2.3IIR低通滤波器概述
2.3.1滤波的目的
①对于信号频谱而言，改变各频率分量所占的份额，主要是为了抑制某些频率成分。
②估计参量和检测信号都是广义滤波。
2.3.2数字滤波器的设计原理
通常而言，它是一个线性时不变系统。
下面为他的设计原理：
利用频率特性去求得单位脉冲响应或者是系统函数。
在理论上来说，不考虑其他因素的影响，是可以得到一个理想频率特性，但是在现实中几乎不可能。
在现实中的滤波器都是可以存在误差的，所以我们都是用频率特性指标指代频率特性。
2.3.3IIR数字滤波器
无线长度单位脉冲响应滤波器是一个离散时间系统，虽然它的输出信号相位并不一定是线性，但是幅频特性极好。
求的滤波器洗漱，就是相当于无线长度单位脉冲响应滤波器的设计。
数字滤波器按照响应时间进行划分可以分为以下两种滤波器：
分别为无限脉冲响应和有限脉冲响应。
用递归模型才可以得到IIR滤波器。
差分方程如下：
（2.3）
的总体系统函数如下：
（2.4）
2.3.4数字滤波器的技术指标
频响函数
H（ejω）=丨H（ejω）丨ejφ（ω）（2.5）
幅频特性丨H（ejω）丨
指代各个频率成分在信号经由滤波器后减少的情况。
相频特性φ（ω）
能够对各频率成分经由滤波器后的延时时间进行反映。
基本的技术指标如下：
（1）特征频率参数
1通带截止频率：
指代一个边界点，位于过渡带和通带之间，信号可在边界点增加至规定下限，可以用公式fp=ωp/2π表示。
2阻带截止频率：
指代一个边界点，位于过渡带和通带之间，信号可在边界点减少至规定下限，。
可以用公式fr=ωp/2π表示。
3转折频率：
通常可以用fc当做阻带截频，也可以用它当做通带截频，转折频率大致就是3dB的信号功率时的频率。
可以用公式fp=ωc/2π表示。
4若无电路损耗，谐振频率等于固有频率。
（2）衰减与增益
1通常而言，在低通中，ω=0的增益就是通带增益，我们可以用Kp进行表示。
在高通中，ω趋近于无穷大时的增益就是Kp；在带通中，中心频率处增益则为Kp。
2通常而言，在带阻中，增益倒数极为阻带衰减。
3通带中每个点最大差量可以用△Kp表示，若是dB值的变化量，那么它的单位也是dB。
（3）品质因数和阻尼系数
α表示阻尼系数，ωo表示对角频率，Q表示品质因数，ωo表示中心频率，ω为带宽。
对角频率阻尼作用即为α，它可以当做一种指标用于衡量能量衰减。
品质因素用1/α进行表示，它也是一个重要指标，可以用来衡量滤波器选择特性。
通常情况下，固有频率是与中心频率一样的，没有什么区别。
（4）灵敏度
对于滤波器而言，需要众多元件才能够组成滤波电路，并且它的性能好坏会随着元件的变化而变化。
我们用
表示它的其中一个性能指标y变化了，然后它的另外一个性能指标x随着变化的灵明度，可以用下面这个公式进行表示：
（2.6）
在设计的滤波电路中，有一个关键参数就是灵敏度，它和电路系统灵敏度不一样，也和测量仪器的灵敏度不一样，这种灵敏度越小，就代表滤波器稳定性越好，也标志它拥有越高的容错率。
（5）群延时函数
为了不超过规定范围的输出信号失真，当幅频特性符合标准，以一定的条件要求相频特性。
在这次的设计之中，对于相位失真程度的判定，需要使用到群延时函数。
2.3.5数字滤波器的设计要求
通常而言，在设计IIR数字滤波器时不要求相频特性，设计的指标只有幅频响应函数。
从下图中可以得知相关的指标参数。
通带边界频率用ωp表示，ωs、δ1、δ2、dB、ap和as分别指代阻带边界频率、通带和阻带两种波纹、衰减、通带内最大衰减和阻带内最小衰减。
ap=-20lg
=20lg
as=-20lg
一般要求：
当
时，-20lg丨H（ejω）丨≤ap
当
时，as≤-20lg丨H（ejω）丨
图2-3低通滤波器的技术要求
第三章IIR数字滤波器设计方法
3.1IIR数字滤波器的设计步骤
实际应用中，对于递归滤波器的设计有两种思路。
其中一种是，应用模拟滤波器来设计递归滤波器，之后同通过不同的运算法则将其转换回数字式的滤波器。
无论是在计算原理上还是在文献指导中，此种思路相对思路比较清晰也容易实现，因此大家用得比较多、实际也很受欢迎。
第二类思路就是，在特定的时间值域中，按照数值关系设置对应的方程式，同时对于控制部分还得加入必要的辅助算法，才能实现功能。
具体思路是：
第一，将过度模拟滤波器进行对应设计，然后形成为一种函数，例如：
