高考数学二轮复习名师知识点总结空间中的平行与垂直.docx
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高考数学二轮复习名师知识点总结空间中的平行与垂直
空间中的平行与垂直
高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：
1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．
1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理
线面平行的判定定理
⇒a∥α
线面平行的性质定理
⇒a∥b
线面垂直的判定定理
⇒l⊥α
线面垂直的性质定理
⇒a∥b
2．面面平行与垂直的判定定理、性质定理
面面垂直的判定定理
⇒α⊥β
面面垂直的性质定理
⇒a⊥β
面面平行的判定定理
⇒α∥β
面面平行的性质定理
⇒a∥b
提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可．
考点一 空间线面位置关系的判断
例1
（1）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
（2）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m
答案
（1）B
（2）B
解析
（1）对于A，直线l1与l3可能异面、相交；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱的三条棱而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面，如正方体一个顶点的三条棱．所以选B.
（2）A中直线l可能在平面α内；C与D中直线l，m可能异面；事实上由直线与平面垂直的判定定理可得B正确．
解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中．
（1）（2013·广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
（2）平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
答案
（1）D
（2）D
解析
（1）A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确．
（2）若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.
若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.
若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.
考点二 线线、线面的位置关系
例2
如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝
∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB.
（1）若F为PC的中点，求证：
PC⊥平面AEF；
（2）求证：
EC∥平面PAB.
证明
（1）由题意得PA＝CA，∵F为PC的中点，∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC.∵E为PD的中点，F为PC的中点，
∴EF∥CD，∴EF⊥PC.∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF.
（2）方法一
如图，取AD的中点M，连接EM，CM.则EM∥PA.
∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EM∥平面PAB.
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，MC＝AM，∴∠ACM＝60°.而∠BAC＝60°，∴MC∥AB.
∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴MC∥平面PAB.∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB.
∵EC⊂平面EMC，∴EC∥平面PAB.
方法二
如图，延长DC、AB，设它们交于点N，连接PN.∵∠NAC＝∠DAC＝60°，
AC⊥CD，∴C为ND的中点．∵E为PD的中点，∴EC∥PN.
∵EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，∴EC∥平面PAB.
（1）立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线．要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得．
（2）证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一图形辅助使用．
如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，D
为AC的中点．
（1）求证：
B1C∥平面A1BD；
（2）若AC1⊥平面A1BD，求证：
B1C1⊥平面ABB1A1；
（3）在
（2）的条件下，设AB＝1，求三棱锥B－A1C1D的体积．
（1）证明
如图所示，连接AB1交A1B于E，连接ED.∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，且AB＝BB1，
∴侧面ABB1A1是正方形，∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点，
∴在△AB1C中，ED是中位线，∴B1C∥ED，∴B1C∥平面A1BD.
（2）证明 ∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B.∵侧面ABB1A1是正方形，∴A1B⊥AB1.
又AC1∩AB1＝A，∴A1B⊥平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1.又∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1，
∴B1C1⊥平面ABB1A1.
（3）解 ∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面DC1A1.∴BD是三棱锥B－A1C1D的高．
由
（2）知B1C1⊥平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1.∴BC⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形．
又∵AB＝BC＝1，∴BD＝
，∴AC＝A1C1＝
.
∴三棱锥B－A1C1D的体积V＝
·BD·S△A1C1D＝
×
×
A1C1·AA1＝
×
×1＝
.
考点三 面面的位置关系
例3 如图，
在几何体ABCDE中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥平面ABD.M为线段BD的中点，MC∥AE，AE＝MC＝
.
（1）求证：
平面BCD⊥平面CDE；
（2）若N为线段DE的中点，求证：
平面AMN∥平面BEC.
证明
（1）∵AB＝AD＝2，AB⊥AD，M为线段BD的中点，∴AM＝
BD＝
，AM⊥BD.
∵AE＝MC＝
，∴AE＝MC＝
BD＝
，∴BC⊥CD.
∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD.∴平面ABD⊥平面CBD，∴AM⊥平面CBD.
又MC綊AE，∴四边形AMCE为平行四边形，∴EC∥AM，∴EC⊥平面CBD，∴BC⊥EC，
∵EC∩CD＝C，∴BC⊥平面CDE，∴平面BCD⊥平面CDE.
