高三数学 33函数的和差积商的导数第一课时大纲人教版选修.docx

高三数学 33函数的和差积商的导数第一课时大纲人教版选修.docx

《高三数学 33函数的和差积商的导数第一课时大纲人教版选修.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学 33函数的和差积商的导数第一课时大纲人教版选修.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高三数学33函数的和差积商的导数第一课时大纲人教版选修

2019-2020年高三数学3.3函数的和、差、积、商的导数（第一课时）大纲人教版选修

课时安排

2课时

从容说课

本节主要是讨论函数的和、差、积、商的导数的运算法则，利用导数定义证明了四个运算法则，明确三个法则使用的前提条件：

函数f（x）、g（x）在x=x0处都可导时，它们的和、差、积、商才可导，而当求商的导数时要注意g（x）≠0（即分母不等于0）.从如下三个方面讲解：

（1）运用定义推导和、差的导数运算法则.教法上，让学生自己推导，也可以到黑板上板演.

（2）让学生概括公式，并用文字语言进行叙述，培养学生的概括能力是十分重要的，这也是高考中常考的方法和题型.

（3）让学生推导函数的积、商的导数.这一点课本上没有给出证明.让学生自主建构，研究交流，合作创新.特别是求商的导数时学生的争论是最激烈的.［g（x）≠0］，

=

=

∴

.再利用定义即可.

此处的恒等式变形是关键，要让学生自主探索建构.这样学生不仅是学会了导数的四则运算法则，而更重要的是学会了解决问题的方法，要培养学生的创造探索精神.因为课本中已经给出了三个法则的证明,学生自然要想到第四个如何证明.这种好奇心还是创造性能力的雏形.在教学中要注意“做中学”的思想，让学生由被动接受型→主动建构型→主动进攻型.

第六课时

课　题

§3.3.1　函数的和、差、积、商的导数

（一）

教学目标

一、教学知识点

1.和（或差）的导数法则.

2.积的导数法则.

二、能力训练要求

1.理解两个函数的和（或差）的导数法则，学会用法则求一些函数的导数.

2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数.

三、德育渗透目标

1.培养学生的推理论证能力.

2.培养学生的运算能力.

3.培养学生的直观猜想的能力.

4.培养学生由特殊到一般进行归纳总结的能力.

教学重点

和（或差）的导数法则、积的导数的法则.

教学难点

和（或差）的导数法则，积的导数法则的引入，以及它们的证明过程，仍然用定义来证明.

教学方法

建构主义式中的启发式.

（让学生通过具体的实例，自己发现规律，进行归纳和猜想，主动地得到结论）

教具准备

实物投影仪

教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］我们大家先拿出笔和纸来求几个导数，可以用上节课学过的四个公式求，也可以用导数的定义求.

［板书］

求下列函数的导数.

（1）x2;

（2）x3;（3）x2+x3;（4）5;（5）x3+5;（6）sinx;（7）x2-sinx;（8）sinx-5.

（或者写在纸上用实物投影仪放出来）

（给5分钟左右，拿几个学生写的答案由实物投影仪放出来）

解：

（1）（x2）′=2x.

（2）（x3）′=3x3-1=3x2.

（3）（x2+x3）′

=

=

=

=2x+3x2

（4）5′=0.

（5）（x3+5）′=

=

=

.

（6）（sinx）′=Cosx.

※（7）（x2-sinx）′

=

=

=

=2x+0-Cosx·1

=2x-Cosx.

※（8）（sinx-5）′

=

=

=

=

=Cosx·1=Cosx.

Ⅱ.讲授新课

［师］我们学极限的时候，学习了极限的四则运算法则，知道了函数的和、差、积、商的极限，等于函数的极限的和、差、积、商，那观察一下上面八道题目，我们可以发现什么?

［生］（x2+x3）′=（x2）′+（x3）′.

［生］（x3+5）′=（x3）′+5′.

［生］（x2-sinx）′=（x2）′-（sinx）′.

［生］（sinx-5）′=（sinx）′-5′.

［师］那么对于一般的两个函数u、v，它们的和与差的导数与它们的导数的和与差有什么关系？

能否根据刚才得到的几个等式进行猜想呢？

［生］（u+v）′=u′+v′,（u-v）′=u′-v′.

［师］这只是我们的猜想，要验证它是否正确，必须经过证明，这就是数学所要求的严谨性.下面我们用导数的定义来证明一下，和或差的导数等于导数的和或差.

［板书］（u±v）′=u′±v′（可让学生证明）.

