分式函数的图像及性质.docx
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分式函数的图像及性质
分式函数的图像与性质
学习过程1、分式函数的概念
形如
2
axbxc
y2(a,b,c,d,e,fR)
dxexf
的函数称为分式函数。
如
y
2x1
2
xx
,
y
21
x
x2
,
y
4x1
x3
等。
2、分式复合函数
形如
2
a[f(x)]bf(x)c
y(a,b,c,d,e,fR)
2
d[f(x)]ef(x)f
的函数称为分式复合函数。
如
2x
21
y,
x
12
y
sinx2
3sinx3
,
y
x
x
12
3
等。
※学习探究
b
探究任务一:
函数yax(ab0)
x
的图像与性质
axb
问题1:
y(a,b,c,dR)
cxd
的图像是怎样的?
例1、画出函数
y
2x1
x1
的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】
y
2x12(x1)11
x1x1x1
2y
,即函数
2x1
x1
的图像可以经由函数
y
1
x
的图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到。
如下表所示:
111
右1上2
yyy
xx1x1
2
由此可以画出函数
y
2x1
x1
的图像,如下:
y
y
y
2
OO
x1
x
O1x
单调减区间:
(,1),(1,);
值域:
(,2)(2,);
对称中心:
(1,2)。
axb
【反思】y(a,b,c,dR)
cxd
条件决定?
的图像绘制需要考虑哪些要素?
该函数的单调性由哪些
axb
【小结】y(a,b,c,dR)
cxd
需要借助“分离常数”的处理方法。
的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,
axb
分式函数y(a,b,c,dR)
cxd
的图像与性质
d
(1)定义域:
{x|x}
c
;
a
(2)值域:
{y|y}
c
;
dd
(3)单调性:
单调区间为(,),(,+)
cc
;
da
(4)渐近线及对称中心:
渐近线为直线x,y
cc
(5)奇偶性:
当ad0时为奇函数;
(6)图象:
如图所示
da
,对称中心为点(,)
cc
;
y
y
OxOx
b
问题2:
yax(ab0)
x
的图像是怎样的?
例2、根据yx与
数具有的性质。
y
1
x
的函数图像,绘制函数
yx
1
x
的图像,并结合函数图像指出函
【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间,奇偶性,周期性,
凸凹性(此点不作要求),关键点坐标(最值点、与坐标轴交点)、辅助线(对称轴、渐近线)。
绘图过程中需综合考虑以上要素,结合逼近与极限思想开展。
解:
函数的定义域为:
{x|x0};
根据单调性定义,可以求出
yx
1
x
的单调区间
增区间:
(,1][1,)
减区间:
[1,0),(0,1]
函数的值域为:
(,2][2,)
函数的奇偶性:
奇函数函数图像的渐近线为:
yx,x0
函数的图像如下:
y
y
yx
yx
O
Oxx
y
1
x
【反思】如何绘制陌生函数的图像?
研究新函数性质应从哪些方面入手?
b
【小结】分式函数yax(a,b0)
x
(1)定义域:
{x|x0};
的图像与性质:
(2)值域:
{y|y2ab,或y2ab};
(3)奇偶性:
奇函数;
bb
(4)单调性:
在区间(,][,+)
aa
上是增函数,
bb
在区间(0,],[,0)
aa
上为减函数;
(5)渐近线:
以y轴和直线yax为渐近线;
(6)图象:
如右图所示
y
yax
2ab
b
b
a
a
O
2ab
x
例3、根据yx与
数具有的性质。
y
1
x
的函数图像,绘制函数
yx
1
x
的图像,并结合函数图像指出函
【分析】结合刚才的绘图经验,不难绘制出
解:
函数的定义域为:
{x|x0};
yx
1
x
的图像
根据单调性定义,可以判断出
yx
1
x
的单调性,单调增区间为:
(,0),(0,)
函数的值域为:
R
函数的奇偶性:
奇函数
函数图像的渐近线为:
yx,x0
函数的图像如下:
yy
yx
Ox
Ox
y
1
x
【反思】结合刚才的两个例子,
yx
1
x
与
1
yx
x
的图像又是怎样的呢?
思考
y2x+
1
x
与
y3x
2
x
b
的图像是怎样的呢?
yax(a,bR,ab0)
x
的图像呢?
