届步步高大一轮复习讲义111.docx
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届步步高大一轮复习讲义111
§11.1 从普查到抽样、抽样方法
2014高考会这样考
1.考查随机抽样方法及有关计算，特别是分层抽样是近几年的考查热点；2.在解答题中与概率有关的问题结合进行考查．
复习备考要这样做
1.理解三种抽样的联系与区别，会选择适当的方法抽取样本；2.加强对抽样方法与频率分布直方图、概率等知识的综合训练．
1．抽样调查
（1）抽样调查
通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查．
（2）总体和样本
调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．
（3）抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点：
①迅速、及时；
②节约人力、物力、财力．
2．简单随机抽样
（1）定义：
设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫作简单随机抽样．
（2）最常用的简单随机抽样的方法：
抽签法和随机数法．
3．分层抽样
（1）定义：
将总体按其属性特征分成若干类型，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样．
（2）分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
4．系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
（1）先将总体的N个个体编号；
（2）确定分段间隔k，对编号进行分段，当
（n是样本容量）是整数时，取k＝
；
（3）在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；
（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l＋k），再加k得到第3个个体编号（l＋2k），依次进行下去，直到获取整个样本．
[难点正本 疑点清源]
1．三种抽样方法的联系
三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是
.
2．各种抽样方法的特点
（1）简单随机抽样的特点
总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性，个体间无固定间距．
（2）系统抽样的特点
适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．
（3）分层抽样的特点
适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．
1．大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60个、20个，现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25的样本，较为恰当的抽样方法为________________．
答案 简单随机抽样
解析 因为三个盒子中装的是同一种产品，且按比例抽取每盒中抽取的不是整数，所以将三盒中产品放在一起搅匀按简单随机抽样法（抽签法）较为适合．
2．（2011·天津）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人．若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．
答案 12
解析 样本的抽取比例为
＝
，
所以应抽取男运动员48×
＝12（人）．
3．（2011·山东）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．
答案 16
解析 抽样比为
＝
，
因此从丙专业应抽取
×400＝16（人）．
4．（2012·山东）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为（ ）
A．7B．9C．10D．15
答案 C
解析 由系统抽样的特点知：
抽取号码的间隔为
＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋（n－1）×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．
5．将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为（ ）
A．700B．669C．695D．676
答案 C
解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号l＝15，
分段间隔数k＝
＝
＝20，则抽取的第35个编号为a35＝15＋（35－1）×20＝695.
题型一 简单随机抽样
例1
某车间工人加工一种轴承100件，为了了解这种轴承的直径，要从中抽取10件轴承在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
思维启迪：
考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数法均可容易获取样本，须按这两种抽样方法的操作步骤进行．抽签法应“编号、制签、搅匀、抽取”；随机数法应“编号、确定起始数、读数、取得样本”．
解 （抽签法）将100件轴承编号为1,2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这10个号签对应的轴承的直径．
探究提高
（1）一个抽样试验能否用抽签法，关键要看两点：
一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
（2）随机数表中共随机出现0,1,2，…，9十个数字，也就是说，在表中的每个位置上出现各个数字的机会都是相等的．在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或每四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
有一批瓶装“山泉”牌矿泉水，编号为1,2,3，…，112，为调查该批矿泉水的质量问题，打算抽取10瓶入样，问此样本若采用简单随机抽样方法将如何获得？
解 方法一 （抽签法）：
把每瓶矿泉水都编上号码001,002,003，…，112，并制作112个号签，把112个形状、大小相同的号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取10次，就得到一个容量为10的样本．
方法二 （随机数法）：
第一步，将原来的编号调整为001,002,003，…，112.
第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如：
选第9行第7列的数2，向右读．
第三步，从选定的数2开始向右读，每次读取三位，凡不在001～112中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到055,035,093,094,034,050,073,072,052,062.
第四步，对应原来编号55,35,93,94,34,50,73,72,52,62的瓶装矿泉水便是要抽取的对象．
题型二 系统抽样
例2
将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）
A．26,16,8B．25,17,8
C．25,16,9D．24,17,9
思维启迪：
系统抽样又称“等距抽样”．可以根据“等距”确定各营区被抽中的人数．
答案 B
解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k（k∈N*）组抽中的号码是3＋12（k－1）．
令3＋12（k－1）≤300得k≤
，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；
令300<3＋12（k－1）≤495得
结合各选项知，选B.
探究提高
（1）系统抽样的特点——机械抽样，又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．
（2）系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．
用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出个体的号码是____________．
答案 11
解析 由题意可知，系统抽样的组数为20，间隔为8，设第1组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则可知，第n组抽出个体的号码应该为x＋（n－1）×8，所以第16组应抽出的号码为x＋（16－1）×8＝123，解得x＝3，所以第2组中应抽出个体的号码为3＋（2－1）×8＝11.
题型三 分层抽样
例3
某市电视台在因特网上征集电视节目的现场参与观众，报名的共有12000人，分别来自4个城区，其中东城区2400人，西城区4600人，南城区3800人，北城区1200人，从中抽取60人参加现场节目，应当如何抽取？
思维启迪：
因为地域有明显差异，故采用分层抽样．
解 因为60∶12000＝1∶200，所以
＝12，
＝23，
＝19，
＝6.
故从东城区中抽取12人，从西城区中抽取23人，从南城区中抽取19人，从北城区中抽取6人．
探究提高 分层抽样的操作步骤及特点
（1）操作步骤
①将总体按一定标准进行分层；
②计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量；
③在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）．
（2）特点
①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
②更充分地反映了总体的情况；
③等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是
.
（2012·江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
答案 15
解析 抽取比例与学生比例一致．
设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10.
解得x＝15.
