高等数学等价无穷小替换.docx

1、高等数学等价无穷小替换无穷小极限的简单计算【教学目的】1、 理解无穷小与无穷大的概念；2、 掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、 不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、 无穷小与无穷大;2、 无穷小的比较；3、 几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、 求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小 与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15 分

2、钟）。【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了 n 数列Xn的极限、x （ x 、x ）函数f x 的极限、x x0 （ x x0、x x0 ）函数f （x）的极限这七种趋近方式。下面 我们用x 文表示上述七种的某一种趋近方式，即n x x x x xo x xo x xo定义：当在给定的x 文下，f（x）以零为极限，则称f（x）是x 大下的无穷小，艮P lim f x 0。 x *例如，lim sinx 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小.x 01 1 一， im - 0, 函数一是当x 时的无为小.lim（ 1）0, 数列（ 是当n 时的无穷小. n n n【注意】不能把

3、无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。定义：当在给定的x 文下,无限增大，则称f X是x 大下的无宏左，即lim f x 。显然，n 时，n、n2、n3、都是无穷大量，x 大【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大,如lim ex 0 ,xlim exx所以ex当x时为无穷小，当x时为无穷大2. 无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果f x为无穷大，则为无穷小；反之，如果f x为无穷小，且f x 0,则为无穷大。小结：无穷大量、无穷小

4、量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是 无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应 给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系：定理1 lim f (x)二A杪f(x)二A (x)，其中(x)是自变量在同一变化过 建 程x x0 (或x )中的无穷小.证：(必要性)设！mf(x)：A,令(x)：f(x)A,则有 财(x)。，f(x) A (x).(充分性)设f(x)二A- (x),其中(x)是当xx。时的无穷小，贝UliHx)二 1四(A (x) A lim (x) A.【意义】(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小)；(2)给出了函数f(x

5、)在x。附近的近似表达式f(x)：gA,误差为(x).3.无穷小的运算性质定理2在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.例如，n 时,1是无穷小，但n个-之和为1不是无穷小.n n定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小., c 1如：lim( 1)n -n n1 一 1 . 一0, kmxsin 0 , |imsinx 0推论1在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，当x T 0寸,x,x2,sin x, x2 sin】都是无穷小，观察各极限:l

6、im 0, x2比3x要快得多；X 03xlim snx 1, sinx与x大致相同；2 . 1x sin- 1lim lim sin _ 不存在.不可比.极限不同，反映了趋向丁零的快慢”程度不同.1.定义：设，是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.(1)如果lim.0,就说 是比 高阶的无穷小，记作 .o();(2)如果lim C(C 0),就说 与 是同阶的无穷小；特殊地如果lim 1,则称与是等价的无穷小，记作如果lim -v二C(C *0,k0),就说 是 的k阶的无穷小.证明：当x 0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.证:lim 4xtan x 4lim(-tanx)3 4,

7、故当 x 0时,4xtan 3x为x的四阶无穷小.x 0 x4 x 0 x当x 0时，求tan x sin x关于x的阶数.解Hmtanx 3sinx lim(耍坚竺)】，tanx sinx为x的三阶无穷小.x 0 v3 x0、x x 22 .常用等价无穷小：当x 0时,(1) sin x(2) arcsin x(3) tanx x ；(4)arctanx x ；(5)ln(1 x)x ;(6)ex 1 x(7)2x1 cosx 一2(8)(1 x) 1 x(9)1 ln aX x用等价无穷小可给出函数的近似表达式lim 1, lim0,即o(),于是有o().例如 sinx x o(x),

8、cosx1 1x2 o(x2).23.等价无穷小替换定理：设且lim 存在，贝U lim 证:lim lim( ) lim lim lim lim .(Dtan2 2xi .；01 cosxx2e 1(2) lim x 0 cos x 1(D1 2 cosx x , 2tan2x2x.故原极限(2x)2 lim x 0 1 2 x 2(2)原极限=limx 02 x2x2例 4 求 limtanx0sin x sin3 2x错解：当x0时,tan x x, sin x x.原式 limx 03 =0(2x)正解：当x0时，sin2x 2x, tanx sin x tanx(1cosx) 1x3

9、,21一，一 匚x 1故原极限 lim -2x2x)3 16tanx 5x o(x), sin 3x3xo(x), 1 cosx1 2-x2o(x2).原式lim x0L / 、 1 2 , 2、5xo(x) 一x o(x )2o(x)x3x-o(x)1 x 23 o(x)o(x2)x3xx0不存在，我们也能知道届2 x 例如，lim x 3x2 5 3I x 2例如，lim 2x 1 5乂如，lim x2 1 xx2 .x53 x2 53 2x 1 52x 1.5 2x 15 x2 5 32 x412 2x4-x2x 212 2x221 0xxlim x x? 1 x【注意】和、差形式一般不

