高等数学等价无穷小替换.docx
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高等数学等价无穷小替换
无穷小极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大;
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法
（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了n数列Xn的极限、x（x、x）函数fx的极限、xx0（xx0、xx0）函数f（x）的极限这七种趋近方式。
下面我们用
x文表示上述七种的某一种趋近方式，即
nxxxxxoxxoxxo
定义：
当在给定的x文下，f（x）以零为极限，则称f（x）是x大下的无
穷小，艮Plimfx0。
x*
例如，limsinx0,函数sinx是当x0时的无穷小.
x0
11一，
[im-0,函数一是当x时的无为小.
lim
（1）0,数列｛（°｝是当n时的无穷小.nnn
【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义：
当在给定的x文下,
无限增大，则称fX是x大下的无
宏左，即limfx。
显然，n时，n、n2、n3、都是无穷大量，
x大
【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷
小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是
无穷大,如
limex0,
x
limex
x
所以ex当x
时为无穷小，当x
时为无穷大
2.无穷小与无穷大的关系：
在自变量的同一变化过程中，如果fx为无穷
大，
则—为无穷小；反之，如果fx为无穷小，且fx0,则—为无穷大。
小结：
无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系：
定理1limf（x）二A杪f（x）二A—（x），其中（x）是自变量在同一变化过建'
程xx0（或x）中的无穷小.
证：
（必要性）设！
mf（x）：
A,令（x）：
f（x）・A,则有财（x）］。
，
f（x）A（x）.
（充分性）设f（x）二A-（x）,其中（x）是当x—x。
时的无穷小，贝U
li^Hx）二1四（A—（x））Alim（x）A.
【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题（无穷小）；
（2）给出了函数f（x）在x。
附近的近似表达式f（x）：
gA,误差为（x）.
3.无穷小的运算性质
定理2在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如，n时,1是无穷小，但n个-之和为1不是无穷小.
nn
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
c1
如：
lim
（1）n-
nn
1一1.一
0,kmxsin—0,|im—sinx0
推论1在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
例如，当xT0寸,x,x2,sinx,x2sin】都是无穷小，观察各极限:
lim—0,x2比3x要快得多；
X03x
lims^nx1,sinx与x大致相同；
2.1
xsin-1
limlimsin_不存在.不可比.
极限不同，反映了趋向丁零的快慢”程度不同.
1.定义：
设，是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且
0.
（1）如果lim—.0,就说是比高阶的无穷小，记作.o（）;
（2）如果lim—C（C0）,就说与是同阶的无穷小；
特殊地如果lim—1,则称与是等价的无穷小，记作
⑶如果lim-v二C（C*0,k〉0）,就说是的k阶的无穷小.
证明：
当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.
证:
lim4xtanx4lim（-tanx）34,故当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.
x0x4x0x
当x0时，求tanxsinx关于x的阶数.
解Hmtanx3sinxlim（耍坚竺）】，tanxsinx为x的三阶无穷小.
x0v3x0、xx2
2.常用等价无穷小：
当x0时,
（1）sinx
（2）arcsinx
（3）tanx〜x；
（4）
arctanx〜x；
（5）
ln（1x）〜x;
（6）
ex1〜x
（7）
2
x
1cosx〜一
2
（8）
（1x）1〜x
（9）
1〜lnaXx
用等价无穷小可给出函数的近似表达式
lim—1,lim
0,即
o（）,于是有
o（
）.
例如sinxxo（x）,cosx
11x2o（x2）.
2
3.等价无穷小替换
定理：
设
且lim——存在，贝Ulim—
证:
lim—
lim（———）lim—lim—lim—lim—.
（D
tan22x
i.；
01cosx
x2
e1
（2）lim
x0cosx1
（D
12cosx—x,2
tan2x~2x.故原极限
（2x）2limx012—x2
（2）原极限=lim
x0
2x
2
x
2
例4求limtanx
0
sinxsin32x
错解：
当x
0时,tanx~x,sinx~x.原式lim
x0
^3=0
（2x）
正解：
当x
0时，sin2x~2x,tanxsinxtanx（1
cosx）~1x3,
2
1
…一，一■匚x1
故原极限lim-2—
■x®2x）316
tanx5xo（x）,sin3x
3x
o（x）,1cosx
12
-x
2
o（x2）.