（2）∵M为BD中点，N为ED中点，∴MN∥BE且BE∩EC＝E，
由
（1）知EC∥AM且AM∩MN＝M，∴平面AMN∥平面BEC.
（1）证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．
（2）证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决．
如图所示，
已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
求证：
（1）AF∥平面BCE；
（2）平面BCE⊥平面CDE.
证明
（1）如图，取CE的中点G，连接FG，BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝
DE.
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.
又AB＝
DE，∴GF＝AB.∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.
∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.
（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.
考点四 图形的折叠问题
例4 （2012·北京）如图
（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图
（2）．
（1）求证：
DE∥平面A1CB；
（2）求证：
A1F⊥BE；
（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？
说明理由．
折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化．第
（1）问证明线面平行，可以证明DE∥BC；第
（2）问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F⊥平面BCDE；第（3）问取A1B的中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ.
（1）证明 因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.
又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.
（2）证明 由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.，所以DE⊥A1D，DE⊥CD.，所以DE⊥平面A1DC.
而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.，又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.
（3）解 线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：
如图，
分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.。
又因为DE∥BC，
所以DE∥PQ.，所以平面DEQ即为平面DEP.，由
（2）知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C.，又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.，从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
（1）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．
（2）在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．
（2013·广东）如图
（1），在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图
（2）所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝
.
（1）证明：
DE∥平面BCF；
（2）证明：
CF⊥平面ABF；
（3）当AD＝
时，求三棱锥F－DEG的体积VF－DEG.
（1）证明 在等边△ABC中，AD＝AE，∴
＝
在折叠后的三棱锥A－BCF中也成立．∴DE∥BC，
又DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF.
（2）证明 在等边△ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥CF.∵在三棱锥A－BCF中，BC＝
，
∴BC2＝BF2＋CF2＝
＋
＝
，∴CF⊥BF.又BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.
（3）解 VF－DEG＝VE－DFG＝
×
×DG×FG×GE＝
×
×
×
×
＝
.
1．证明线线平行的常用方法
（1）利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；
（2）利用平行四边形进行转换；
（3）利用三角形中位线定理证明；
（4）利用线面平行、面面平行的性质定理证明．
2．证明线面平行的常用方法
（1）利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；
（2）利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行．
3．证明面面平行的方法
证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行．
4．证明线线垂直的常用方法
（1）利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；
（2）利用勾股定理逆定理；
（3）利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．
5．证明线面垂直的常用方法
（1）利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；
（2）利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；
（3）利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．
6．证明面面垂直的方法
证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决．
1．
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点
E，F，且EF＝
，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值D．△AEF的距离与△BEF的面积相等
答案 D
解析 ∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE，故A正确．
∵B1D1∥平面ABCD，又E、F在线段B1D1上运动，故EF∥平面ABCD.故B正确．
C中由于点B到直线EF的距离是定值，故△BEF的面积为定值，
又点A到平面BEF的距离为定值，故VA－BEF不变．故C正确．
由于点A到B1D1的距离与点B到B1D1的距离不相等，因此△AEF与△BEF的面积不相等，故D错误．
2．
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中
点．
（1）证明：
平面ADC1B1⊥平面A1BE；
（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？
证明你
的结论．
（1）证明 如图，因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，
所以B1C1⊥面ABB1A1.
因为A1B⊂面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.
又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥面ADC1B1.
因为A1B⊂面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.
（2）解 当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE.证明如下：
易知：
EF∥C1D，且EF＝
C1D.,设AB1∩A1B＝O，则B1O∥C1D且B1O＝
C1D，
所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四边形B1OEF为平行四边形．
所以B1F∥OE.,又因为B1F⊄面A1BE，OE⊂面A1BE.所以B1F∥面A1BE.
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60分钟）
一、选择题
1．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，l⊥β，则l∥αB．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β
答案 C
解析 当α⊥β，l⊥β时，l可以在α内，∴选项A不正确；
如果α过l上两点A，B的中点，则A，B到α的距离相等，∴选项B不正确；
当α⊥β，α⊥γ时，可以有β∥γ，∴选项D不正确，∴正确选项为C.
