北师大版九上证明二.docx
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北师大版九上证明二
1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索一发现一猜想一证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关
性质定理和判定定理。
了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教具准备
施教时间2006年月曰
教学过程：
一、复习：
1、什么是等腰三角形
2、你会画一个等腰三角形吗并把你画的等腰三角形裁剪下来。
3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质
二、新课讲解：
在《证明
（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
同学们和我一起来回忆上学期学过的公理
本套教材选用如下命题作为公理：
1.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等；（SAS
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；（ASA
5.三边对应相等的两个三角形全等；（SSS
6.全等三角形的对应边相等，对应角相等.
由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：
（AAS
推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
证明过程：
已知：
/A=/D,/B=/E,BC=EF。
求证：
△ABC^ADEF
证明：
•••/A=/D,/B=/E（已知），
•//A+/B+/O180°，/C+/E+/F=180
形内角和等于180°）,
•••/C=180°—（/A+/B）
/F=180°—（/D+/E）
••/C=/F（等量代换）
•••BC=EF（已知）
•••△ABC^^DEF（ASA
这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。
三、议一议：
（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗
（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗
等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。
定理：
等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为：
等边对等角。
已知：
如图，在ABC中,AB=AC
求证：
/B=/Co
证明：
取BC的中点D连接AD
•••AB=ACBD=CDAD=AD
•••△ABCX^AACD（SSSo
•/B=/C（全等三角形的对应边角相等）
四、想一想：
在上图中，线段AD还具有怎样的性质为什么由此你能得到什么结论
应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结
合通常简述为“三线合一”。
推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
五、
随堂练习：
做教科书第4页第1,2题。
课堂小结：
式。
通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格经历“探索一发现一猜想一证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
探体会了反证法的含义。
七、课外作业：
教科书第5页第1,2题。
板书设计
§你能证明它们吗
（一）
公理：
SAS
ASA
SSS
推论：
AAS
三线合一
定理：
等腰三角形的两个底角相等。
（证明过程）
1、掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索一发现一猜想一证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关
性质定理和判定定理。
3、结合实例体会反证法的含义。
等腰三角形的关性质定理和判定定理。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教具准备
施教时间
2006年月日
教学过程:
、等腰三角形性质的探究
1.
让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中能找到哪些相等的线段。
部分学生需要老师的帮助。
通过对例题的
4•引导学生探究，对于上述例题，当AD=丄ACAE=丄ABk=丄,丄时,
kk23
引申，培养学生的发散思维，经历探究一猜测一证明的学习过程。
在已经探究了角的大小的改变对于BDCE的等长性没有影响，有了一些成就感之后，又
面临新的任务：
BD=CE吗因此学生会满怀热情地进行这部分探究活动，而且有了前面的体验,
探究也会比较顺利。
5.引导学生进一步推广，把上面3、4中的k取一般的自然数后，原结论是否仍然成立要求学生说明理由或给出证明。
6.对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并
要求学生对猜测的结果给出证明。
7.提出新的问题，弓I导学生从“等角对等边”这个命题的反面思考问题，即思考它的逆命题是否成立。
适时地引导学生思考可以用哪些方法证明培养学生的推理能力。
&归纳学生提出的各种证法，清楚的分析证明的思路，培养学生演绎证明的初步的推理
能力。
9.启发学生思考：
在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，这个结论是否成立如果成立，能否证明。