原式lim
■x—0
L/、12,2、
5x—o（x）—一x—o（x）
2
o（x）
x
3x--o（x）
1x2
3o（x）
o（x2）
x
3
x
x0不存在，我们也能知道届
2x例如，limx3
x253
Ix2
例如，lim
"2x15
乂如，limx21x
x
2.x
5
3x25
32x15
2x1
.52x1
5x253
2x
4
1
22x
4
-x
2
x2
1
22
x
2
2
1
——0
x
x
lim
xx?
1x
【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
tan5xcosx1
求lim
x0sin3x
三、极限的简单计算
1.代入法：
直接将xx°的x°代入所求极限的函数中去，若fx°存在,
即为其极限，例如lim2^一
x13x32x4
丁哪种未定式，便丁我们选择不同的方法。
例如,
lim^^9就代不进去了，但
我们看出了这是-个0型未定式,我们可以用以下的方法来求解。
2.分解因式,
消去零因子法
9
9limx3
x3x3
3.分子（分母）有理化法
4.化无穷大为无穷小法
例如口mH二三7
3，实际上就是分子分母同时除以x2
4■2
这个无穷大量。
由此不难得出
m..a0xlimnxb°x
m1a1x
nr
^x
a。
n
m
b°
0,
n
m
n
m
..1乂如，lim———limxx2x1
1,x
1
x1,
2
x
（分子分母同除
n
2
…2n5n匚
再如，limlim-
n3n5nn3n
1
-1,（分子分母同除5n）。
-1
5
5.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
xarctanx1八
例如，lim——20,
x3x2x1
（无穷小量乘以有界量）
乂如，求啊
4x1
x22x
解:
叩2
2x
3）
0,商的法则不能用
lim（4x1）
0,
limx^LJ00.x14x13
ambn
由无穷小与无穷大的关系，得lim24x1
x1x22x3
再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3一例5。
6.利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）
7.分段函数、复合函数求极限
1xx0
例如，设f（x）2,求limf（x）.
x21,x0x0
解：
x0是函数的分段点，两个单侧极限为
2,
limf（x）lim（1x）1,limf（x）lim（x1）1,x0x0x0x0
左右极限存在且相等，故limf（x）1.
【启发与讨论】
一^.,I—_11一
思考题1：
当xT0时,y.-sin-是无界变重吗？
是无为大吗?
'xx
解：
（1）取x°（k0,1,2,3,）
2k一
2
y（x0）2k«,当k充分大时，y（x°）M.无界,
1
⑵取x0——（k0,1,2,3,）
2k
当k充分大时，xk,但y（xQ2ksin2k0M.不是无穷大.
结论：
无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.
思考题2:
若f（x）0,且limf（x）A,问：
能否保证有A0的结论？
试举例x
说明.
11
解：
不能保证.例f（x）-x0,f（x）-0limf（x）
xxx
lim-xx
2
xcos-x
2x
3sinx
2x
思考题3:
任何两个无穷小量都可以比较吗?
解：
不能.例如当x
1sinx
时f（x）—,g（x）都是无为小重
x
但lim畛limsinx不存在且不为无穷大,xf（x）x
故当X
时f（x）和g（x）不能比
【课堂练习】求下列函数的极限
excosx
（1）lim。
;
x
解：
原极限=limecosx
x0
x
..e1lim
x0
1cosx
2
xcos-x
3sinx
（2）求lim
x0（1cosx）ln（1x）
【分析】
“0”型，拆项。
0
21
3sinxxcos—解：
原极限=limx
x02x
5x4x3x2
3）lim——5;
x2x54x1
【分析】“抓大头法”，用丁一型
3
35
x-5
■
152
5
■5,或原极限lim竺5
2-I*2x5.2
（5）
lim（x2
【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算
2
x
（6）lim
x°x293
【分析】“0”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因0
子。
解：
原极限=limx^'x2293=6
x0v2
、1
求lim（-y2
nnn
1n（n1）lim———2——nn
【内容小结】
一、无穷小（大）的概念
无穷小与无穷大是相对丁过程而言的.
1、主要内容：
两个定义；四个定理；三个推论.
2、几点注意：
（1）无穷小（大）是变量，不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.
（3）无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较：
1.反映了同一过程中，两无穷小趋丁零的速度快慢，但并不是所有的无穷小都可进行比较。
高（低）阶无穷小；等价无穷小；无穷小的阶。
2.等价无穷小的替换：
求极限的乂一种方法，注意适用条件.
、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）
a.多项式与分式函数代入法求极限；
b.消去零因子法求极限；
c.无穷小因子分出法求极限；
d.利用无穷小运算性质求极限；
e.利用左右极限求分段函数极限
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