学年江苏省镇江市丹阳市第三中学八年级数学上双休日作业05doc.docx
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学年江苏省镇江市丹阳市第三中学八年级数学上双休日作业05doc
八年级数学双休日作业（5）
2016.10.15
一．选择题
1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是【】
A.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1，
，3
2.如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=【】
A.30°B.35°C.40°D.50°
3.如图1，点E在正方形ABCD内，满足
，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是【】
A．
B．
C．
D．80
4.在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是【】
A．AE∥BCB．∠ADE=∠BDCC．△BDE是等边三角形D．△ADE的周长是9
5.如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为【】
A．16B．15C．14D．13
6.如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？
【】
A．10B．11C．12D．13
7.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为【】
A.
B.
C.4D.5
8.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为
A.
B.
C.
D.
【】
二．填空题
9.等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是cm．
10.如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE=．
11.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于 ．
12.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行 米．
13.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=．
14.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′=．
15.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为cm．
16.如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点
处，且点
在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为cm．
17.如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=4，则图中阴影部分的面积为．
18.如图，已知：
∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=6，AC=3，则BE= ．
三.作图题
19.请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形与图中三角形组成的图形是轴对称图形，且所画三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：
所画的三个图不能重复）
20.如图，已知直线m⊥直线n于点O，点A到m、n的距离相等，在直线m或n上确定一点P，使△OAP为等腰三角形．试回答：
（1）符合条件的点P共有个；
（2）若符合条件的点P在直线m上，请直接写出∠OAP的所有可能的度数.
四．解答题
21.如图，在△ABC的一边AB上有一点P．
（1）能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短．若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；
（2）若∠ACB=48°，在
（1）的条件下，求出∠MPN的度数．
22.如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．
（1）求证：
△EGM为等腰三角形；
（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．
23.已知：
如图，在△ABC中，CD⊥AB，CD=BD，BF平分∠DBC，与CD，AC分别交与点E、点F，且DA=DE，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。
（1）求证：
△EBD≌△ACD；
（2）求证：
点G在∠DCB的平分线上
（3）试探索CF、GF和BG之间的等量关系，并证明你的结论.
24.通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。
下面是一个案例，请补充完整。
原题：
如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，EF=BE+DF，试说明理由。
（1）思路梳理:
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合。
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。
根据_________，易证△AFG≌_______，得EF=BE+DF。
（2）类比引申:
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°。
若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系____时，仍有EF=BE+DF。
（3）联想拓展:
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。
猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。
（2014•滨州）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是【】
A．
4，5，6
B．
1.5，2，2.5
C．
2，3，4
D．
1，
，3
（2013•攀枝花）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（ A ）【】
A．
30°
B．
35°
C．
40°
D．
50°
（2014•安徽）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为【】
A.
B.
C.4D.5
解：
设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△ABC中，x2+32=（9-x）2，
解得x=4．
故线段BN的长为4．
故选：
C．
（2012本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为【】
A、16B、15C、14D、13
【答案】A。
【考点】线段垂直平分线的性质，勾股定理。
【分析】连接AE，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴
。
∵DE是AB边的垂直平分线，∴AE=BE。
∴△ACE的周长为：
AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16。
故选A。
（2013台湾）如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？
【】
A．10B．11C．12D．13
考点：
勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
分析：
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半着一性质可求出AB的长，再根据勾股定理即可求出BE的长．
解答：
解：
∵BE⊥AC，
∴△AEB是直角三角形，
∵D为AB中点，DE=10，
∴AB=20，
∵AE=16，
∴BE=
=12，
（2013•资阳）如图1，点E在正方形ABCD内，满足
，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是C【】
A．
B．
C．
D．80
（2013•柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为【】
A．
B．
C．
D．
解：
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=
=
=5，
∴BC边上的高=
×3×4÷5=
，
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，
则S△ABC=
×3h+
×4h=
×5×
，
解得h=
，
S△ABD=
×3×
=
BD•
，
解得BD=
．
故选A．
（2014•随州）在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是【】
A．
AE∥BC
B．
∠ADE=∠BDC
C．
△BDE是等边三角形
D．
△ADE的周长是9
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，
∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠AEB=∠C=60°，
∴AE∥BC，故选项A正确；