这实际上是“等边对等角”的逆否命题，通过这样的表述可以提高学生的思维能力。
可以从直观上得出结论，但是此处要求证明，体会到证明的必要性。
10.总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解。
11.小结这两个课时的内容。
（掌握证明的基本步骤和书写格式。
经历“探索一发现一猜想一证明”的过程。
能够用综
般结论。
等腰三角形的判定定理。
了解反证法的推理方法。
作业:
1、基础作业:
P9页习题
1、2、3。
2、拓展作业:
《目标检测》
3、预习作业:
P10-12页做一做
发现
§你能证明它们吗
（二）
-猜想一一证明
等腰三角形的判定定理
证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）
了解反证法的推理方法
两底角的平分线相等
1、掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索一发现一猜想一证明”的过程。
能够用综合法证明直角三角形的有
关性质定理和等边三角形的判定定理。
等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。
能够用综合法证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。
教具准备
施教时间
2006年月日
教学过程:
、定理：
一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
1.引导学生回忆上节课的内容，让学生思考：
等腰三角形满足什么条件时便成为等边三
角形让学生对普遍联系和相互转化有一个感性的认识。
学生积极地自主探索、思考等腰三角形成为等边三角形的条件。
可能会从边和角两个角度
给出答案。
2.肯定学生的回答，并让学生进一步思考：
有一个角是
60°的等腰三家形是等边三角形
吗组织学生交流自己的想法。
渗透分类讨论的思维方法。
学生积极思考，通过老师的点拨，分类讨论当这个角分别是底角和顶角的情况。
3.关注学生得出证明思路的过程，讲评。
讲解定理：
有一个角是
60°的等腰三角形是等
边三角形。
学生认真听讲，体会分类讨论的数学思维方法，理解定理。
二、一种特殊直角三角形的性质
1.让学生拼摆事先准备好的三角尺，提问：
能拼成一个怎样的三角形能否拼出一个等边
三角形并说明理由。
学生积极动手操作，并很快得到结果：
可以拼出等边三角形。
2.肯定学生的发现和解释，在此基础上进一步深入提问：
在直角三角形中,
30°所对的
直角边与斜边有怎样的大小关系
学生在拼摆的基础上继续探索，得出结论。
并在探索的过程中得到证明的思路。
3.演示规范的证明步骤，同时引导学生意识到：
通过实际操作探索出的结论还需要给予
理论证明。
学生认真听讲，体会从探索和尝试中得到结论的过程和证明方法的步骤，掌握定理。
4.让学生准备一张正方形纸片，，按要求动手折叠。
学生折叠纸片，体会定理的应用。
5.讲解P15例题，应用定理。
学生听讲，体会定理的应用。
6•布置学生做练习。
练习：
课本12页随堂练习1
学生认真做练习。
三、课堂小结:
通过这节课的学习你学到了什么知识了解了什么证明方法
（学生小结：
掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理）四、作业:
1、基础作业:
P13页习题1、2、3题
2、拓展作业:
《目标检测》
3、预习作业:
P15-17页读一读“勾股定理的证明”
§、你能证明它们吗（三）
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,
角形。
那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1、要求学生掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）和判定定理，并能应用定理
解决与直角三角形有关的问题。
2、了解逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的含义，能结合自己的生活及学习
体验举出逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的例子。
3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。
直角三角形的性质和判定定理勾股定理逆定理的证明方法。
教具准备
施教时间
2006年月日
教学过程:
、勾股定理
1.让学生到黑板上画出他们观察到的生活中的直角三角形，并分别说出它们的作用在哪里。
2.高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力。
可以把其中很有创意的发现以该学生名字命名，以此保护学生的积极性。
3.总结学生的“成果”，启发学生思考既然学生所找的三角形同属直角类，那么它们还有没有其他的共性
学生听取老师的分析，找出自己“成果”的优缺点；积极思考直角三角形的共性，有些学生会有困难，不知从哪里人手。
4.启发学生回忆以前用数方格和割补图形的方法得到的关于直角三角形三边关系的结论。
让学生画出一个直角三角形并测量三边长，验证结论的正确性。
学生动手用直尺和圆规画一个直角三角形，并测量三边的长度，结合以前的知识，验证勾股定理。
5.讲解勾股定理，讲述有关的数学史，让学生对勾股定理的发现有所了解。
二、勾股定理的逆定理
1.利用学生画在黑板上的直角三角形提出问题：
你如何证明你找的就是直角三角形呢
2.引导学生思考勾股定理的反面：
在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方
时，这个三角形是不是直角三角形2•在老师的启发下，“觉得”命题是正确的，但不能给出严谨的证明。
3.让学生画三角形并测量三边长长度。
4.
