高考总动员高考数学大一轮复习 第4章 平面向量学案 文新人教版.docx

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高考总动员高考数学大一轮复习第4章平面向量学案文新人教版

高考总动员高考数学大一轮复习第4章平面向量学案文（新人教版）

一、向量的有关概念

1、向量：

既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）、2、几种特殊的向量特殊向量定义备注零向量长度为零的向量零向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量单位向量记作a0，与a同方向的单位向量a0＝平行向量方向相同或相反的非零向量（也叫共线向量）0与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a，b为相反向量，则a＝－b

二、向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则

（1）交换律：

a＋b＝b＋a、

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋（－b）数乘求实数λ与向量a的积的运算

（1）|λa|＝|λ||a|；

（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0、λ（μa）＝λμa；（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ（a＋b）＝λa＋λb

【方法技巧】

向量加减法运算的关键点：

向量加法的三角形法则关键是“首尾连，指向终点”，可推广为多个向量相加的“多边形法则”；减法的三角形法则的关键是“共起点，指向被减向量”、

三、平面向量共线定理　向量b与a（a≠0）共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa、

【拓展延伸】

巧用系数判共线＝λ＋μ（λ，μ∈R），若

A、

B、C三点共线，则λ＋μ＝1；反之也成立、[基础能力提升]

1、下列说法正确的是（

）

A、零向量是没有方向的向量

B、单位向量都相等

C、向量的模一定是正数

D、相反向量是平行向量

【解析】

零向量的方向是任意的，不是没有方向，A错；单位向量模相等，方向不一定相同，B错；零向量的模为0，C错；D正确、【答案】　D

2、在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中不正确的是（

）

A、a＋b＝c

B、a－b＝d

C、b－a＝d

D、c－a＝b

【解析】

如图所示，结合向量加法与减法的三角形法则知，B错误、【答案】　B

3、在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD是（

）

A、长方形

B、平行四边形

C、菱形

D、梯形

【解析】

＋＋＝＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2，∴四边形ABCD是梯形、【答案】　D

4、已知向量a、b不共线，且ka＋b与a＋kb共线，则实数k＝________、

【解析】

由题意知ka＋b＝λ（a＋kb），∴ka＋b＝λa＋λkb，∴∴k＝1

【答案】

11、两个结论

（1）向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝（＋）、

（2）三角形的重心已知平面内不共线的三点

A、

B、C，＝（＋＋）⇔G是△ABC的重心、特别地，＋＋＝0⇔P为△ABC的重心、2、三个注意点

（1）作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；

（2）向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；（3）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；第二节　平面向量基本定理及坐标表示

[基础知识深耕]

一、平面向量基本定理　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底、

【方法技巧】

选择基底的规则：

（1）零向量不能作为基底向量；

（2）基底的选择不唯一，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为这个平面的一组基底、

二、平面向量的坐标表示

1、平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解、2、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底、对于平面内的任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj、这样，a可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y）、显然，i＝（1,0），j＝（0,1），0＝（0,0）、

三、平面向量的坐标运算

1、平面向量运算的坐标表示运算坐标表示和（差）已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2）数乘已知a＝（x1，y1），则λa＝（λx1，λy1），其中λ是实数任一向量的坐标已知A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1）、2、平面向量共线的坐标表示若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0、

【拓展延伸】

三点共线与定比分点

1、若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点共线，则（x2－x1）（y3－y2）＝（x3－x2）（y2－y1），或（x2－x1）（y3－y1）＝（x3－x1）（y2－y1），或（x3－x1）（y3－y2）＝（x3－x2）（y3－y1）、同样地，当这些条件中有一个成立时，A，B，C三点共线、2、若P1（x1，y1），P2（x2，y2），当＝λ时，点P的坐标是、[基础能力提升]

1、如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列说法正确的是（

）

A、若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ1e2＝0，则λ1＝λ2＝0

B、对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R

C、λ1e1＋λ2e不一定在平面α内，λ1，λ2∈R

D、对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对

【解析】

由平面向量基本定理知，只有A选项正确、【答案】　A

2、给出下列几种说法：

①相等向量的坐标相同、②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标、③一个坐标对应唯一的向量、其中正确的说法的个数是（