：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=5，
∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出，
∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，
∴AE+AD=AD+CD=AC=5，
∵∠EBD=60°，BE=BD，
∴△BDE是等边三角形，故选项C正确；
∴DE=BD=4，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项D正确；
而选项B没有条件证明∠ADE=∠BDC，
∴结论错误的是B，
故选B．
（2014•无锡）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于 8 ．
（2014•东营）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行 10 米．
解：
如图，设大树高为AB=12m，
小树高为CD=6m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），
在Rt△AEC中，AC=
=10（m）．
故小鸟至少飞行10m．
故答案为：
10．
（2014•凉山州）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为20cm．
解：
如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B=
=
=20（cm）．
故答案为：
20．
（2014•宜宾）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′=1.5．
解：
根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3
设BE=EB′=x，则EC=4﹣x，
∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，
，
∴B′C=5﹣3=2，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22=（4﹣x）2，
解得x=1.5．
故答案为：
1.5．
已知在△ABC中，AB=BC=10，AC=8，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，取AB的中点D，则△DEF的周长为．
如图，已知：
∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=6，AC=3，则BE= ．
：
解：
连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=6，AC=3，
∴BE=1.5．
故答案为：
1.5．
请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形与图中三角形组成的图形是轴对称图形，且所画三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：
所画的三个图不能重复）（9分）
以下图形供参考
如图，已知直线m⊥直线n于点O，点A到m、n的距离相等，在直线m或n上确定一点P，使△OAP为等腰三角形．试回答：
（1）符合条件的点P共有8个；
（2）若符合条件的点P在直线m上，请直接写出∠OAP的所有可能的度数
解：
（1）如图所示．
故答案为：
8个；
（2）如图所示：
22.5°，90°，67.5°，45°．
如图，在△ABC的一边AB上有一点P．
（1）能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短．若能，请
画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；
（2）若∠ACB=48°，在
（1）的条件下，求出∠MPN的度数．
（1）（本题3分+4分）
作出点P关于AC、BC的对称点D、G………1分
连接DG交AC、BC于两点……………………2分
标注字母M、N…………………………………3分
（2）
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°
∴∠C+∠EPF=180°
∵∠C=48°
∴∠EPF=132°………………………………………4分
∵∠D+∠G+∠EPF=180°
∴∠D+∠G=48°……………………………………5分
由对称可知：
∠G=∠GPN，∠D=∠DPM
∴∠GPN+∠DPM=48°………………………………6分
∴∠MPN=132°—48°=84°……………………………7分
如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．
（1）求证：
△EGM为等腰三角形；
（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．
解答：
（1）证明：
∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，
∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°，
又∵AD=AE，∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠1=∠3，
∵∠BAC=90°，
∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠4+∠3=90°
∵FG⊥CD，
∴∠CMF+∠4=90°，
∴∠3=∠CMF，
∴∠GEM=∠GME，
∴EG=MG，△EGM为等腰三角形．
（2）答：
线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG．
证明：
过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N．（见右图）
∵BN⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠FBN=45°=∠FBA．
∵FG⊥CD，
∴∠BFN=∠CFM=90°-∠DCB，
∵AF⊥BE，
∴∠BFA=90°-∠EBC，∠5+∠2=90°，
由
（1）可得∠DCB=∠EBC，
∴∠BFN=∠BFA，
又∵BF=BF，
∴△BFN≌△BFA（ASA），
∴NF=AF，∠N=∠5，
又∵∠GBN+∠2=90°，
∴∠GBN=∠5=∠N，
∴BG=NG，
又∵NG=NF+FG，
∴BG=AF+FG．
已知：
如图，在△ABC中，CD⊥AB，CD=BD，BF平分∠DBC，与CD，AC分别交与点E、点F，且DA=DE，H是BC边的中点，连结DH与BE相交
于点G。
（1）求证：
△EBD≌△ACD；
（2）求证：
点G在∠DCB的平分线上
（3）试探索CF、GF和BG之间的等量关系，
并证明你的结论.
（1）证明：
∵CD⊥AB
∴∠BDE=∠CDA=90°………………1分
∵DE=DA，BD=CD
∴△CBD≌△ACD………………3分
（2）证明：
过点G作GM⊥AB，GN⊥DC………4分
∵BD=CD，H是BC中点
∴DH平分∠BDC，DH⊥BC………5分
∵GM⊥AB，GN⊥DC
∴GM=GN
∵BF平分∠ABC，
GM⊥AB，GH⊥BC
∴GM=GH……………………………6分
∴GH=GN
∴点G在∠DCB的平分线上……7分
（3）解：
BG2=GF2+CF2……………………………8分
连结GC……………………………9分
∵△CBD≌△ACD
∴∠DBE=∠DCA
∵∠DCA+∠A=90°
∴∠DBE+∠A=90°
∴∠BCF=90°
∴CG2=GF2+CF2……………………………11分
∵DH是BC的垂直平分线
∴BG=CG
∴BG2=GF2+CF2……………………………12分
（2013达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。
下面是一个案例，请补充完整。
FF
原题：
如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合。
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。
根据__SAS__________，易证△AFG≌_△AFE_______，得EF=BE+DF。
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°。
若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系_互补___时，仍有EF=BE+DF。
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。
猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。
解：
BD2+EC2=DE2
解析：
（1）SAS………………………（1分）
△AFE………………………（2分）
（2）∠B+∠D=180°………………………（4分）
（3）解：
BD2+EC2=DE2.………………………（5分）
∵AB=AC，
∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合.
∵△ABC中，∠BAC=90°.
∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°.
∴EC2+CG2=EG2.………………………（7分）
在△AEG与△AED中,
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD,
又∵AD=AG，AE=AE，
∴△AEG≌△AED.
∴DE=EG.又∵CG=BD,
∴BD2+EC2=DE2.………………………（9分）
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