计数原理第三十讲排列与组合答案.docx
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计数原理第三十讲排列与组合答案
专题十计数原理
第三十讲排列与组合
答案部分
1．C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中
随机选取两个不同的数有C2种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的
10
有3对，所以所求概率
31
P==，故选C．
C15
2
10
2．D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，
只要把工作分成三份：
有C2种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式
4
共有23
CA=36种．故选D．
43
3．C【解析】不放回的抽取2次有
C1C1=98=72，如图
98
12
2，3，4，5，6，7，8，91，3，4，5，6，7，8，9
可知（1,2）与（2,1）是不同，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有2C1C1=40，所求
54
概率为
405
=．
728
4．B【解析】由题意可知E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法计数原理知，共
有63=18种走法，故选B．
5．D【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中任选一个，
有A1种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列,有A4种方
34
法，所以其中奇数的个数为A1A4=72，故选D．
34
6．B【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有
2A3个；若万位上排5，
4
则有3A3个.所以共有2A33
+3A=524=120个，选B．444
7．D【解析】P
227
4−
==．
28
4
1
8．D【解析】易知
|x|+|x|+|x|+|x|+|x|=1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：
12345
|x|+|x|+|x|+|x|+|x|=1，此时，从
12345
x1,x2,x3,x4,x5中任取一个让其等于1
或-1，其余等于0，于是有
C1C1=种情况；其二：
5210
|x|+|x|+|x|+|x|+|x|=2，
12345
此时，从
x1,x2,x3,x4,x5中任取两个让其都等于1或都等于-1或一个等于1、另一个
等于-1，其余等于0，于是有
2C2+C2C1=40种情况；其三：
552
|x|+|x|+|x|+|x|+|x|=3，此时，从
12345
xxxxx中任取三个让其都等于
1,2,3,4,5
1或都等于-1或两个等于1、另一个等于-1或两个等于-1、另一个等于1，其余等于
0,于是有
2C3+C3C1+C3C2=80种情况．由于10+40+80=130．
55353
9．C【解析】直接法：
如图，在上底面中选
BD，四个侧面中的面对角线都与它成60，
11
共8对，同样
AC对应的也有8对，下底面也有16对，这共
11
D1C1
有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对，所以全部共有48
A1
B1
对．
C
D
间接法：
正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或
AB
成角为60，所以成角为60的共有C2−−=．
1212648
10．A【解析】分三步：
第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有
（1+a+a+a+a+a）种不同的取法；第二步，5个无区别的篮球都取出或都不取
2345
出，则有（1+b5）种不同的取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个
不同色的黑球任取0个，1个，…，5个，有
（1+c）5种不同的取法，所以所求的取法种
数为（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5．
11．B【解析】能够组成三位数的个数是9×10×10=900，能够组成无重复数字的三位数的
个数是9×9×8=648．故能够组成有重复数字的三位数的个数为900−648=252．
12．A【解析】先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到
乙地，共有C21C42=12种．
13．D【解析】和为偶数，则4个数都是偶数，都是奇数或者两个奇数两个偶数，则有
C4+C4+C2C2=++=种取法．
4545156066
14．C【解析】若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有
2
CC1C1=64，若2张同色，则有C32C21C42C41=144，若红色1张，其余2
1
444
张不同色，则有121143472
CCCC=，其余2张同色则有112
4344192CCC=，所以
共有64+144+192+72=472．
161514
另解1：
C−=167256088472,答案应选C．
3431
16−CC2C−−=−=
4412
6
1211101211
另解2：
C22026412472．
0=−12+4
4C−3C3+CC2=+−=
31
124412
62
15．B【解析】B，D，E，F用四种颜色，则有
A4=种涂色方法；B，D，E，F用
41124
三种颜色，则有A4322+A43212=192种涂色方法；B，D，E，F用两种颜色，
则有A4222=48种涂色方法；所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法．
16．B【解析】分两类：
一类为甲排在第一位共有
A4=24种，另一类甲排在第二位共有
4
A1A3=种，故编排方案共有24+18=42种，故选B．
3318
17．C．【解析】共有5！
=120个不同的闪烁，每个闪烁要完成5次闪亮需用时间为5秒，
共5120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5（120—1）=595秒。
那么需要的
时间至少是600＋595=1195秒．
18．C【解析】由于五个人从事四项工作，而每项工作至少一人，那么每项工作至多两人，
因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：
（1）先从丙、丁、戊三人中任选
一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同其他两人从事其他三项工作，共
有C1C2A3种．
（2）先从丙、丁、戊三人中任选两人开车：
其余三人从事其他三项工作，
343
共有C2A3种．所以，不同安排方案的种数是C1C2A3+C2A3=126（种）．故选C．
3334333
19．16【解析】通解可分两种情况：
第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有
C1C2=12（种）；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C2C1=4（种）．
2424
根据分类加法计数原理知，至少有l位女生人选的不同的选法有16种．
优解从6人中任选3人，不同的选法有
C3=20（种），从6人中任选3人都是男生，
6
不同的选法有C3=4（种），所以至少有1位女生入选的不同的选法有20–4=16（种）．
4
20．1260【解析】若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为CCA；若取
224
534
3
的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为
CCCA．综上，一共可以组成的
21135333
没有重复数字的四位数的个数为C2C2A4+C2C1C1A3=720+540=1260．
5345333
21．660【解析】分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有
C4−C4=55种不
86
同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各一人，有
A2=12种不同的选法，根
4
据分步乘法计数原理共有5512=660种不同的选法．
22．1080【解析】分两种情况，只有一个数字为偶数有A个，所
C1C3A4个，没有偶数有4
4545
以共有A54+C41C53A44=1080个．
23．1560【解析】由题意
A=，故全班共写了1560条毕业留言．
401560
2
24．60【解析】分情况：
一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数
为C2C1A2=36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A3=24，
3144
则获奖情况总共有36+24=60（种）．
25．36【解析】将A、B捆绑在一起，有
A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A4
2
24
种摆法，共有A2A4=48种摆法，而A、B、C3件在一起，且A、B相邻，A、C相邻
24
有CAB、BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有
2A3=12种摆法，故A、
3
B相邻，A、C不相邻的摆法由48-12=36．
26．1
6
【解析】6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，
P
C3C3
1
==；
63
C
36
10
27．
1
2
【解析】从10件产品中任取4件共有C=210种不同取法，因为10件产品中有7
4
10
件正品、3件次品，所以从中任取4件恰好取到1件次品共有
C1C3=105种不同的取
37
法，故所求的概率为
1051
P==．
2102
28．96【解析】5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法分给4个人有
A种
4
4
方法，∴总共有4A4=96．
4
29．【解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不
能为0，有9（1~9）种情况，第二位有1
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