证明：

y=f（x）=u（x）±v（x）,

Δy=u（x+Δx）±v（x+Δx）-［u（x）±v（x）］

=u（x+Δx）-u（x）±［v（x+Δx）-v（x）］

=Δu±Δv.

∴.

∴

=u′（x）±v′（x）,

即y′=（u±v）′=u′±v′.

1.和（或差）的导数

法则1：

两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即（u±v）′=u′±v′.

［师］猜想一下两个函数的积的导数与两个函数的导数有什么关系？

［生］（uv）′=u′v′.

［师］我们猜想出来的结论，有时是正确的，有时却是错误的.经过证明正确，才能说明确实是正确的，下面看一个例子.

［板书］例如u=x2,v=x3.

u′=（x2）′=2x,v′=（x3）′=3x2,

u′·v′=2x·3x2=6x3,

（u·v）′=（x2·x3）′=（x5）′=5x4,

∴（u·v）′≠u′v′.

［师］所以两个函数的积的导数不一定等于两个函数的导数的积.

［板书］2.积的导数

法则2:

两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即（uv）′=u′v+uv′.

证明：

y=f（x）=u（x）v（x）,

Δy=u（x+Δx）v（x+Δx）-u（x）v（x）

=u（x+Δx）v（x+Δx）-u（x）v（x+Δx）+u（x）v（x+Δx）-u（x）v（x）

=［u（x+Δx）-u（x）］v（x+Δx）+u（x）·［v（x+Δx）-v（x）］.

∴

.

∵v（x）在点x处可导，

∴v（x）在点x处连续.

∴当Δx→0时，v（x+Δx）→v（x）.

∴

=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）.

∴y′=（uv）′=u′v+uv′.

［师］我们由极限的性质可以知道，常数C可以直接提出来,

∴（Cu）′=Cu′.我们也可以从法则2得出结论.

［板书］（Cu）′=C′u+Cu′=0·u+Cu′=Cu′.

3.常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即（Cu）′=Cu′.

［师］这说明，在求导时，可以把函数的常数因子直接提出来.

下面我们用和、差、积的导数法则来计算几个函数的导数.

4.课本例题

［例1］求y=x3+sinx的导数.

解：

y′=（x3+sinx）′=（x3）′+（sinx）′=3x2+Cosx.

［例2］求y=x4-x2-x+3的导数.

解：

y′=（x4-x2-x+3）′

=（x4）′-（x2）′-x′+3′

=4x3-2x-1,即y′=4x3-2x-1.

［例3］求y=2x3-3x2+5x-4的导数.

解：

y′=（2x3-3x2+5x-4）′

=（2x3）′-（3x2）′+（5x）′-4′

=2·3x2-3·2x+5

=6x2-6x+5,

即y′=6x2-6x+5.

［例4］求y=（2x2+3）（3x-2）的导数.

解：

y′=［（2x2+3）（3x-2）］′

=（2x2+3）′（3x-2）+（2x2+3）（3x-2）′

=［（2x2）′+3′］（3x-2）+（2x2+3）·［（3x）′-2′］

=4x（3x-2）+（2x2+3）·3

=18x2-8x+9,

即y′=18x2-8x+9.

5.精选例题

［例1］求函数y=（2x+3）（1-x）（x+2）的导数.

［师生共评］这是求三个函数相乘的导数的题，先要把两个看作一个，根据法则2，进行求导，要连续用两次法则2.

解：

（uvt）′=（uv）′t+uvt′=（u′v+uv′）t+uvt′=u′vt+uv′t+uvt′.

∴y′=［（2x+3）（1-x）（x+2）］′

=（2x+3）′（1-x）（x+2）+（2x+3）（1-x）′（x+2）+（2x+3）（1-x）（x+2）′

=2（1-x）（x+2）+（2x+3）（-1）（x+2）+（2x+3）（1-x）

=-6x2-10x+1.

［师生共评］求三个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个、第三个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数乘第三个函数，再加上第一个函数乘第二个函数乘第三个函数的导数.

［师］那么求四个函数乘积的导数，五个……甚至是n个函数乘积的导数呢？

猜想一下应该是什么形式呢？

［生］（f1f2…fn）′=f1′f2…fn+f1f2′f3…fn+…+f1f2…fn-1′fn+f1f2…fn-1fn′.（板书）

［师］三个函数乘积的导数，我们求的时候是连续用了两次法则2，那现在有n个函数，是否要用n-1次法则2呢？

像这一类与n有关的命题，我们要证明它，可以用什么方法？

［生］可以用数学归纳法.

［学生板演］证明：

用数学归纳法.

