55等腰三角形与线段的垂直平分线河北省1997中考数学试题分类汇编word原题及解析版.docx

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55等腰三角形与线段的垂直平分线河北省1997中考数学试题分类汇编word原题及解析版

第五部分图形的性质

5.5等腰三角形与线段的垂直平分线

【一】知识点清单

1、等腰三角形

等腰三角形及其性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；等边三角形及其性质；等边三角形的判定；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形

2、线段垂直平分线的性质

垂直平分线的定义；线段垂直平分线的性质定理；线段垂直平分线的性质定理的逆定理；作图-基本作图（线段的垂直平分线）；作图-基本作图（过直线外一点作直线的垂线）

【二】分类试题汇编

一、选择题

1．（2010年-10题-2分）如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是（　　）

A．7B．8C．9D．10

2．（2013年-8题-3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（　　）

A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里

3．（2013年-13题-3分）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（　　）

A．90°B．100°C．130°D．180°

4．（2014年-12题-3分）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（　　）

A．

B．

C．

D．

5．（2016年-10题-3分）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．

步骤1：

以C为圆心，CA为半径画弧①；

步骤2：

以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；

步骤3：

连接AD，交BC延长线于点H．

下列叙述正确的是（　　）

A．BH垂直平分线段ADB．AC平分∠BADC．S△ABC=BC•AHD．AB=AD

6．（2016年-16题-2分）如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．3个以上

7．（2018年-8题-3分）已知：

如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：

点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　）

A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC

C．取AB中点C，连接PCD．过点P作PC⊥AB，垂足为C

二、填空题

1．（1997年-8题-3分）若等腰三角形顶角的外角为100°，则它的一个底角为．

2．（1998年-20题-3分）若等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则腰的高为　　．

3．（2002年-16题-2分）如图，△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，经过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（　　）

A．9B．8C．7D．6

4．（2006年大纲卷-14题-2分）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为　　．

5．（2011年-17题-3分）如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为．

6．（2015年-20题-3分）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：

以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；

再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；

再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…

这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=　　．

7．（2017年-18题-3分）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=　　°．

三、解答题

1．（2006年大纲卷-22题-8分）已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．

求证：

AD=AE．

【三】参考答案与解析

一、选择题

1．（2010年-10题-2分）如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是（　　）

A．7B．8C．9D．10

【分类目录】5.7多边形与平行四边形；5.5等腰三角形与线段的垂直平分线

【知识考点】多边形内角与外角；等腰三角形的性质．

【思路分析】正六边形的每个内角都等于120°，它的一半是60°，它的邻补角也是60°，可知上下的小三角形都是等边三角形，依此可知这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长．

【解答过程】解：

∵一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，

∴它的一半是60°，它的邻补角也是60°，

∴上面的小三角形是等边三角形，

∴上面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和为1，

同理可知下面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和为1，

故这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是8．

故选B．

【总结归纳】本题考查多边形的内角和定理，同时考查了等边三角形的判定和性质，得出上、下面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和分别为1是解题的关键．

2．（2013年-8题-3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（　　）

A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里

【分类目录】5.5等腰三角形与线段的垂直平分线

【知识考点】等腰三角形的判定；方向角；平行线的性质．

【思路分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70°，∠N=40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．

【解答过程】解：

MN=2×40=80（海里），

∵∠M=70°，∠N=40°，

∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°，

∴∠NPM=∠M，

∴NP=MN=80（海里）．

故选：

D．

【总结归纳】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．

3．（2013年-13题-3分）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（　　）

A．90°B．100°C．130°D．180°

【分类目录】5.3三角形；5.5等腰三角形与线段的垂直平分线

【知识考点】三角形内角和定理；等边三角形及其性质．

【思路分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．

【解答过程】解：

如图，

∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，

∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，

∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，

在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，

∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，

∴∠1+∠2=150°﹣∠3，

∵∠3=50°，

∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．

故选：

B．

【总结归纳】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．

4．（2014年-12题-3分）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分类目录】7.1尺规作图5.5等腰三角形与线段的垂直平分线

【知识考点】作图—复杂作图．

【思路分析】要使PA+PC=BC，必有PA=PB，所以选项中只有作AB的中垂线才能满足这个条件，故D正确．

【解答过程】解：

D选项中作的是AB的中垂线，

∴PA=PB，

∵PB+PC=BC，

∴PA+PC=BC

故选：

D．

【总结归纳】本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据中垂线的性质得出PA=PB．

5．（2016年-10题-3分）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．

步骤1：

以C为圆心，CA为半径画弧①；

步骤2：

以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；

步骤3：

连接AD，交BC延长线于点H．

下列叙述正确的是（　　）

A．BH垂直平分线段ADB．AC平分∠BADC．S△ABC=BC•AHD．AB=AD

【分类目录】7.1尺规作图；5.5等腰三角形与线段的垂直平分线

【知识考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

【思路分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此一一判定即可．

【解答过程】解：

A、正确．如图连接CD、BD，

∵CA=CD，BA=BD，

∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，

∴直线BC是线段AD的垂直平分线，

故A正确．

B、错误．CA不一定平分∠BDA．

C、错误．应该是S△ABC=

BC•AH．

D、错误．根据条件AB不一定等于AD．

故选A．

【总结归纳】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握证明线段垂直平分线的证明方法，属于基础题，中考常考题型．