Hα（s），我们称之为系统函数，第二步，通过数据转换将此函数变化另一种形式，使之成为数字滤波器的系统函数，这里我们先取名为H（z），以方便后续讲述。
3.1.1利用模拟滤波器成熟的理论设计IIR数字滤波器的过程
（1）通常大家习惯选用、比较方便的技术指标有：
通带边界频率
、通带最大衰减
、阻带截止频率
、阻带最小衰减
。
（2）实现数字低通到模拟低通，这步骤中需要进行一系列数模转换才能实现。
（3）在设置好模拟低通波指标后，接着需按照其进行过度模拟低通滤波器的设计工作。
（4）选择最合适的转换算法，把模拟滤波函数值Hα（s）再次转回数字低通滤波值H（z）。
IIR数字滤波器的设计流程图如下：
变换
Ω=g（ω）
变换
S=f（Z）
图3
3.2基于脉冲响应不变法设计IIR滤波器
应用不变法设计递归滤波，首先需要考虑该滤波的脉冲响应部分，也就是要做到将数字滤波进行对应的转换，形成为以模仿的模拟滤波形式的响应采样序列。
假设h（n）为冲击响应序列函数，ha（t）为模拟滤波器的冲击响应，应用不变法就是在等间隔时间（T）的采样操作中，保证对模拟滤波的采样ha（t），能够与响应序列值相同，基本算式为h（n）=ha（nT）。
假设对模拟滤波的冲击响应函数ha（t）进行响应的拉普拉斯变化，于是可以得到Ha（S）函数。
而与此同时，对h（n）进行z变换得到其采样序列H（z），将其与模拟信号进行拉普拉斯操作，之后可以得到如下数学关系：
由此上述关系可知，这种脉冲的不变法则可以将模拟信号转换成数字信号，实现的过程就是S到Z平面的转换，也就是说进行了完整的标准变换，相当于z=esT。
图4脉冲响应不变法的映射关系
由上式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应之间的关系为：
以上这个关系式告诉我们，数字式的响应过程实质上就是对模拟信号进行了周期延展。
这点同前述的采样定理内容基本一致，如果完成这个过程相当于模拟信号应该是限制带宽，保持值在折叠频率范围之内，也就是说
只有这样才能使得数字滤波器的频率正好能够处于折叠频率的范围之内，同时还不会产生干扰而失真，也就是
在实际情况中，每个模拟信号的频率大小不见得都会是绝对限制带宽，有些在变换转换后便出现具有类周期性的延展分量，这种分流的频谱可能会出现交错现象，也就是形成了响应后信号的混叠失真。
这时候，出现的数字信号的频率不一定和原有模拟器的频率一致，而是差别不一，出现明显的失真现象。
如果模拟滤波的频谱出现快于折叠区频谱的衰退现象，那么进行这种变形之后频率的混叠失真就会小得多。
这时候，才是我们应用不变法则进行数字滤波设计的好时候，变换后获得的效果也较好。
图5不变法则下频谱响应失真现象
如果需要就其中一组模拟滤波中的单位频谱进行采样，假设单位频谱冲击响应表示为ha（t），那么采样后可以得到如fs频率的样板，假若要获得fs，就需要将采集样本的时间单位缩小，如令T
，以此使得系统频率响应于各个不同周期的延展分量的间距更大，那么就比较容易实现降低频率影响下叠加失真的状况。
这里，可以考虑设计出一个低通滤波器，使用椭圆滤波器为原型，但是需要满足wp=0.2pi、Rp=0.5dB、ws=0.3pi、As=20dB。
图6
3.3基于双线性变换法设计IIR数字滤波器
3.3.1双线性变换设计原理
前面已经提到过，如果应用脉冲响应不变法可能会带来叠加失真的情况，主要是转换中源于S平面到Z平面的转换中，产生非单一映射值的情况，因此为了能够很好地解决混叠效应的问题，由此带来一种新变化方法，此方法叫做双线性变换法则。
主要是应用非线性频率的算法进行了压缩转换，于是能够把所有频率轴线上的频率整合在固定的-
~
之内，接着应用z=esT使得变换后的结果能够在Z平面。
简而言之，需要首先将所有S平面的信号全部进行压缩处理，然后转换到S1平面上的-
~
的横条面之间；然后，应用标准转换方式将这个横条面投射到Z平面上去。
这个时候，S平面及Z平面会产生出唯一对应的单值区域关系，很好的剔除了多值变换，可以明显的减少频谱叠加错乱的结果。
图7双线性变换的映射关系
S平面到Z平面的变换可以采用
令jΩ=s，jΩ1=s1即：
然后将S1平面通过下面的标准变换关系来映射到Z平面：
Z=eS1T
从而得到了S平面和Z平面的单值映射关系：
S=
Z=
一般而言，为了保证模拟滤波的每一个频率能够同数字滤波的所有频率都能产生对应关系，那么应用设置代入值C，也就是
。