）

A、0

B、1

C、2

D、3

【解析】

根据平面向量的坐标表示知，①③正确，但由于所用基底不同，同一向量坐标不同，故②错误、【答案】　C

3、若＝（2,4），＝（1,3），则＝（

）

A、（1,1）

B、（－1，－1）

C、（3,7）

D、（－3，－7）

【解析】

＝－＝（1,3）－（2,4）＝（－1，－1）、【答案】　B

4、已知a＝（4,2），b＝（x,3），且a∥b，则x＝（

）

A、9

B、6

C、5

D、3

【解析】

∵a∥b，∴43－2x＝0，∴x＝

6、【答案】　B

1、两种形式向量共线的充要条件的两种形式：

（1）a∥b⇔b＝λa（a≠0，λ∈R）

（2）a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）、2、三个易错点

（1）若a、b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；

（2）要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息、（3）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0、第三节　平面向量的数量积与平面向量应用举例

[基础知识深耕]

一、向量的夹角　

（1）定义：

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角、

（2）图示：

（3）范围：

设θ是向量a与b的夹角，则0≤θ≤1

80、（4）共线与垂直：

若θ＝0，则a与b同向；若θ＝180，则a与b反向；若θ＝90，则a与b垂直、

二、平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积

【拓展延伸】

几种特殊情况下的数量积：

设两个非零向量a与b的夹角为θ，则当θ＝0时，cosθ＝1，ab＝|a||b|；当θ为锐角时，cosθ＞0，ab＞0；当θ为直角时，cosθ＝0，ab＝0；当θ为钝角时，cosθ＜0，ab＜0；当θ＝180时，cosθ＝－1，ab＝－|a||b|、

三、平面向量数量积的运算律

1、交换律：

ab＝ba；

2、数乘结合律：

（λa）b＝λ（ab）＝a（λb）；

3、分配律：

a（b＋c）＝ab＋ac、

四、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为a、b的夹角、结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝数量积ab＝|a||b|cosθab＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件ab＝0x1x2＋y1y2＝0|ab|与|a||b|的关系|ab|≤|a||b|（当且仅当a∥b时等号成立）|x1x2＋y1y2|≤[基础能力提升]

1、下列说法正确的是（

）

A、若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0

B、若两个非零向量的夹角θ满足cosθ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角

C、若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则向量a，b的夹角θ满足cosθ＝

D、若A（1,0），B（0，－1），则||＝

【解析】

A、C中a、b必须为非零向量，B中θ还有可能是平角，D正确、【答案】　D

2、若a与b的夹角为120，且|a|＝|b|＝4，则ab＝（

）

A、8

B、－8

C、4

D、－4

【解析】

ab＝|a||b|cos〈a，b〉＝44cos120＝－8

【答案】

B

3、已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且ab＝2，则a与b的夹角为（

）

A、

B、

C、

D、

【解析】

设a、b夹角为θ，则cosθ＝＝＝、∴θ＝、【答案】　C

4、已知向量a，b夹角为60，a＝（2,0），|b|＝1，则|a＋2b|＝（

）

A、

B、2

C、4

D、12

【解析】

|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4|a||b|cos60＝12，∴|a＋2b|＝

2、【答案】　B

1、一个条件两个非零向量垂直的充要条件：

a⊥b⇔ab＝02、两个结论

（1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有ab＞0，反之不成立（因为夹角为0时不成立）；

（2）两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab＜0，反之不成立（因为夹角为π时不成立）、3、三个防范

（1）数量积运算不满足消去律，若向量a，b，c满足ab＝ac（a≠0），则不一定有b＝c、

（2）数量积运算不满足结合律，即（ab）c≠a（bc），这是由于（ab）c表示一个与c共线的向量，a（bc）表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此（ab）c与a（bc）不一定相等、（3）领会向量夹角的概念，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120，而不是

60、