最大公因数与最小公倍数的实际应用.docx

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最大公因数与最小公倍数的实际应用

最大公因数和最小公倍数

基础知识与实际应用

相关基础知识

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

最大公因数和最小公倍数的性质

（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。

（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，

（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

两个自然数的最大公因数与最小公倍数关系是：

（a，b）x[a，b]=axb。

6是12和18的最大公因数，记作（12，18）=6。

36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公因数，再用最大公因数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。

两个数A,B,①如果A是B的倍数，那么最大公因数就是B,最小公倍数是A;②如果AB互质，那么最大公因数就是1，最小公倍数是A*B;

欧几里得用辗转相除法求两个数的最大公因数。

如果（a,b）来表示a和b的最大公因数。

有定理：

已知a,b,c为正整数，若a除以b余5则（a,b）=（b,c）。

辗转相除法（欧几里得算法）

定义：

所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。

若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则

这时较小的数就是原来两个数的最大公因数。

步骤：

S1,用大数除以小数

S2,除数变成被除数，余数变成除数

S3，重复S1,直到余数为0时，较小的数就是原来两个数的最大公因数。

例1:

求15750与27216的最大公因数。

解：

•/27216=15750X1+11466/•（15750,27216）=（15750,11466）

•/15750=11466X1+4284/•（15750,11466）=（11466,4284）

•/11466=4284X2+2898/•（11466,4284）=（4284,2898）

•/4284=2898X1+1386/•（4284,2898）=（2898,1386）

•/2898=1386X2+126/•（2898,1386）=（1386,126）

•/1386=126X11

•••（1386,126）=126

所以（15750,27216）=126

例2•求（1397,2413）

2413=1397*1+1016,

1397=1016*1+381,1016=381*2+254,381=254*1+127,

254=127*2+0,

所以（1397,2413）=127。

《九章算术》更相减损术找最大公因数

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大

公因数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。

以等数约之。

”

翻译成现代语言如下：

第一步：

任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。

若是，则用2约简；若不是则

执行第二步。

第二步：

以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。

继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公因数。

其中所说的“等数”，就是最大公因数。

求“等数”的办法是“更相减损”法。

例1、用更相减损术求98与63的最大公因数。

解：

由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公因数等于7。

例2、用更相减损术求260和104的最大公因数。

解：

由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52,再用2约简得到65和26。

此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：

65-26=39

39-26=13

26-13=13

所以，260与104的最大公因数等于13乘以第一步中约掉的两个2,即13*2*2=52。

短除法找最大公因数与最小公倍数

短除符号就是除号倒过来。

短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，

然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数

互质，最大公因数是1的两个数叫互质数，如8和9）。

而在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因

数的数则原样落下。

直到剩下每两个都是互质关系。

求最大公因数便乘一边，求最小公倍数便乘一圈。

（公因数：

如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公

因数中最大的称为最大公因数。

）

图1图2

实际应用

例：

有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。

如果把这块木头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？

解：

根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大公因数。

即:

（325、175、75）=25（厘米）

因为325-25=13;175-25=7;75-25=3

所以13X7X3=273（个）或（325X175X75）-（25X25X25）=273

例：

有一个两位数，除50余2,除63余3,除73余1。

求这个两位数是多少？

解：

这个两位数除50余2,则用他除48（52-2）恰好整除。

也就是说，这个两位数是48的因数。

同理，这个两位数也是60、72的因数。

所以，这个两位数只可能是48、60、72的公因数1、2、3、4、6、12,而满足条件的只有公因数12,即（48、60、72）=12。

练习

1.新年联欢会上，张老师把42个打气球和30个小气球平均分给几个小组，正好分完。

最多可以分给几个小组？

每个小组分的大、小气球各多少个？

2.雨辰小学五年二班有54人，五年三班有63人，两班决定分小组去博物馆参观，两班每组人数相等并且没有剩余每小组最多有多少人？

每个班可以分多少个小组？

3.同学们买了24朵百合花的18朵玫瑰花送个老师，两种花混在一起扎成一束，

想要扎成每束百合花、玫瑰花朵数相同，最多扎几束？

每束几朵百合花，几朵玫瑰花？

4.明明有一张长84厘米，宽60厘米的长方形纸板，剪成边长相等的小正方形，边长最长是多少？

可以剪几块？

解答公因数或公倍数问题的关键是：

从因数和倍数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公因数或公倍数问题。

例：

有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。

现在要把它们截成同样长的小段。

每段最长可以有几米？

一共可以截成多少段？

分析：

截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。

先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。

（18、24、30）=6（18+24+30-6=12段

例：

一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？

能截多少个正方形？

分析：

要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。

（36、60）=12（60-12）X（36-12）=15个

例：

用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。

若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？

每个花束里至少要有几朵花？

分析：

要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多,所以花束的个数应是96和72的最大公因数。

（1）最多可以做多少个花束？

（96、72）=24

（2）每个花束里有几朵红玫瑰花？

96-24=4朵

（3）每个花束里有几朵白玫瑰花？

72-24=3朵

（4）每个花束里最少有几朵花？

4+3=7朵

练习

1、有一堆西瓜与一堆木瓜,分别为24个与36个,将其各分成若干小堆,各小堆的个数要相等，则每小堆最多几个？

这时候西瓜分成多少小堆？

木瓜分成多少小

堆？

2、甲、乙两队学生,甲队有121人，乙队有143人,各分成若干组,各组人数要相

等,则每组最多有几人？

这时候甲队可分成多少组？

乙队可分成多少组？

3、今有梨320个,糖果240个,饼干200个,将这些东西分成相同的礼品包送给儿童,但包数要最多，则每包有多少个梨？

有多少个糖果？

有多少个饼干？

4、有一张长6公分,宽4公分的长方形色纸，将它剪成最大的正方形而不浪费纸,此正方形边长为几公分？

例：

公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。

第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。

三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？

分析：

这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。

[5、10、6]=30

练习

1、利用每一小块长6公分,宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图

案•问：

拼成的正方形的边长可能是多少？

2、王伯伯有三个小孩，老大3天回家一次，老二4天回家一次，老三6天回家一次，这次10月1日一起回家，则下一次是几月几日一起回家？

3、美美客运有A,B两种车,A车每45分发车一次,B车每1小时发车一次,两车同时由上午6点发车,下一次同时发车是什麼时候？

例：

某厂加工一种零件要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可完成3

个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。

要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？

分析：

安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。

这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。

至少安排

的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。

（1）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？

[3、12、

5]=60

（2）第一道工序应安排多少人？

60-3=20人

（3）第二道工序应安排多少人？

60-12=5人

（4）第三道工序应安排多少人？

60-5=12人

例：

有一批机器零件。

每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。

这些零件总数在300至400之间。

这批零件共有多少个？

分析：

每12个放一盒，就多出11个，就是说，这批零件的个数被12除少1个;每18个放一盒，就少1个，就是说，这批零件的个数被18除少1;每15个放一盒，就有7盒各多2个，多了2X7=14个，应是少1个。

也就是说，这批零

件的个数被15除也少1个。

如果这批零件的个数增加1,恰好是12、18和15的公倍数。

1刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个？

]12、18、15]=

180

2在300至400之间的180的倍数是多少？

180X2=360

3这批零件共有多少个？

360-1=359个

例：

有一批水果，总数在1000个以内。

如果每24个装一箱，最后一箱差2个；