三角函数三角函数公式表.docx
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三角函数三角函数公式表
常见三角函数
在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x,y）。
在这个直角三角形中，y是θ的对边，x是θ的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法：
基本函数
英文
表达式
语言描述
正弦函数
Sine
sinθ=y/r
角α的对边比斜边
余弦函数
Cosine
cosθ=x/r
角α的邻边比斜边
正切函数
Tangent
tanθ=y/x
角α的对边比邻边
余切函数
Cotangent
cotθ=x/y
角α的邻边比对边
正割函数
Secant
secθ=r/x
角α的斜边比邻边
余割函数
Cosecant
cscθ=r/y
角α的斜边比对边
注：
tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
非常见三角函数
除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰：
函数名
与常见函数转化关系
正矢函数
versinθ=1-cosθ
余矢函数
coversθ=1-sinθ
半正矢函数
haversθ=（1-cosθ）/2
半余矢函数
hacoversθ=（1-sinθ）/2
外正割函数
exsecθ=secθ-1
外余割函数
excscθ=cscθ-1
单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。
它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，
三角函数
单位圆的方程是：
x^2+y^2=1
图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。
这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。
图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。
单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。
对于大于2π或小于等于2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。
在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数：
对于任何角度θ和任何整数k。
周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。
正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是2π弧度或360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是π弧度或180°。
上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。
其他四个三角函数的定义
在正切函数的图像中，在角kπ附近变化缓慢，而在接近角（k+1/2）π的时候变化迅速。
正切函数的图像在θ=（k+1/2）π有垂直渐近线。
这是因为在θ从左侧接进（k+1/2）π的时候函数接近正无穷，而从右侧接近（k+1/2）π的时候函数接近负无穷。
另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。
特别
三角函数
是，对于这个圆的弦AB，这里的θ是对向角的一半，sinθ是AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。
cosθ是水平距离OC，versinθ=1-cosθ是CD。
tanθ是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。
cotθ是另一个切线段AF。
secθ=OE和cscθ=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA沿着A的切线分别向水平和垂直轴的投影。
DE是exsecθ=secθ-1（正割在圆外的部分）。
通过这些构造，容易看出正割和正切函数在θ接近π/2的时候发散，而余割和余切在θ接近零的时候发散。
三角函数线
依据单位圆定义，
三角函数线
我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。
如图所示，圆O是一个单位圆，P是α的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，S（1,0）是圆O与x轴正半轴的交点，过S点做圆O的切线l。
那么向量MP对应的就是α的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。
OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T，则向量ST对应的就是正切值。
向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。
借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负
特殊角的三角函数
角度
sin
cos
tan
cot
0°
0
1
0
无意义
30°
1/2
√3/2
√3/3
√3
45°
√2/2
√2/2
1
1
60°
√3/2
1/2
√3
√3/3
90°
1
0
无意义
0
180°
0
-1
0
无意义
270°
-1
0
无意义
0
同角三角函数关系式
平方关系
sin^2（α）+cos^2（α）=1
cos（2a）=cos^2（a）-sin^2（a）=1-2sin^2（a）=2cos^2（a）-1
sin（2a）=2sin（a）cos（a）
tan^2（α）+1=1/cos^2（α）
2sin^2（a）=1-cos（2a）
cot^2（α）+1=1/sin^2（a）
积的关系
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
倒数关系
tanα·cotα＝1
sinα·cscα＝1
cosα·secα＝1
商的关系
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
三角函数
直角三角
三角函数
形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·对称性
180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。
-α的终边和α的终边关于x轴对称。
180度+α的终边和α的终边关于原点对称。
90度-α的终边和α的终边关于y=x对称。
诱导公式
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等
k是整数
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）
sinβ
cosβ
tanβ
cotβ
secβ
cscβ
360°k+α
sinα
cosα
tanα
cotα
secα
cscα
90°-α
cosα
sinα
cotα
tanα
cscα
secα
90°+α
cosα
-sinα
-cotα
-tanα
-cscα
secα
180°-α
sinα
-cosα
-tanα
-cotα
-secα
cscα
180°+α
-sinα
-cosα
tanα
cotα
-secα
-cscα
270°-α
-cosα
-sinα
cotα
tanα
-cscα
-secα
270°+α
-cosα
sinα
-cotα
-tanα
cscα
-secα
360°-α
-sinα
cosα
-tanα
-cotα
secα
-cscα
﹣α
-sinα
cosα
-tanα
-cotα
secα
-cscα
定名法则
90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。
90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。
也就是“奇余偶同，奇变偶不变”
定号法则
将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。
也就是“象限定号，符号看象限”.（或为“奇变偶不变，符号看象限”
2在Kπ/中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。
正负号看原函数中α所在象限的正负号。
关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切、余切为正，第四象限余弦为正。
）
比如:
90°+α。
定名：
90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：
将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。
所以sin（90°+α）=cosα,cos（90°+α）＝-sinα这个非常神奇，屡试不爽~
还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：
sin（90°+α），90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin（90°+α）=cosα
两角和与差的三角函数
cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos（α-β）=cosα·
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