高中数学涉及函数的实际应用问题研究教师版.docx
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高中数学涉及函数的实际应用问题研究教师版
专题四：
涉及函数的实际应用问题研究
【题型导引】
题型一：
函数实际应用问题
（1）一次函数的实际应用；
（2）二次函数的实际应用；（3）一次与二次函数的综合应；（4）一次函数与反比例函数的综合应用。
题型二：
方程、不等式与函数综合应用问题
（1）反比例函数与分式的综合应用；
（2）一次函数和方程的综合应用；（3）函数与不等式的综合应用；
【典例解析】
类型一：
函数实际应用问题
例题1：
（2018·齐齐哈尔中考）某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的
继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s（km）和行驶时间t（min）之间的函数关系如图所示．
请结合图象解决下面问题：
（1）学校到景点的路程为km，大客车途中停留了min，a＝；
（2）在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？
（3）小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？
（4）若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待分钟，大客车才能到达景点入口．
【解析】
（1）由图形可得学校到景点的路程为40km，大客车途中停留了5min，
小轿车的速度为
＝1（km/min），
a＝（35－20）×1＝15.
故答案为40，5，15.
（2）由
（1）得a＝15，∴大客车的速度为
＝
（km/min）．
小轿车赶上来之后，大客车又行驶了（60－35）×
×
＝
（km），40－
－15＝
（km）．
答：
在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有
km.
（3）设直线CD的表达式为s＝kt＋b，将（20，0）和（60，40）代入得
解得
∴直线CD的表达式为s＝t－20.
当s＝46时，46＝t－20，解得t＝66.
小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为
＝35（min），
小轿车司机折返时的速度为6÷（35＋35－66）＝
（km/min）＝90km/h＞80km/h.
答：
小轿车折返时已经超速．
（4）大客车的时间：
＝80（min），80－70＝10（min）．
故答案为10.
技法归纳：
解答解决函数之间的综合题目时，结合题意进行审题后确定函数的类型是最关键的，已知量和未知量之间的关系式一次函数，反比例函数还是二次函数，往往题目中有所题型，这样我们就可以直接利用待定系数法写出解析式并根据相关条件解答，这一问题是基础也是关键，再根据后续的问题进行最值解答或者取值范围内的要求得到相应的答案.
类型二：
方程、不等式与函数综合应用问题
例题2：
（2019•四川省广安市•8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【解答】解：
（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，
，解得，
，
答：
1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（200﹣a）只，费用为w元，
w＝5a＋7（200﹣a）＝﹣2a＋1400，
∵a≤3（200﹣a），
∴a≤150，
∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50，
答：
当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．
技法归纳：
（1）方程、不等式与函数实际应用问题需要掌握以下几个类型的问题：
一、一次函数与方程或不等式的综合应用，这类属于高频命题形式，考查内容可以涉及多个，如一次函数图象信息题，一次函数方案选择类型问题等，结合二元一次方程组、不等式、分式方程和一元二次方程等多种考查形式；二、二次函数与方程或不等式的综合应用，包括销售利润类，与一次函数结合等类型．
（2）命题中常常以方程或方程组，根据已知条件确定某个量，利用不等式或不等式组确定变量的取值范围，再根据函数的性质解答问题．（3）利用表格、图例、函数图象等手段，利用实际问题中的数量关系是解决问题的基础，关于运用转化为方程、不等式或函数模型是解决问题的关键，把握数量间的内在联系，从整体着眼探索方法，从细微处思考争满分．
【变式训练】
1.（2019•浙江绍兴•8分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
【解答】解：
（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：
＝6千米；
（2）设y＝kx＋b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，
得
，
∴
，
∴y＝﹣0.5x＋110，
当x＝180时，y＝﹣0.5×180＋110＝20，
答：
当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x＋110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．
2.（2018·上海中考）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写自变量的取值范围）
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
【解析】：
（1）设该一次函数表达式为y＝kx＋b，
将（150，45），（0，60）代入y＝kx＋b中得
解得
∴该一次函数表达式为y＝－
x＋60.
（2）当y＝－
x＋60＝8时，解得x＝520，
即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．
530－520＝10（千米），
油箱
中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．
答：
在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．
3.（2017·杭州中考）在面积都相等的所有矩
形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.
（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y.
①求y关于x的函数表达式；
②当y≥3时，求x的取值范围；
（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？
为什么？
【解析】
（1）①由题意可得xy＝3，则y＝
.
②当y≥3时，
≥3，解得x≤1，
∴x的取值范
围是0＜x≤1.
（2）∵一个矩形的周长为6，∴x＋y＝3，
∴x＋
＝3，整理得x2－3x＋3＝0.
∵b2－4ac＝9－12＝－3＜0，
∴矩形的周长不可能是6，
∴圆圆的说法不对．
∵一个矩形的周长为10，
∴x＋y＝5，
∴x＋
＝5，整理得x2－5x＋3＝0.