2．已知直线m，n和平面α，则m∥n的必要不充分条件是（ ）
A．m∥α且n∥αB．m⊥α且n⊥α
C．m∥α且n⊂αD．m，n与α成等角
答案 D
解析 m∥n不能推出m∥α且n∥α，m∥α，n∥α时，m，n可能相交或异面，为即不充分也不必要条件，A不正确；m⊥α，n⊥α时，m∥n，为充分条件，但m∥n不能推出m⊥α，n⊥α，故B不正确；m∥n不能推出m∥α且n⊂α，m∥α，且n⊂α时，m和n可能异面，为即不充分也不必要条件，故C不正确；m∥n时，m，n与α成等角，必要性成立，但充分性不成立，故选D.
3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是（ ）
A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC
答案 D
解析 ∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，
又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故选D.
4．下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.正确的命题是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．②④
答案 C
解析 ②平面α与β可能相交，③中m与n可以是相交直线或异面直线．故②③错，选C.
5．
一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，
使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析
如图，在面VAC内过点P作AC的平行线PD交VC于点D，在
面VAB内作VB的平行线交AB于点F，过点D作VB的平行线交BC于
点E.连接EF，易知PF∥DE，故P，D，E，F共面，且面PDEF与VB
和AC都平行，易知四边形PDEF是边长为
的正方形，故其面积为
，故选C.
6．
在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，
若侧棱SA＝2
，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是（ ）
A．12πB．32πC．36πD．48π
答案 C
解析 由MN⊥AM且MN是△BSC的中位线得BS⊥AM，又由正三棱锥的性质得BS⊥AC，所以BS⊥面ASC.
即正三棱锥S－ABC的三侧棱SA、SB、SC两两垂直，外接球直径为
SA＝6.
∴球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.选C.
二、填空题
7．设x，y，z是空间中的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________（填出所有正确条件的代号）．
①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．
答案 ③④
解析 因为垂直于同一个平面的两条直线平行，所以③正确；因为垂直于同一条直线的两个平面平行，所以④正确；若直线x⊥平面z，平面y⊥平面z，则可能有直线x在平面y内的情况，所以①不正确；若平面x⊥平面z，平面y⊥平面z，则平面x与平面y可能相交，所以②不正确；若直线x⊥直线z，直线y⊥直线z，则直线x与直线y可能相交、异面、平行，所以⑤不正确．
8．
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC
为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F
在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
答案 a或2a
解析 由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．
令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x.易知Rt△CAF∽Rt△FA1D，得
＝
，即
＝
，
整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.
9．
如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂
直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：
①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.
其中正确的命题是________（填上所有正确命题的序号）．
答案 ②④
解析 ①错误，PA⊂平面MOB；②正确；③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；④正确，因为BC⊥平面PAC.
三、解答题
10．（2013·重庆）
如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2
，
BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝
.
（1）求证：
BD⊥平面PAC；
（2）若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．
（1）证明 因为BC＝CD，所以△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，
所以BD⊥平面PAC.
（2）解 三棱锥P－BCD的底面BCD的面积S△BCD＝
BC·CD·sin∠BCD＝
×2×2×sin
＝
.
由PA⊥底面ABCD，得VP－BCD＝
·S△BCD·PA＝
×
×2
＝2.由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为
PA，
故VF－BCD＝
·S△BCD·
PA＝
×
×
×2
＝
，所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－
＝
.
11．（2012·广东）如图所示，
在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，
AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝
AB，
PH为△PAD中AD边上的高．
（1）证明：
PH⊥平面ABCD；
（2）若PH＝1，AD＝
，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；
（3）证明：
EF⊥平面PAB.
（1）证明 因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，所以PH⊥AB.
因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.因为PH⊄平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，
所以PH⊥平面ABCD.
（2）解
如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.因为E是PB的中点，
所以EG∥PH，且EG＝
PH＝
.，因为PH⊥平面ABCD，
所以EG⊥平面ABCD.因为AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以AB⊥AD，所以底面ABCD为直角梯形，所以VE－BCF＝
S△BCF·EG＝
·
·FC·AD·EG＝
.
（3）证明 取PA中点M，连接MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊
AB.
又因为DF綊
AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.
因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.
因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.
12．
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，
M分别为AB，DE的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，
F为A′C的中点，A′C＝4.
（1）求证：
平面A′DE⊥平面BCD；
（2）求证：
FB∥平面A′DE.
证明
（1）由题意，得△A′DE是△A
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