1成立假设=A 时,结论成立，UPdA.1 =UkUl 1 -U2CZ1 + 1.当/r =A 十1 时.ak : =“|(兔訂 _ 1)十 I =IIM(UM J 色a十 I _1)十 IMM 仲I +1 则当M = A, 1 时命题成立.综上：flff- = (Inat_Idn_2 a2al + 1. 4 分(2)要证$ al +1,由(1) % = Q工勺2勺。+1 RtiE: 叭心叭角川，下用数学归纳法证明：当/F = L 2, 3 时，0=2, a?=3, -7,则2b 2322, 2373假设=A AA 6 分,J =A +1 时.1fl421 -(Ukak Id21 + 1)铐的 l2d12 999 a2al Y A：( 7 分设 a) = 2InA-(A +1)h( + 1) ( x3 )三 Cl(FUKec)c (e)yu)J毎S采 EJ M I + r 1+乂-z+e2IxIIiWH-+-J-WAI+JC-HSIlt * -+zlM MzlDb7DiD4 谜6 .- + H+y7&SMD=+y)A J十y)wMV (I+y)u三+y)t 三高言