10、能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进 行等价无穷小替换。tan5x cosx 1求 lim x 0 sin 3x三、极限的简单计算1.代入法：直接将x x的x代入所求极限的函数中去，若 f x存在,即为其极限，例如lim 2一x 1 3x3 2x 4丁哪种未定式，便丁我们选择不同的方法。例如,lim9就代不进去了，但我们看出了这是-个0型未定式, 我们可以用以下的方法来求解。2.分解因式,消去零因子法99 lim x 3x 3 x 33.分子（分母）有理化法4.化无穷大为无穷小法例如口mH二三73，实际上就是分子分母同时除以x24 2这个无穷大量。由此不难得出m .a0x lim n

11、 x bxm 1 a1xnrxa。 ,nmb0,nmnm. 1 乂如，lim lim x x 2 x 11 ,x1x 1,2x（分子分母同除n2 2n 5n 匚再如，lim lim -n 3n 5n n 3 n1-1 ,（分子分母同除5n）。- 155.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限x arctan x 1 八例如，lim2 0 ,x 3x2 x 1（无穷小量乘以有界量）乂如，求啊4x 1x2 2x解:叩22x3)0,商的法则不能用lim (4x 1)0,limxLJ 0 0. x 1 4x 1 3am bn由无穷小与无穷大的关系，得lim 24x 1x 1 x2 2x 3再如，等价

12、无穷小量替换求极限的例子见本节例 3一例5。6.利用两个重要极限求极限（例题参见 1.4例3例5）7.分段函数、复合函数求极限1 x x 0例如，设 f(x) 2 ,求 lim f (x).x2 1, x 0 x 0解：x 0是函数的分段点，两个单侧极限为2 ,lim f (x) lim (1 x) 1, lim f (x) lim (x 1) 1, x 0 x 0 x 0 x 0左右极限存在且相等，故lim f (x) 1.【启发与讨论】,一. , I _ 1 1 一思考题1：当x T0时,y.-sin-是无界变重吗？是无为大吗? x x解：(1)取 x (k 0,1,2,3,)2k 一2y

13、(x0) 2k ,当k充分大时，y(x) M.无界,1取 x0 (k 0,1,2,3,)2k当k充分大时，xk ,但y(xQ 2k sin 2k 0 M.不是无穷大.结论：无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.思考题2:若f (x) 0,且lim f(x) A,问：能否保证有A 0的结论？试举例 x说明.1 1解：不 能保证.例 f (x) - x 0, f (x) - 0 lim f (x)x x xlim - x x2x cos- x2x3sin x2x思考题3:任何两个无穷小量都可以比较吗?解：不能.例如当x1 sin x时f (x) , g(x) 都是无为小重x但lim

14、 畛 lim sinx不存在且不为无穷大, x f(x) x故当X时f (x)和g(x)不能比【课堂练习】求下列函数的极限ex cosx(1) lim。 ;x解：原极限= lim e cosxx 0x.e 1 limx 01 cosx2x cos- x3sin x(2)求 lim x 0 (1 cosx) ln(1 x)【分析】“0”型，拆项。02 13sin x x cos 解：原极限= lim xx 0 2x5x 4x 3x23) lim 5 ;x 2x5 4x 1【分析】“抓大头法”，用丁一型33 5x - 5 1 5 255,或原极限lim竺52 - I* 2x5 . 2(5)lim

15、( x 2【分析】 型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算2x(6)lim x x2 9 3【分析】“0”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因 0子。解：原极限=lim xx22 9 3 =6x 0 v2,、 1求 lim(-y 2n n n1n(n 1) lim 2 n n【内容小结】一、 无穷小（大）的概念无穷小与无穷大是相对丁过程而言的.1、 主要内容：两个定义；四个定理；三个推论.2、 几点注意：（1） 无穷小（大）是变量，不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小 的数；（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小 .（3） 无界变量未必是无穷大.二、 无穷小的比较：1.反映了同一过程中，两无穷小趋丁零的速度快慢，但并不是所有的无穷 小都可进行比较。高（低）阶无穷小；等价无穷小；无穷小的阶。2.等价无穷小的替换：求极限的乂一种方法，注意适用条件.、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）a.多项式与分式函数代入法求极限；b.消去零因子法求极限；c.无穷小因子分出法求极限；d.利用无穷小运算性质求极限；e.利用左右极限求分段函数极限