中考数学压轴题分类试题江苏版专题06 几何综合探究变化型问题.docx

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中考数学压轴题分类试题江苏版专题06几何综合探究变化型问题

中考数学压轴题分类试题（2020江苏版）

专题06几何综合探究变化型问题

【真题再现】

1．（2019年宿迁中考第28题）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．

（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：

△BDA∽△BEC；

（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？

如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；

（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．

2．（2019年连云港中考第27题）问题情境：

如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．

问题探究：

在“问题情境”的基础上．

（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；

（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．

问题拓展：

如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG

，请直接写出FH的长．

3．（2019年无锡中考副卷第28题）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．

（1）请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；

（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；

（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．

4．（2019年盐城中考第25题）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：

（Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；

（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；

（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．

【探究】

（1）证明：

△OBC≌△OED；

（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式．

5．（2019•扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．

（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为　　；

（2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为　　；

（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？

若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．

6．（2019年南京中考第26题）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．

小明的作法

1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．

2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．

3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．

（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．

【专项突破】

【题组一】

1．（2020•海门市校级模拟）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．

（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：

EA＝EC；

（2）若点P在线段AB上，如图2，当点P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；

（3）在

（1）的条件下，将正方形ABCD固定，正方形BPEF绕点B旋转一周，设AB＝4，BP＝a，若在旋转过程中△ACE面积的最小值为4，请直接写出a的值．

2．（2019秋•青龙县期末）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：

问题初探：

（1）如图1，小明发现：

当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为　　；

问题再探：

（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：

①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．

成果运用

（3）若边长AB＝4，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L的变化范围是　　．

3．（2019秋•张家港市期末）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．

（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为　　°．

（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．

（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长．

4．（2020•兴化市模拟）如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN丁点Q，连接CM．

（1）求证：

PM＝PN；

（2）当P，A重合时，求MN的值；

（3）若△PQM的面积为S，求S的取值范围．

【题组二】

5．（2019秋•娄星区期末）在△ABC中，AB＝AC，点D为射线CB上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE．

（1）如图①，若∠BAC＝60°，则按边分类：

△CEF是　　三角形；

（2）若∠BAC＜60°．

①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状并证明；

②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三角形？

请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．

6．（2019秋•东海县期末）已知BC＝5，AB＝1，AB⊥BC，射线CM⊥BC，动点P在线段BC上（不与点B，C重合），过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连接AD．

（1）如图1，若BP＝4，判断△ADP的形状，并加以证明．

（2）如图2，若BP＝1，作点C关于直线DP的对称点C′，连接AC′．

①依题意补全图2；

②请直接写出线段AC′的长度．

7．（2019秋•江都区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，AB＝25，点D为斜边AB上动点．

（1）如图1，当CD⊥AB时，求CD的长度；

（2）如图2，当AD＝AC时，过点D作DE⊥AB交BC于点E，求CE的长度；

（3）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，当△ACD为等腰三角形时，直接写出AD的长度．

8．（2019秋•泰兴市期末）已知：

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E是射线CB上的动点，连接DE，DF⊥DE交射线AC于点F．

（1）若点E在线段CB上．

①求证：

AF＝CE．

②连接EF，试用等式表示AF、EB、EF这三条线段的数量关系，并说明理由．

（2）当EB＝3时，求EF的长．

【题组三】

9．（2019秋•镇江期末）△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．

（1）如图1，点D、E分别在AB、AC上，则BD、CE满足怎样的数量关系和位置关系？

（直接写出答案）

（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连结BD、CE，则BD、CE满足怎样的数量关系和位置关系？

请说明理由．

（3）如图3，点D、E都在△ABC外部，连结BD、CE、CD、EB，BD与CE相交于H点．已知AB＝4，AD＝2，设CD2＝x，EB2＝y，求y与x之间的函数关系式．

10．（2019秋•射阳县期末）在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．

（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝　　°，若△AMN的周长为9，则BC＝　　．

（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：

BM2+CN2＝MN2；

（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长．

11．（2019秋•溧水区期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】

（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　　，BC＝　　．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

【模型应用】

（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：

点G是DE的中点；

②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．

12．（2019•邗江区校级一模）阅读下面材料：

小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：

如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.4，AC＝3.6，求BC得长．

小聪思考：

因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．

请完成：

（1）求证：

△BDE是等腰三角形

（2）求BC的长为多少？

（3）参考小聪思考问题的方法，解决问题：

如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD

，BC

，求AD的长．

【题组四】

13．（2019•鼓楼区二模）提出问题：

用一张等边三角形纸片剪一个直角边长分别为2cm和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边最小值是多少？