6．（2016年-16题-2分）如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．3个以上

【分类目录】5.5等腰三角形与线段的垂直平分线

【知识考点】等边三角形的判定．

【思路分析】如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等边三角形，由此即可对称结论．

【解答过程】解：

如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．

∵OP平分∠AOB，

∴∠EOP=∠POF=60°，

∵OP=OE=OF，

∴△OPE，△OPF是等边三角形，

∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，

∴∠EPM=∠OPN，

在△PEM和△PON中，

，

∴△PEM≌△PON．

∴PM=PN，∵∠MPN=60°，

∴△POM是等边三角形，

∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，

故这样的三角形有无数个．

故选D．

【总结归纳】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．

7．（2018年-8题-3分）已知：

如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：

点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　）

A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC

C．取AB中点C，连接PCD．过点P作PC⊥AB，垂足为C

【分类目录】5.4全等三角形与角的平分线；5.5等腰三角形与线段的垂直平分线

【知识考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．

【思路分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．

【解答过程】解：

A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；

C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；

D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，

B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；

故选：

B．

【总结归纳】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．

二、填空题

1．（1997年-8题-3分）若等腰三角形顶角的外角为100°，则它的一个底角为．

【分类目录】5.5等腰三角形与线段的垂直平分线

【知识考点】等腰三角形的性质．

【思路分析】利用等腰三角形的性质，得到两底角相等，结合三角形内角与外角的关系：

三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，可直接得到结果．

【解答过程】解：

∵等腰三角形两底角相等，三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，

∴每一个底角为100°÷2=50°，

∴底角的度数为50°．

故答案为：

50°．

【总结归纳】此题主要考查了等腰三角形的性质与三角形内角与外角的关系；本题比较简单，属于基础题．

2．（1998年-20题-3分）若等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则腰的高为　　．

【分类目录】5.5等腰三角形与线段的垂直平分线

【知识考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．

【思路分析】根据题意作出图形，利用等腰三角形的两底角相等求出三角形的顶角等于150°，所以顶角的邻补角等于30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出．

【解答过程】解：

如图，△ABC中，∠B=∠ACB=15°，

∴∠BAC=180°﹣15°×2=150°，

∴∠CAD=180°﹣150°=30°，

∵CD是腰AB边上的高，

∴CD=

AC=

×2=1．

故答案为：

1．

【总结归纳】本题考查了等腰三角形的性质与30°所对的直角边等于斜边的一半的性质，根据题意作出图形是解题的关键，对学生来说也是难点．

3．（2002年-16题-2分）如图，△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，经过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（　　）

A．9B．8C．7D．6

【分类目录】5.5等腰三角形与线段的垂直平分线

【知识考点】平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定．

【思路分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等，角平分线的定义以及三角形中等角对等边的性质进行做题．

【解答过程】解：

∵∠B和∠C的平分线相交于点F，

∴∠DBF=∠FBC，∠BCF=∠ECF；

∵DE∥BC，

∴∠DFB=∠FBC=∠FBD，∠EFC=∠FCB=∠ECF，

∴DF=DB，EF=EC，

即DE=DF+FE=DB+EC=9．

故选A．

【总结归纳】本题主要考查等腰三角形的判定，解答此类题关键是在复杂图形之中辨认出应用性质的基本图形，从而利用性质和已知条件计算．

4．（2006年大纲卷-14题-2分）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为　　．

【分类目录】5.3三角形；5.5等腰三角形与线段的垂直平分线

【知识考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．

【思路分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【解答过程】解：

当4是腰时，因4+4＜9，不能组成三角形，应舍去；

当9是腰时，4、9、9能够组成三角形．

则第三边应是9．

故答案为：

9．

【总结归纳】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．

5．（2011年-17题-3分）如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为．

【分类目录】5.5等腰三角形与线段的垂直平分线；6.1图形的变换

【知识考点】平移的性质；等边三角形的性质．

【思路分析】根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A’B’D’的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．

【解答过程】解：

∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，

∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，

∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；

故答案为：

2．

【总结归纳】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．

6．（2015年-20题-3分）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：

以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；

再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；

再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…

这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=　　．

【分类目录】5.5等腰三角形与线段的垂直平分线；7.1尺规作图

【知识考点】等腰三角形的性质．

【思路分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．

【解答过程】解：

由题意可知：

AO=A1A，A1A=A2A1，…，

则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，

∵∠BOC=9°，

∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，

∴9°n＜90°，

解得n＜10．

由于n为整数，故n=9．

故答案为：

9．

【总结归纳】考查了等腰三角形的性质：

等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

7．（2017年-18题-3分）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=　　°．

【分类目录】5.5等腰三角形与线段的垂直平分线；7.1尺规作图

【知识考点】作图—基本作图．

【思路分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．

【解答过程】解：

如图，∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB=68°．

∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，

∴∠EAF=

∠DAC=34°．

∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，

∴∠AEF=90°，

∴∠AFE=90°﹣34°=56°，

∴∠α=56°．

故答案为：

56．

【总结归纳】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．

三、解答题

1．（2006年大纲卷-22题-8分）已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．

求证：

AD=AE．

【分类目录】5.5等腰三角形与线段的垂直平分线

【知识考点】等腰三角形的性质．

【思路分析】解法一：

过点A作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，再结合BD=CE可得DF=EF，然后利用垂直平分线的性质可得结论。

解法二：

利用等边对等角得到∠B=∠C，进而利用SAS证得△ABD≌△ACE，即可得出结论。

【解答过程】证明：

过点A作AF⊥BC于点F，

∵AB=AC，

∴BF=CF，

∵BD=CE，

∴DF=EF，

∴AD=AE．

【总结归纳】本题考查了等腰三角形的性质，正确作出辅助线并熟知三线合一的性质是解题的关键．