于是，可以得到S=C
。
那么，这种方式下就能保证S平面与Z平面之间能够产生的函数映射效果即为双线性映射变形。
这种方法有个特点，那就是能够使得模拟滤波变为数字信息不需要其他操作，仅仅只需置换就行。
3.3.2双线性变换法优缺点
下面讲讲双线性变换。
相对于不变法而言，双线性变换的最突出优点即为可以很大程度上避开频谱响应中的叠加失真情况。
S平面中jΩ轴每个数值属于Z平面中即为单位圆上，也就是频率轴实质为单值变换的结果，S平面上的Ω同Z平面的ω变现为几何性的正切特性。
另外，双线性转换不是线性转换，在高频处有较大的失真。
3.3.3设计带通
ChebyshevI型数字滤波器，在设计上必须保证通带的边界阈值为一百到两百赫兹；此类带通的文波不能大于3dB；同时将阻带的衰减设计为不能小于30dB；过渡带宽值设定为三十赫兹，对于采样频率设定为一千赫兹。
图8
第四章基于MATLAB的IIR低通滤波器设计
4.1MATLAB简介
作为一种常用工具，大家都习惯简称为Matlab。
但事实上，它是矩阵实验室的简称。
这种工具既能够完成数值计算的功能，同时还兼顾有专业性的符号运算、特殊文字处理，甚至进行可视化建模仿真、实时控制等功能，因此应用极为广泛。
在此工具中，所有运算均是以数据矩阵为基础，同时在执行程序过程中运用大量的同工程处理、数学应用等相类似的命令形式，由此运用其来解决实际问题对比与C、Fortran等会上手较快，更加容易被接受。
在新版本的软件工具中，也考虑到其他工具的升级换代，因此特别针对C++、Java等给予了支持，开放了很多应用端口，因此在使用Matlab进行运算时候，可以比较方便调用这些工具，而且也能够识别用户根据自身需求而编写的程序，甚至存放在库函数以备后用。
另外，众多Matlab的编程爱好者在长期的实践中摸索出很多经典程序段，只要自己需要也可以随时下载来用。
该软件整体结构由MATLAB和Simulink两块部分，在实现的时候，可以充分调用交互方式，进行高级程序编排。
在此类交互作用中，根据需要可以编写线性、非线性、静态、动态等各种类型的功能。
总结其最大优势，那就是能够将各种交互工具的优势结合到一起，以此能够为各种学科及实践应用提供比较完备的解决方法，这点其他编程语言很少能够做到如此全面。
MATLAB软件的系统组成：
1、MATLAB开发环境：
开发环境指的是软件的操作界面，在操作界面里我们能够使用各种各样的其自带库函数功能、工具，因此在解决实际问题时候很少因为软件功能不全面而不能操作，因此用途非常广泛。
2、MATLAB开发语言：
该软件中使用的是一种面向对象的语言，因此对于数据的结构处理、流程控制性方面等都表现较好。
3、应用界面：
该软件的应用界面很丰富，能够应用的有效库比较全面，在此可以方便每个程序设计者进行友好交互的设计。
通常在使用c语言时候，也会调用到matlab的某些子程序，那么通过交互性语言设计为单独执行的可执行程序即可。
4、数学函数库集：
以工程及数学应用为基础的matlab中，可以找到很多有用的数值计算的方法，既有简单的三角函数，还可以有傅里叶变换函数、复杂举证运算等多种方法。
几乎所有数据应用中需要的方法，在库函数中均可以找到，即使找不到可以非常方便的调用程序来实现。
5、完成图像生成：
该软件中的图像形成也非常具有特点，可以运用工具设计数据图形，比如矩阵、数组，也可以仅仅只是调用图像中的各种关键参数，例如颜色、形状、位置等，根据用户需要而选择。
4.2FDATool界面设计
4.2.1FDATool介绍
基于matalab软件内部结构特点，针对信号处理具备专有工具，以此来进行设计及分析滤波的功能，这种工具叫做滤波设计分析器（FDATool）。
在MATLAB6.0以上的版本中，此工具是被完好放置于专有滤波设计的工具箱中。
FDATool I的功能十分强大,而操作十分简单灵活，非常受设计者欢迎。
FDATool的界面较为简洁：
整个设计分析器的主界面分为两大块区。
包括特性专区、设计专区。
特性专区主要是专门以这类界面整体表现滤波器的不同特性的界面区；设计专区可以进行不同滤波特有属性的不同表现，而且是以参数形式体现的，在界面区不同选项中，有高通、低通、带通的选择，还有带阻性、特殊性的选择；具体使用时候，可以用到不同运算方法，例如最小二乘法、窗
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