五审图表找规律
典例：
（12分）某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
人数
管理
技术开发
营销
生产
共计
老年
40
40
40
80
200
中年
80
120
160
240
600
青年
40
160
280
720
1200
小计
160
320
480
1040
2000
（1）若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
（2）若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
（3）若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？
抽取40人调查身体状况
↓（观察图表中的人数分类统计情况）
样本人群应受年龄影响
↓（表中老、中、青分类清楚，人数确定）
要以老、中、青分层，用分层抽样
↓
要开一个25人的座谈会
↓（讨论单位发展与薪金调整）
样本人群应受管理、技术开发、营销、生产
方面的影响
↓（表中管理、技术开发、营销、生产分类清
楚，人数确定）
要以管理、技术开发、营销、生产人员分层，
用分层抽样
要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解,
（可认为亚运会是大众体育盛会，一个单位人员
对情况了解相当）
将单位人员看作一个整体
↓（从表中数据看总人数为2000人）
人员较多，可采用系统抽样
规范解答
解
（1）按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取，[1分]
抽取比例为
＝
.[2分]
故老年人，中年人，青年人各抽取4人，12人，24人，[4分]
（2）按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取，[5分]
抽取比例为
＝
，[6分]
故管理，技术开发，营销，生产各抽取2人，4人，6人，13人．[8分]
（3）用系统抽样
对全部2000人随机编号，号码从1～2000，每100号分为一组，从第一组中用随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1900，共20人组成一个样本．
[12分]
温馨提醒
（1）本题审题的关键有两点，一是对图表中的人员分类情况和数据要审视清楚；二是对样本的功能要审视准确．
（2）本题易错点是，对于第
（2）问，由于对样本功能审视不准确，按老、中、青三层分层
抽样.
方法与技巧
三种抽样方法的比较
类别
各自特点
相互联系
适用范围
共同点
简单随
机抽样
从总体中逐个抽取
最基本的抽样方法
总体中的个
体数较少
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
系统
抽样
将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取
在起始部分抽样时，采用简单随机抽样
总体中的
个体数较多
分层
抽样
将总体分成几层，按各层个体数之比抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明
显的几部分组成
失误与防范
进行分层抽样时应注意几点：
（1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；
（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同；
（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．
A组 专项基础训练
（时间：
35分钟，满分：
57分）
一、选择题（每小题5分，共20分）
1．（2012·四川）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（ ）
A．101B．808C．1212D．2012
答案 B
解析 由题意知抽样比为
，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有
＝
，解得N＝808.
2．（2011·福建）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
答案 B
解析 设样本容量为N，则N×
＝6，∴N＝14，
∴高二年级所抽人数为14×
＝8.
3．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）
A．7B．15C．25D．35
答案 B
解析 由题意知青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.
4．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其他人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）
A．12,24,15,9B．9,12,12,7
C．8,15,12,5D．8,16,10,6
答案 D
解析 由题意，知各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×
＝8,40×
＝16,40×
＝10,40×
＝6.
二、填空题（每小题5分，共15分）
5．（2012·天津）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．
答案 18 9
解析 150×
＝150×
＝18,75×
＝9.
6．（2012·湖北）一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人，现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有________人．
答案 6
解析 设抽取的女运动员有x人，则
＝
，解得x＝6.
7.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．
答案 37 20
解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，
则
＝
，解得x＝20.
三、解答题（共22分）
8．（10分）某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．
解 用分层抽样方法抽取．
具体实施抽取如下：
（1）∵20∶100＝1∶5，∴
＝2，
＝14，
＝4，
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
（2）因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01,02，…，69编号，然后用随机数法抽取14人．
（3）将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．
9．（12分）某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,3，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，请写出抽样过程．
解 按1∶5的比例抽样．
295÷5＝59.
第一步，把295名同学分成59组，每组5人．第一组是编号为1～5的5名学生，第二组是编号为6～10的5名学生，依次类推，第59组是编号为291～295的5名学生．
第二步，采用简单随机抽样，从第一组5名学生中随机抽取1名，不妨设其编号为k（1≤k≤5）．
第三步，从以后各段中依次抽取编号为k＋5i（i＝1,2,3，…，58）的学生，再加上从第一段中抽取的编号为k的学生，得到一个容量为59的样本．
B组 专项能力提升
（时间：
25分钟，满分：
43分）
一、选择题（每小题5分，共15分）
1．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270
关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A．②、③都不能为系统抽样
B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样
D．①、③都可能为分层抽样
答案 D
解析 因为③为系统抽样，所以选项A不对；因为②为分层抽样，所以选项B不对；因为④不为系统抽样，所以选项C不对，故选D.
2．用系统抽样法（按等距离的规则），要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160进行编号．按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是（ ）
A．7B．5C．4D．3
答案 B
解析 设第一组确定的号码是x，则x＋（16－1）×8＝125，
解得x＝5.
3．
（1）某学校为了了解2012年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．
（2）从10名家长中抽取3名参加座谈会．
Ⅰ.简单随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法
问题与方法配对正确的是（ ）
A．
（1）Ⅲ，
（2）ⅠB．
（1）Ⅰ，
（2）Ⅱ
C．
（1）Ⅱ，
（2）ⅢD．
（1）Ⅲ，
（2）Ⅱ
答案 A
解析 通过分析可知，对于
（1），应采用分层抽样法，对于
（2），应采用简单随机抽样法．
二、填空题（每小题5分，共15分）
4．为了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间隔k为________．
答案 40
5．（2012·福建）一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．
答案 12
解析 依题意，女运动员有98－56＝42（人）．
设应抽取女运动员x人，根据分层抽样特点，
得
＝
，解得x＝12.
6．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．
答案 76
解析 由题意知：
m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.
三、解答题
7．（13分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
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