函数
yx
1
x
的图像如下,绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。
y
y
yx
x
yx
O
y
1
x
O
x
【注】
11
yx(x)
xx
,由于yf(x)与yf(x)的图像关于x轴对称,所以还
可以根据
yx
1
x
的图像,对称的画出
yx
1
x
的图像。
同样的道理
1
yx
x
的图像
与
yx
1
x
的图像关于x轴对称,所以图像如下:
y
y
yx
1
x
1
yx
x
Ox
x
O
b
【小结】yax(a,bR,ab0)
x
的图像如下:
b
(i)yax(a0,b0)
x
y
yax
xO
b
(ii)yax(a0,b0)
x
y
yax
Ox
b
(iii)yax(a0,b0)
x
y
yax
x
O
b
(iv)yax(a0,b0)
x
[来源:
学+科+网Z+X+X+K]
y
yax
x
O
b
yax(a,bR,ab0)
x
的单调性、值域、奇偶性等,可以结合函数的图像研究。
探究任务二:
函数
2
axbxc
yabcdefR
dxexf
2(,,,,,)
的图像与性质
问题3:
函数
y
2
2xx1
x1
的图像是怎样的?
单调区间如何?
【分析】
y2x
22
2xx12(x1)3(x1)22
y2(x1)3
x1x1x1
2
21232xx1
左下
y2(x1)y
xx1x1
2
2xx1
所以y
的图像与
x1
图像的对称中心为:
(1,3)
y2x
2
x
的图像形状完全相同,只是位置不同。
单调增区间为:
(,2][0,)
单调减区间为:
[2,1),(1,0]
值域:
(,7][1,)
图像如下:
y
1
21
O
x
3
7
【反思】函数
y
x1
2
2xx1
的性质如何呢?
单调区间是怎样的呢?
【小结】对于分式函数
2
axbxc
yabcdefR
dxexf
2(,,,,,)
而言,分子次数高于分母时,
可以采用问题3中的方法,将函数表达式写成部分分式,在结合函数的图像的平移,由熟悉
的四类分式函数的图像得到新的函数图像,再结合函数的图像研究函数的性质。
对于分子的
次数低于分母的次数的时候,可以考虑分子分母同时除以分子(确保分子不为0),再着力
研究分母的性质与图像,间接地研究整个函数的性质。
如:
x111
y(x1)
22
2
21xx2
(1)3
xx21x
x1
x1
二次分式函数具有形式
2
AxBxC
yf(x)AB不同时为0).
2(,
DxExF
我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.
1.定义域和有界性
20
当方程有解,设
DxExF
2
x,x(xx)是DxExF=0两个根.则函数定义
1212
域{xR|xx1xx2}.当
22
Ax1Bx1C0,lim或Ax2Bx2C0,lim.此时函数无界.当
xxxx
12
22
Ax1Bx1C=0且Ax2Bx2C=0,函数有界且为常值函数(很少遇到的情况,比如
y
2
x
2
x
1
1
).所以通常当
240
EDF,二次分式函数是无界的.
xx1,xx2是函数的渐
近线.
当
240
EDF,函数定义域为R.函数有界.
2.单调性,极值,值域
当
240
EDF,
20
DxExF,可以将函数化为
2=2.
x的方程yDxExFAxBxC.
2B0
即.对于
xDyAxEyFyC
值域中的每一个y,方程都有实数解,当DyA0,0,当DyA=0,验证是否有解.这
样就可以求出值域.值域的两个端点(方程的两个解)为函数极大值和极小值.但为了计算在何
处取得极值,需将极值代入
2B0
xDyAxEyFyC函数解出x,计算可能有
点慢.下文会给出一个简便的计算方法.
limf(x)
x
A
D
根据极值与
A
D
的大小即可判断单调区间.
240
EDF这种情况最多有
三个单调区间.
当
240
EDF,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出yR.出现这种情况,求解
20
DxExF和
20
AxBxC.分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分
式值域.比如
2
2
12xx1x1x3
y1x1且x2
2
2xx1x2x2x2x
取所以函数值域且
x1,y0,y|y0y1.
分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体
例子.
y
2
3x3x2
2
x
x5
.首先定义域
2
{x|xx50}解得
116x13
{x|x121)x(121}.分离分子中的二次项得y32
22xx
t13
令.代入得
t6x13,x
6
5
.
y3
1
2
xx
5
6x13
3
1
11
513t13t
636
t
2
3
1
6732tt
36t
2
3
1
67t8
36t369
当t0
y
1131267
33
67t8
21
678
2
36369369
t2
67tt136713
当,t67取等号,x
36t3666
当t0
y
1131267
33
67t867821
2
36t369369
2
67t6713
当,t67取等号,x
36t366
函数值域
3126731267
?
(-,-)(,+)
2121
根据
2
3x3x2
lim3
2
xxx5
3-
3126731267
2121
67131216713121
6262
可判断出单调区间
增区间
1111
(-,1367),(1367,121),(121,+)
6622
减区间
1111
(1367,121),(121,1367)
6226
共有5个单调区间
顺便再算一下函数零点
11
2
3x3x2=0解得x=333,x=333
12
66
有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像