探究思考：

几位同学画出了以下情况，其中∠C＝90°，BC＝2cm，△ADE为等边三角形．

（1）同学们对图1，图2中的等边三角形展开了讨论：

①图一中AD的长度　　图②中AD的长度（填“＞”，“＜”或“＝”）

②等边三角形ADE经过图形变化．AD可以更小．请描述图形变化的过程．

（2）有同学画出了图3，但老师指出这种情况不存在，请说明理由．

（3）在图4中画出边长最小的等边三角形，并写出它的边长．

经验运用：

（4）用一张等边三角形纸片剪一个直角边长为1cm和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边长最小是多少？

画出示意图并写出这个最小值．

14．（2019•南京二模）【概念提出】如图①，若正△DEF的三个顶点分别在正△ABC的边AB、BC、AC上，则我们称△DEF是正△ABC的内接正三角形．

（1）求证：

△ADF≌△BED；

【问题解决】利用直尺和圆规作正三角形的内接正三角形（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）如图②，正△ABC的边长为a，作正△ABC的内接正△DEF，使△DEF的边长最短，并说明理由；

（3）如图③，作正△ABC的内接正△DEF，使FD⊥AB．

15．（2020•河南一模）【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）

【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．

请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：

△D′BC的形状是　　三角形；∠ADB的度数为　　．

【问题解决】

在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；

【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为　　．

16．（2019•亭湖区二模）【阅读材料】

小明遇到这样一个问题：

如图1，点P在等边三角形ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，求PB的长．

小明发现，以AP为边作等边三角形APD，连接BD，得到△ABD；由等边三角形的性质，可证△ACP≌△ABD，得PC＝BD；由已知∠APC＝150°，可知∠PDB的大小，进而可求得PB的长．

（1）请回答：

在图1中，∠PDB＝　　°，PB＝　　．

【问题解决】

（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：

如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，PB

，PC＝2

，求AB的长．

【灵活运用】

（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，且tanα

，点P在△ABC外，且PB＝3，PC＝1，直接写出PA长的最大值．

【题组五】

17．（2019秋•海安市期末）

（1）如图①，小明同学作出△ABC两条角平分线AD，BE得到交点I，就指出若连接CI，则CI平分∠ACB，你觉得有道理吗？

为什么？

（2）如图②，Rt△ABC中，AC＝5，AC＝12，AB＝13，△ABC的角平分线CD上有一点I，设点I到边AB的距离为d．（d为正实数）

小季、小何同学经过探究，有以下发现：

小季发现：

d的最大值为

．

小何发现：

当d＝2时，连接AI，则AI平分∠BAC．

请分别判断小季、小何的发现是否正确？

并说明理由．

18．（2019秋•常熟市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD＝20°，E为BD延长线上的一点，且AB＝AE．

（1）求∠BAD的度数；

（2）求证：

DE平分∠ADC；

（3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由．

19．（2019秋•常熟市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），点C（0，6），点B在x轴负半轴上，且AB＝AC．

（1）求点B的坐标；

（2）如图②，若点E为边AC的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A匀速运动，设点M运动的时间为t（秒）；

①若△OME的面积为2，求t的值；

②如图③，在点M运动的过程中，△OME能否成为直角三角形？

若能，求出此时t的值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由．

20．（2019秋•崇川区期末）已知△ABC中，AB＝AC．

（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：

BD＝CD；

（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，

，求BE的长；

（3）如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求

的值．

【题组六】

21．（2018秋•崇川区校级期末）如图，锐角△ABC中，AB＝AC，点D是边BC上的一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．

（1）过点E作EF∥DC交AB于点F，连接CF（如图1），

①请直接写出∠EAB与∠DAC的数量关系；

②试判断四边形CDEF的形状，并证明；

（2）若∠BAC＝60°，过点C作CF∥DE交AB于点F，连接EF（如图2），那么

（1）②中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

22．（2019秋•淮阴区期末）A，B，C，D是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别是边AB、BC、AD上的三点，连结EF、FH．

（1）将长方形纸片ABCD按图①所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，点B'在FC'上，则∠EFH的度数为　　；

（2）将长方形纸片ABCD按图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠B'FC'＝18°，求∠EFH的度数；

（3）将长方形纸片ABCD按图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠EFH＝m°，求∠B'FC'的度数为　　．

23．（2019秋•丹阳市期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．

（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN

AC，求AM的长；

（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．

①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；

②求AM、MN的长；

（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当

且

时，求CP的长．

24．（2020春•鼓楼区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．

（1）填空：

∠AHC　　∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）

（2）线段AC，AG，AH什么关系？

请说明理由；

（3）设AE＝m，请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．