借此机会向学生说明命题的正确性一定要通过严格的逻辑证明来说明，不能凭直观猜
5.对这个比较有挑战性的问题，首先让“呼之欲出”的学生说说他们的思路；并让学生试着给出比较详细的说明。
6.表扬学生的积极发言，保护学生的积极性，并对他们的回答予以剖析，引导学生继续思考。
7.结合刚刚讲过的勾股定理及其逆定理，应用互逆命题、互逆定理的含义进行分析,深学生对这一方面的认识。
互逆定理。
学生知道如何应用互逆命题、互逆定理的定义判断两个命题是否构成互逆命题、
&结合游戏中的命题向学生说明：
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
学生体会命题变换的辩证关系。
学生知道命题的条件和结论互换之后命题不一定成立，对命题表述的严谨性和正确性有了更深的认识。
9.让学生回忆自己曾学到的互逆命题和互逆定理，说出教师难备的一些命题的逆命题并判断真假。
学生说出答案并可以判断命题的真假。
作业
1基础作业:
P20页习题
1、2、3。
2、拓展作业:
《目标检测》
3、预习作业:
P21-22页做一做
勾股定理:
直角三角形
互逆定理:
1、掌握直角三角形全等的判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
2、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。
直角三角形HL全等判定定理。
直角三角形HL全等判定定理。
教学过程:
、直角三角形HL全等判定定理
1向学生展示自己难备的两个全等的直角三角形，让学生根据直观感觉回答两个三角形是什么关系
2.进一步说明要判断两个三角形全等，必须给出证明，继续培养学生理性思考问题的习
SSSSASASAAAS等全等三
惯。
让学生回忆在第一节中都学习了哪些全等判定定理。
学生加深对证明必要性的认识，体会数学的严谨性。
回忆角形的判定定理。
3.因为所给出的两个直角三角形没有附加什么条件，让学生思考：
如果要利用那四个全等判定定理，分别需要给这两个三角形附加什么条件培养学生养成在满足条件下才能应用定理的习惯。
4.肯定学生的回答，启发学生进一步思考，对于直角三角形这样的一类特殊三角形，四
个定理是否可以简化一些还有没有其他的判定方法
角边或一条直角边和一条斜边对应相等就可以了……类似地考虑其他情况。
5.充分肯定学生的思考，在这时适时地提出曾经被抛弃的一条假名题：
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等在现在成立吗
6.让学生自己写出条件并给出证明。
让先写完的学生到黑板上板演。
7.讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达。
分析命题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理：
斜边和一条直角边对应相等的直角三角形全等，可以简单地用“斜边、直角边”或“HL'表示。
学生对比老师的讲解修正自己的书写和表达。
听老师讲解直角三角形全等判定定理，知道
HL是SSS的—种特殊情况。
&让学生动手按照课本上的步骤作图，在此时训练学生熟练使用作图工具能力。
让学生
HL定
首先观察所作出的射线是否是己知角的平分线，是的话，思考如何证明。
学生对于命题条件的特殊情况，知道相应的命题判定也会有特殊的判定方法。
学会理。
9.让学生把自己的证明过程到黑板上讲给同学听，注意纠正他的不规范表达和不严谨的地方，给全体学生做示范，加强推理能力的训练。
学生按照要求比较熟练地作图，思考如何证明所作的射线就是已知角的平分线。
根据条件写出已知求证，并给出证明。
10.让学生分组讨论开放题，尽可能从多个角度、多个侧面展开讨论。
通过和同学交流想
法，各小组获得各种不同的答案。
在这个思考和交流的过程中，要给予学生必要的提示和指导,
为学生提供自主探索的时间和空间，培养学生的创造性思维和发散思维。
求证并进行证明的能力得到提高。
11.充分肯定学生的发现，让学生有一种成就感。
选取其中比较一般和比较新颖的有代表的证明方法进行讲评。
其他课下写出证明。
学生展开积极的思考和激烈的讨论，得到各种不同的答案。
通过开放题的研究，意识到自己在学习中的自主性。
小结:
1、本节课学习了哪些知识还有那一些方面的收获
作业:
1.要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解
决一些问题。
2.能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。
3.通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。
线段垂直平分线性质定理及其逆定理。
教学过程:
一、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等1•让学生把准备好的方方正正的纸拿出来，按照下图的样
子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和E'BFB和F'
关系。
2.让学生说出他们观察猜测的结果是什么，肯定他们的发
现，引导学生思考：
这样一个结论是比较直观和明显的，我们可
以说出两组边分别是相等的，但是，我们可以用观察说服别人吗
3•给学生留出时间和空间思考如何把猜想变成事实。
学生可以讨论交流不同的方法。
提示学生在证明之前，要把文字语言变成数学语言，根据图形写出已知和求证。
4.
