三角函数三角函数公式表.docx

1、三角函数三角函数公式表常见三角函数在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。 在这个直角三角形中，y是的对边，x是的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法： 基本函数英文表达式语言描述正弦函数Sinesin =y/r角的对边比斜边余弦函数Cosinecos =x/r角的邻边比斜边 正切函数Tangenttan =y/x角的对边比邻边余切函数Cotangentcot =x/y角的邻边比对边正割函数Secantsec =r/x角的斜边比邻边余割函数Cosecantcsc =r/y角的斜边比对边注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用

2、这种写法。 非常见三角函数除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰： 函数名与常见函数转化关系正矢函数versin =1-cos 余矢函数covers =1-sin 半正矢函数havers =(1-cos )/2半余矢函数hacovers =(1-sin )/2外正割函数exsec =sec -1外余割函数excsc =csc -1单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 /2 弧度之间的

3、角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理， 三角函数单位圆的方程是：x2+y2=1 图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos 和 sin 。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin = y/1 和 cos = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。 对于大于 2 或小于等于2 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和

4、余弦变成了周期为 2的周期函数：对于任何角度 和任何整数 k。 周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2 弧度或 360；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 弧度或 180。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。 其他四个三角函数的定义在正切函数的图像中，在角 k 附近变化缓慢，而在接近角 (k + 1/2) 的时候变化迅速。正切函数的图像在 = (k + 1/2) 有垂直渐近线。这是因为在 从左侧接进 (k + 1/2) 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (k + 1/2) 的时候函数接近负无穷。

5、 另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别 三角函数是，对于这个圆的弦 AB，这里的 是对向角的一半，sin 是 AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cos 是水平距离 OC，versin = 1-cos 是 CD。tan 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度，所以这个函数才叫正切。cot 是另一个切线段 AF。 sec = OE 和 csc = OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE 是 exsec = sec -1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割

6、和正切函数在 接近 /2的时候发散，而余割和余切在 接近零的时候发散。 三角函数线依据单位圆定义， 三角函数线我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。 如图所示，圆O是一个单位圆，P是的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点，过S点做圆O的切线l。 那么向量MP对应的就是的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T，则向量ST对应的就是正切值。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。 借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负特殊角的三角函数 角度sincost

7、ancot0010无意义301/23/23/33452/22/211603/21/233/39010无意义01800-10无意义270-10无意义0同角三角函数关系式 平方关系sin2()+cos2()=1 cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=1- 2sin2(a)=2cos2(a)-1 sin(2a)=2sin(a)cos(a) tan2()+1=1/cos2() 2sin2(a)=1-cos(2a) cot2()+1=1/sin2(a) 积的关系sin=tancos cos=cotsin tan=sinsec cot=coscsc sec=tancsc csc=seccot倒数

8、关系tan cot1 sin csc1 cos sec1商的关系sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec 三角函数直角三角 三角函数形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 对称性 180度-的终边和的终边关于y轴对称。 -的终边和的终边关于x轴对称。 180度+的终边和的终边关于原点对称。 90度-的终边和的终边关于y=x对称。 诱导公式 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等 k是整数sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二： 设为

9、任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot公式六： /2及3/2与的三角函数值之间的关系sin（/2）cos cos（/2）sin

10、tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则） sincostancotseccsc360k+sincostancotseccsc90-cossincottancscsec90+cos-sin-cot-tan-cscsec180-sin-cos-tan-cot-seccsc1

11、80+-sin-costancot-sec-csc270-cos-sincottan-csc-sec270+-cossin-cot-tancsc-sec360-sincos-tan-cotsec-csc-sincos-tan-cotsec-csc定名法则 90的奇数倍+的三角函数，其绝对值与三角函数的绝对值互为余函数。90的偶数倍+的三角函数与的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变” 定号法则 将看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”.（或为“奇变偶不变，符号看象限” 2在K/中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相

12、反的函数名。正负号看原函数中所在象限的正负号。关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切、余切为正，第四象限余弦为正。） 比如:90+。定名：90是90的奇数倍，所以应取余函数；定号：将看做锐角，那么90+是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90+)=cos , cos(90+)-sin 这个非常神奇，屡试不爽 还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90+)，90的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将看做锐角，那么90+是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin(90+)=cos 两角和与差的三角函数cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=cos