1°当n=1时，f1′=f1′,

当n=2时，（f1f2）′=f1′f2+f1f2′,等式成立.

2°假设当n=k时，等式成立，即

（f1f2…fk）′=f1′f2…fk+f1f2′f3…fk+…+f1…fk-2fk-1′fk+f1…fk-1fk′,

当n=k+1时,

（f1f2…fkfk+1）′

=（f1f2…fk）′fk+1+f1f2…fkfk+1′

=（f1′f2…fk+f1f2′f3…fk+…+f1…fk-2fk-1′fk+f1…fk-1fk′）fk+1+f1f2…fkfk+1′

=f1′f2…fkfk+1+f1f2′f3…fkfk+1+…+f1…fk-2fk-1′fkfk+1+f1…fk-1fk′fk+1+f1f2…fkfk+1′,等式也成立.

∴由1°、2°知，对任意的n∈N*等式都成立，即

（f1f2…fn）′=f1′f2…fn+f1f2′f3…fn+…+f1…fn-2fn-1′fn+f1…fn-1fn′.

对于加法呢？

求（f1+f2+…+fn）′.

［生］解法一：

（f1+f2+…+fn）′=f1′+（f2+…+fn）′

=f1′+f2′+（f3+…+fn）′=…=f1′+f2′+…+fn′.

［师评］这样虽然可以明显地看出来，但如果是一个证明题，则如方法一的证明过程，理由不充分，我们仍然可以用数学归纳法证明.

解法二：

猜想（f1+f2+…+fn）′=f1′+f2′+…+fn′.

证明：

用数学归纳法.

1°当n=1时，f1′=f1′,

当n=2时，（f1+f2）′=f1′+f2′,等式成立.

2°假设当n=k时，等式成立，即（f1+f2+…+fk）′=f1′+f2′+…+fk′,

当n=k+1时，（f1+f2+…+fk+fk+1）′=（f1+f2+…+fk）′+fk+1′

=f1′+f2′+…+fk′+fk+1′,等式也成立.

∴由1°、2°知，对任意的n∈N*,等式都成立，即

（f1+f2+…+fn）′=f1′+f2′+…fn′.

［师］等式中如果把“+”换成“-”号，或者全部换，或者部分换，等式都成立.

［例2］［xx年苏州市高考模拟题（2月考）］

已知fn（x）=（+x）（+x）（+x）·…·（+x）,则fn′（0）=__________.

［师生共析］利用上面结论先求f′n（x）,再将x=0代入求得.

［学生板演］解：

∵（+x）′=0+1=1,

k=1,2,3,…,n,

∴f′n（x）=1·（+x）·（+x）·…·（+x）+（+x）·1·（+x）·…·（+x）+…+（+x）·（+x）·…·（+x）·1.

令x=0，得f′n（0）=··…·+··…·+…+··…·

=

Ⅲ.课堂练习

1.求下列函数的导数.

（1）2x3+3x2-5x+4.

解：

（2x3+3x2-5x+4）′

=（2x3）′+（3x2）′-（5x）′+4′

=2·3x2+3·2x-5

=6x2+6x-5.

（2）y=sinx-x+1.

解：

y′=（sinx-x+1）′

=（sinx）′-x′+1′=Cosx-1.

（3）y=（3x2+1）（2-x）.

解：

y′=［（3x2+1）（2-x）］′

=（3x2+1）′（2-x）+（3x2+1）（2-x）′

=3·2x（2-x）+（3x2+1）（-1）

=-9x2+12x-1.

（4）y=（1+x2）Cosx.

解：

y′=［（1+x2）Cosx］′

=（1+x2）′Cosx+（1+x2）（Cosx）′

=2xCosx+（1+x2）（-sinx）

=2xCosx-（1+x2）sinx.

2.（xx年湖北省宜昌市模拟题）过点（2,1）作曲线f（x）=x2-2x+2的切线,则切线方程为________.

解:

∵f′（x）=2x-2,点P（2,1）不在曲线上,

设切点为T（t,t2-2t+2）,

∴过T的切线的斜率为k=f′（t）=2t-2.

∴切线方程为y-t2+2t-2=（2t-2）（x-t）.

又∵切线过点P（2,1）,

∴1-t2+2t-2=（2t-2）（2-t）,

化简为（t-1）（3-t）=0.

∴t1=1,t2=3.

当t1=1时,切线方程为y=1;

当t=3时,T（3,5）,切线方程为y-5=4（x-3）,

即4x-y-7=0.

故过点P（2,1）的切线方程为y=1,4x-y-7=0.

故应填y=1,4x-y-7=0.

3.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点（1,0）处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.