选取证明完成地较好和较差的两位同学到黑板上板演自己的证明，其他同学在练习本上完成。
5.
针对两位同学的板书讲解证法，规范学生的证明过程，培养学生的逻辑思维能力。
6.
提升学生的几何认识：
由证明过程可以看出，两组对应线段分别相等，那么这个事实的几何意义是什么呢
7•让学生总结出线段垂直平分线的性质定理，进而告诉学生：
命题中说线段垂直平分线上的任一点到线段两个端点的距离都相等，但是在证明过程中，我们只是随机地选了几种情况来证明，这并不影响命题的正确性，因为我们所选的点是任意的。
借此向学生渗透等价类的性质与选取的代表无关的思想。
二、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
1•引导学生回忆第二节课学过的关于互逆命题和互逆定理的知识，让学生说出自己收集的数学上的互逆命题和互逆定理。
2•把学生的答案分成两类：
一类是“如果…那么…”形式的，一类是非“如果…那么…”形式的。
对于简单的情形，不予以过多阐释，对于非“如果…那么…”形式的命题，要求给出
这组互逆命题的学生跟同学们讲清楚他是怎么想的。
3.总结和完善学生的发言，运用转化归结的思想，让学生先找到原命题的条件和结论，
把命题写成“如果…那么…”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理。
4.为体现转化归结的应用，帮助学生把原命题改写成“如果…那么…”的形式，然后由学生写出它的“如果…那么…”形式的逆命题，弓I导学生把如果…那么…”的逆命题进二步简化（指表述形式）。
5.让学生类比原命题画出图形、写出已知和求证并证明逆定理，解释几何意义。
6.布置学生收集生活中应用线段的垂直平分线的例子，让学生体会这个定理的应用，在体会中加深理解。
三、用尺规作线段的垂直平分线
1.用投影仪展示历史上用直尺和圆规作出的美妙的图形，把学生引入到一个数学的美的世界，陶冶学生的情操，弓I发学生的求知欲。
2.给学生讲解与作图有关的数学史知识，如几何三大难题等，讲述作图在实际中的应用，让学生对此有一定了解，激发学生用多种手段和方法解决问题的意识。
3.趁热打铁，让学生明确要能自己用直尺和圆规画出优美的图形，或者在实际中应用画图解决问题，必须从最基本的开始，先学习如何用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线，让学生在充满好奇心的状态下进入作图的内容。
4.一边讲解如何作图、一边示范，让学生同时在练习本上完成同样的工作。
5.说明：
类似于证明题要写出已知求证和证明，作图题要根据条件写出已知，求作和作法，让学生自己试着写出来。
6.在黑板上写出规范的已知求作和作法，给学生一个示范，以便使学生的语言简练、表
达清楚。
让学生同桌俩人互相检查批改，在此过程中提高对已知求作和作法的认识，加深理解。
7•组织学生讨论：
为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线与同学交流。
作业：
P27,1、2、3、
线段的垂直平分线
（一）2.到一条线段两个端点距离相等的点，在
1.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
这条线段的垂直平分线上3.用尺规作线段的垂直平分线
1.能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能够
利用直尺和圆规作出等腰三角形。
知道为什么这样做图，提高熟练地使用直尺
和圆规作图的技能。
2.通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。
作已知线段的垂直平分线。
理解三线共点的证明方法。
教学过程:
、线段垂直平分线的性质定理
1.让学生拿出课前准备好的纸片三角形，先折一条边作示范，然后让学生用折叠的方法找出每条边的垂直平分线。
2.让学生观察：
刚刚折出来的三条垂直平分线有什么关系让学生自己经历探究的过程,不要直接给出答案或很有指向性的提示。
3.让学生暂且把折纸放在一边，拿出圆规和直尺，画：