∵b2－4ac＝25－12＝13＞0，∴矩形的周长可能是10，
∴方方的说法对．
4.（2018·随州中考）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：
任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：
设李师傅第x天创造的产品利润为W元．
（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）求李师傅第几天创造的利润最大？
最大
利润是多少元？
（3）任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元
．工厂制定如下奖励制度：
如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？
【解析】：
（1）设p与x之间的函数关系式为p＝kx＋b，
代入（
1，7.5），（3，8.5）得
解得
即p与x的函数关系式为p＝0.5x＋7（1≤x≤15，x为整数）．
当1≤x＜10时，
W＝[20－（0.5x＋7）]（2x＋20）＝－x2＋16x＋260.
当10≤x≤15时，
W＝[20－（0.5x＋7）]×40＝－20x＋520，
即W＝
（2）当1≤x＜10时，
W＝－x2＋16x＋260＝－（x－8）2＋324，
∴当x＝8时，W取得最大值，此时W＝324.
当10≤x≤15时，W＝－20x＋520，
∴当x＝10时，W取得最大值，此时W＝320.
∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元．
（3）当1≤x＜10时，
令－x2＋16x＋260＝299，得x1＝3，x2＝13，
当W＞29
9时，3＜x＜13.
∵1≤x＜10，∴3＜x＜10.当10≤x≤15时，
令W＝－20x＋520＞299，得x＜11.05，∴10≤x≤11.
由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为20×（11－3）＝160（元）．
答：
李师傅共可获得160元奖金．
5.（原创题）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：
所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．
（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？
为什么？
【解析】：
（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为10小时
（2）∵点B（12，18）在双曲线y＝
上，
∴18＝
，∴k＝216
（3）当x＝16时，y＝
＝13.5，
所以当x＝16时，大棚内的温度约为13.5℃
6.（2019·贵州安顺·10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
【解答】解：
（1）设一次函数解析式为：
y＝kx＋b
当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；
∴
，
解得：
，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x＋100；
（2）由题意得：
（60﹣40﹣x）（10x＋100）＝2090，
整理得：
x2﹣10x＋9＝0，
解得：
x1＝1．x2＝9，
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x＝9，
答：
商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
7.（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y＝
（x≥1）交于点A，且AB＝1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：
M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t＝1时h＝5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v＝5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．
【解答】
（1）由题意，点A（1，18）带入y＝
得：
18＝
∴k＝18
设h＝at2，把t＝1，h＝5代入
∴a＝5
∴h＝5t2
（2）∵v＝5，AB＝1
∴x＝5t＋1
∵h＝5t2，OB＝18
∴y＝﹣5t2＋18
由x＝5t＋1
则t＝
∴y＝﹣
当y＝13时，13＝﹣
解得x＝6或﹣4
∵x≥1
∴x＝6
把x＝6代入y＝
y＝3
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3＝10（米）
（3）把y＝1.8代入y＝﹣5t2＋18
得t2＝
解得t＝1.8或﹣1.8（负值舍去）
∴x＝10
∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y＝
上
此时，乙的坐标为（1＋1.8v乙，1.8）
由题意：
1＋1.8v乙﹣（1＋5×1.8）＞4.5
∴v乙＞7.5
8.（2019▪贵州毕节12分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
x（元）
15
20
30
…
y（袋）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？
每日销售的最大利润是多少元？
【解答】解：
（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx＋b得
，解得
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：
y＝﹣x＋40
（2）依题意，设利润为w元，得
w＝（x﹣10）（﹣x＋40）＝﹣x2＋50x＋400
整理得w＝﹣（x﹣25）2＋225
∵﹣1＜0
∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
9.（2018•扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
【解析】：
（1）由题意得：
，
解得：
．
故y与x之间的函数关系式为：
y＝﹣10x＋700，
（2）由题意，得
﹣10x＋700≥240，
解得x≤46，
设利润为w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x＋700），
w＝﹣10x2＋1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2＋4000，
∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x＝46时，w大＝﹣10（46﹣50）2＋4000＝3840，
答：
当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w﹣150＝﹣10x2＋1000x﹣21000﹣150＝3600，
﹣10（x﹣50）2＝﹣250，
x﹣50＝±5，
x1＝55，x2＝45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
10.（2018•衢州）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：
在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【解答】
（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x﹣3）2＋5（a≠0），
将（8，0）代入y＝a（x﹣3）2＋5，得：
25a＋5＝0，
解得：
a＝﹣
，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣
（x﹣3）2＋5（0＜x＜8）．
（2）当y＝1.8时，有﹣
（x﹣3）2＋5＝1.8，
解得：
x1＝﹣1，x2＝7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
（3）当x＝0时，y＝﹣
（x﹣3）2＋5＝
．
设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣
x2＋bx＋
，
∵该函数图象过点（16，0），
∴0＝﹣
×162＋16b＋
，解得：
b＝3，
∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣
x2＋3x＋
＝﹣
（x﹣
）2＋
．
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为
米．
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