（1）求直线l2的方程;

（2）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.

思路分析:

（1）求曲线在某点处切线的步骤:

先求曲线在这点处的导数,这点对应的导数值即为过此点切线的斜率,再用点斜式写出直线方程.

（2）求面积用即可完成.

解:

（1）∵y=x2+x-2,

∴导数y′=2x+1.

又∵点A（1,0）在曲线上,

∴y′|x=1=2×1+1=3,

即过点（1,0）的切线l1的斜率为k1=3.

由点斜式可得l1:

y-0=3（x-1）,

即直线l1的方程为y=3x-3.

设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B（t,t2+t-2）,

∴l2的斜率为k2=y′|x=t=2t+1.

∴l2的方程为y-（t2+t-2）=（2t+1）（x-t）,

即y=（2t+1）x-t2-2.

又∵l1⊥l2,∴k1·k2=-1,即3·（2t+1）=-1.∴.

∴直线l2的方程为

即l2的方程为,也就是3x+9y+22=0.

（2）将l1、l2的方程联立,

得

将①代入②得3x+9（3x-3）+22=0,

即30x-5=0,∴,故.

∴直线l1与l2的交点坐标为C（,）.

又∵l1、l2与x轴的交点坐标分别为M（1,0）、N（,0）,

∴|MN|=|-1|=,顶点C到MN的距离（三角形的高）h=||=,

所以△CMN的面积为|MN|·h=××=.

答:

由直线l1、l2及x轴所围成的三角形的面积为.

解题回顾:

（1）这是一道集导数与直线等知识点于一题的一道小型综合题,难度系数不大,属于中档偏下题.主要考查了导数的几何意义,两条直线的位置关系,特别是垂直的性质等知识,考查了学生的分析问题、解决问题的能力,以及学生的综合运算能力.

（2）本题也可以不用导数知识求解,利用直线与抛物线的位置关系来解,用待定系数法求出切线的斜率.设切线的方程为y=k1（x-1）,代入曲线y=x2+x-2,得x2+（1-k1）x+k1-2=0,∵相切,故Δ1=0,∴有（1-k1）2-4（k1-2）=0,k12-6k1+9=0.∴（k1-3）2=0,故k1=3,切线l1的方程为y=3（x-1）,又l1⊥l2,所以,设切线l2的方程为,代入y=x2+x-2,得x2+x-2-b=0,由相切条件可知Δ2=0,∴-4（-2-b）=0.∴.∴l2的方程为.下面同原解法.从这种解法来看,运算量也不算太大,但不如用导数知识求解一目了然.由此可知,利用导数的几何意义求曲线的切线是十分明快的.

Ⅳ.课时小结

这节课主要学习了和（或差）的导数和积的导数，即（u±v）′=u′±v′和（uv）′=u′v+uv′.把这三个公式推广成n个函数的公式为（f1+f2+…+fn）′=f1′+f2′+…+fn′和（f1f2…fn）′=f1′f2…fn+f1f2′f3…fn+…+f1…fn-2fn-1′fn+f1…fn-1fn′.利用这些公式，以及上节课学习的四个公式，可以方便地求解一些函数的导数.

Ⅴ.课后作业

P120～121习题3.3　1

（1）

（2），2

（1）

（2）.

（二）1.预习内容:

课本P119～120商的导数.

2.预习提纲:

（1）商的导数法则的文字语言、符号语言的表示.

（2）预习例5、例6，利用法则3会求分式的导数.

板书设计

§3.3.1　函数的和、差、积、商的导数

（一）

1.和（或差）的导数

法则1：

两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即（u±v）′=u′±v′.

2.积的导数

法则2：

两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即（uv）′=u′v+uv′.

3.常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即（Cu）′=Cu′.

（u±v）′=u′±v′的证明过程.

（uv）′=u′v+uv′的证明过程.

课本例题

例1.求y=x3+sinx的导数.

例2.求y=x4-x2-x+3的导数.

例3.求y=2x3-3x2+5x-4的导数.

例4.求y=（2x2+3）（3x-2）的导数.

精选例题

例1.求y=（2x+3）（1-x）（x+2）的导数.

（f1f2…fn）′=f1′f2…fn+f1f2′f3…fn+…+f1f2…fn-1fn′.

变题:

（f1+f2+…+fn）′=f1′+f2′+…+fn′.

例2.

课堂练习

1.求下列函数的导数.

（1）2x3+3x2-5x+4;

（2）y=sinx-x+1;

（3）y=（3x2+1）（2-x）;

（4）y=（1+x2）Cosx.

2.xx年湖北省宜昌市模拟题

3.