一个任意的三角形，并利用所学知识作出三角形三条边的垂直平分线。
要注意提醒个别学生作图的方法和步骤，强调作图的要求，培养学生的作图技能。
4.让学生观察他们自己作出来的三条垂直平分线有什么性质，然后对照纸折的三条垂直平分线，看这个性质是不是它们共有的换句话说，不管是什么样的三角形，它们的垂直平分线有没有什么共性有的话，这个共性是什么让学生提出猜想。
5.让已经得出猜想的学生说出他们的猜想，并说明他们是怎么得到这个猜想的。
在这时要注意表扬回答问题的学生，肯定他的发现，向学生强调：
准确的图形由于直观地揭示了数学对象阶性质，因此有利于发现数学结论，而不准确的图形不利于发现数学结论，以此要求学生认真画图，养成好的习惯。
6.肯定学生的发现；板书规范的表达；提问：
对于这个猜想，你能用学过的知识采证明它吗进一步渗透理性思考的意识，强调：
只有经过证明的猜想才能确定其是否正确。
7.启发学生思考：
大家都知道两条直线交于一点，要证明三条直线相交于一点，是不是只要证明第三条直线也通过这两条直线的交点即可也就是说，只要能证明其中两条直线的交点在另一条直线上即可。
对这个证明
&巡视之后，让基本可以证明的学生口述其证明思路，其他同学看他的证明是否正确、
严谨。
9.点评学生的回答，肯定其正确性，修正不规范的地方。
让两位学生到黑板上画出图形,写出已知，求证并证明，其他学生在练习本上证明。
让学生把思考落实到笔上。
10.参照黑板上两位学生的证明，带学生把证明的思路再整理一遍，同时阐释三线共点的证明方法。
加深学生的认识，为以后的学习和使用打下基础。
二、两个作图的问题
1.让学生分组讨论：
已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗如果能,能作几个所作出的三角形都全等吗让学生在讨论的过程中，思考并发表自己的见解，让学生体验合作学习，培养学生用数学地思考和表达的能力。
分组时考虑到学生的搭配。
2.让每组派一位代表说出小组的讨论结果，如果已经作出了图的话，用投影仪展示给全班同学看，让学生评判哪组的结果不但正确，而且漂亮。
以此调动学生地积极性，体现学生的主体地位，向学生渗透追求数学结果正确、简洁、和谐的美的意识。
3.赞赏地肯定所有同学的表现，表扬大家公认的作的好的组，让大家向他们学习，同时抓住其他小组的优点予以鼓励，保护他们对数学学习的热情。
4.综合学生的讨论结果，给出问题的解答。
同时，弓I导学生思考、讨论另外几个问题:
已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用直尺和圆规作出等腰三角形吗能作几个它们之
间有什么关系
5.让学生动手画出符合要求的三角形，训练他们的作图技能，要注意提醒学生正确使用直尺和圆规，规范作图。
6.要求学生自己写出作法，同时能说明理由。
三、已知底边及底边上的高，求作等腰三角形
1、用投影仪出示题目：
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。
进一步训练学生的作图技能。
应注意要求学生根据题意写出已知和求作、规范作图并能说明理由。
2.
简单讲评。
1.要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理一一判定定理，会用这两个定理
角平分线性质定理及其逆定理。
掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。
教学过程:
、角平分线性质定理
1.让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子，并分别说出它们的作用。
2.综合学生的发现，对于其中应用角平分线性质的几个例子，让学生猜想：
它们应用的性质有没有什么相同的地方
3.让学生拿出纸折的角，把角对折至两条边完全重合，注意角的顶点处要折好；然后把角的两条边对折几次，让学生观察折痕的特点。
可以带学生完成上述操作，以便学生
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