课后作业

2019-2020年高三数学3.3函数的和、差、积、商的导数（第二课时）大纲人教版选修

教学目标

一、教学知识点

商的导数法则.

二、能力训练要求

1.理解商的导数法则，并能运用.

2.能够综合运用各种法则求函导数.

三、德育渗透目标

1.提高学生的运算速度，培养学生的运算能力.

2.培养学生思维的严密性、科学性.

教学重点

商的导数法则.

教学难点

商的导数法则的理解与记忆，以及它的证明过程，证明过程要讲究严密性，在用极限的四则运算法则时，要使每个函数都有极限.

教学方法　

讲授法

教学过程　

Ⅰ.课题导入

［师］我们先来看一下下面几个函数的导数.

［板书］（x5）′=5x4,（x3）′=3x2.

∴.

而（）′=（x2）′=2x,

∴（′≠.

［师］所以，商的导数不等于导数的商，那么商的导数有什么法则呢？

可以直接根据法则进行求导，而不需要用定义来求.上节课我们学习了和（或差）的导数法则，以及积的导数法则，这节课再来学习商的导数法则.

Ⅱ.讲授新课

［师］先复习一下和、差、积的导数法则，以及n个函数的和、积的导数.（学生回答，老师板书）

1.和（或差）的导数

法则1：

两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即（u±v）′=u′±v′.

2.积的导数

法则2：

两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数,

即（uv）′=u′v+uv′.

特例（Cu）′=Cu′.

3.（f1+f2+…+fn）′=f1′+f2′+…+fn′.

4.（f1f2…fn）′=f1′f2…fn+f1f2′f3…fn+…+f1…fn-2fn-1′fn+f1…fn-1fn′.

5.商的导数

法则3：

两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,

即（v≠0）.

证明：

=

=

=

.

∵v（x）在点x处可导，所以v（x）在点x处连续,

∴当Δx→0时，v（x+Δx）→v（x）.

∴

即.

［师］用商的导数法则时，要注意分母v不能等于0.到现在我们已经学习了和、差、积、商的导数法则，并会用几种常见函数的导数公式，在求一些函数的导数时，就可以很方便地运用这些公式、法则去求，而不必从导数的定义出发了.

6.课本例题

［例5］求的导数.

［分析］该题可以直接利用商的导数法则.

解：

［例6］求在点x=3处的导数.

［分析］该题既要用到商的导数法则，还要用到和的导数法则.

解：

=

=

.

∴y′|x=3=

.

7.精选例题

［例1］求·Cosx的导数.

［师生共析］这道题可以看作两个函数的乘积，也可以看作两个函数的商，所以不同的看法有不同的做法.这道题可以用两种方法来求.

解法一：

y′=（·Cosx）′

=（）′Cosx+（Cosx）′

=（）′Cosx-sinx

=

=

=.

解法二：

y′=（·Cosx）′=（）′

=

=

=

=

.

［例2］求y=Cotx的导数.

解：

y′=（Cotx）′=（）′

=

=

=

［例3］（xx年南通市高考模拟题第16题）设f（x）=（x-1）（x-2）…（x-xx）,则f′（xx）=_________.

［师生共析］共有xx个一次因式相乘，若直接用积的求导法则运算量太大，要去括号又困难重重.考虑到它只求x=1处的导数，不妨把这xx个因式划分成两部分求导.

［学生板演］f′（x）={（x-1）［（x-2）（x-3）…（x-xx）］}′

=（x-1）′［（x-2）…（x-xx）］+（x-1）［（x-2）…（x-xx）］′

=（x-2）（x-3）…（x-xx）+（x-1）［（x-2）…（x-xx）］′

=…

=（x-2）（x-3）（x-xx）+（x-1）（x-3）…（x-xx）+…+（x-1）（x-2）…（x-xx）.

令x=xx,得f′（xx）

=（xx-2）（xx-3）…（xx）+（xx-1）（xx-2）…（xx）+…+（xx-1）（xx-2）…（xx）

=0+0+…+0+xx×xx×…×1=xx!

.

［生］也可以这样解：

把（x-1）（x-2）…（x-xx）写成［（x-1）（x-2）…（x-xx）］与（x-xx）的积.

∴f′（x）=［（x-1）（x-2）…（x-xx）］′（x-xx）+（x-1）（x-2）…（x-xx）·（x-xx）′

=［（x-1）（x-2）…（x-xx）］′（x-xx）+（x-1）（x-2）…（x-xx）.

∴f′（xx）=0+（xx-1）（xx-2）…（xx）

=xx×xx×