两因素方差分析.docx
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两因素方差分析
两因素方差分析
「、两因素方差分析中的基本概念
1.例1-1（pp1）:
四种疗法治疗缺铁性贫血后红细胞增加数
服用A药，则A=2,否则A=1;服用B药，则B=2,否则B=1
疗法
X
总体均数
A
B
疗法1（般疗法）
0.8,0.9,0.7
片1
1
1
疗法2（般疗法+A药）
1.3,1.2,1.1
亠21
2
1
疗法3（般疗法+B药）
0.9,1.1,1.0
亠12
1
2
疗法4（般疗法+A药+B药）
2.1,2.2,2.0
»22
2
2
两因素Stata数据输入格式
命令anovaxaba*b
其中a表示A药疗效的主效应，b表示B药疗效的主效应，a*b表
示A药与B药对疗效的交互作用
结果如下
Numberofobs=12R-squared=0.9737
RootMSE=.10AdjR-squared=0.9638
Source|PartialSSdfMSFProb>F
+
Model|2.962499943.9874999898.750.0000
|
a|1.687511.6875168.750.0000
b|.9074999741.90749997490.750.0000
a*b|.3674999671.36749996736.750.0003
|
Residual|.0800000028.01
+
Total|3.0424999411.276590904
结果表明：
对于:
=0.05而言
He：
没有交互作用并且A药和B药疗效的主效应都没有差异H11:
有交互作用或A药主效应有差异或B药主效应有差异FModel=98.75,P值<0.05，因此认为模型是有效的（或有交互作用或有主效应）。
H20：
没有交互作用
H21:
有交互作用
Faxb=36.75,P值=0.0003<0.05，因此A药与B药的疗效有交互作用，并且有统计意义。
H30：
A药没有差异
H31：
A药主效应有差异
Fa=168.75,P值<0.05,A药的主效应有统计意义
H40：
B药没有差异
H41：
B药主效应有差异
Fb=90.75,P值＜0.05,B药的主效应也有统计意义。
问题：
模型是什么？
模型：
％」.*a」（Jab
其中Jab是x的总体均数，:
a称为A因素的主效应，-b称为B因素的主效应，（厂）ab称为A因素和B因素对因变量x（观察指标变量）的交互作用。
2.主效应的意义
A主效应
平均
平均二=Tl」21_=亠12■"22_=Tl.」12.」21.」22均.12.22
B主效应」
称r和〉2为a因素的主效应，-1和］2为b因素的主效应。
并且可以验证：
-：
冷+-：
=0（即：
®=—-：
込）以及'1+'2=0（1=—2）若〉1=〉2（即〉1=〉2=0）,贝S对应A因素的主效应没有作用。
若：
1=2（即M=-2=0）,则对应B因素的主效应没有作用。
3.交互作用的意义
B药A主效应
A药—
未服用服用表示
未服用屯“=丛.+叫+B1+（邙）“片2=4.+°^+32+（邛）仁％二比+牛
B主效应
并且根据巧，屯.2,41,山2和生定义，请验证:
=>C：
）22=—（-）21=（：
：
）11=—C：
）12
（：
：
）12+（：
-）22=0
若G■）11=G-）22=C：
）21=G-）12=0,则称无交互作用。
否则称A因
素和B因素对观察指标构成交互作用。
例如：
若无交互作用
模型：
巴厂卩+/+Pb并称为Reduced模型
（称有交互作用的模型％=卩+叭+%+（川人为饱和模型或全模型）
B药A主效应
A药-
未服用服用表示
未服用
比1=4.+5+01
卩12=4..+Ct1+卩2
巴=4+«1
1...1
服用
亠21=卩..+^2+卩1
卩22=»..+°2+卩2
巴=卩+ao
2...2
B主效应
卩1=卩+优
巴二卩+打
卩2=0.65+0.05服用出=0.7
（0.65+0.05—0.1）（0.65+0.05+0.1）©2=0.05）
平均
^.1=0.55
4.2=0.75卩.=0.65
B主效应
卩1=0.65-0.1
（m=—0.1）
—=0.65+0.1
（2=0.1）
未服用A药时，未服用B药与服用B药均数差值^1—-12—1—2=2j服用A药时，未服用B药与服用B药均数差值为^1—-22=11—12=2「即：
B药的疗效与是否服用A药无关，并且B药的疗效正好为B药的主效应的差异已-卩2=^-駡=2打
未服用B药时,未服用A药与服用A药均数差值^1—-21—1—■2=21服用B药时,未服用A药与服用A药均数差值为^2—122—1—2=21即：
A药的疗效与是否服用B药无关，并且A药的疗效正好为A药的主效应的差异叫-巴尸％-02=25。
有交互作用的情况
B药A主效应
A药—
未服用服用表示
未服用>11=卩..+。
1+卩1+（M）11卩12=卩..+°^1+P2+（aB）12%=»..*“1
B主效应〜「1".2二J.＜-2J
未服用A药时，未服用B药与服用B药均数差值：
-11—-12=-1—：
2+C川）11—C川）12=2：
l+2C川）11
服用A药时，未服用B药与服用B药均数差值：
J21—-22='1—'2+（:
川）21—（:
川）22=2：
1—2（：
•川）“,因此C川）11不为0时，未服用B药与服用B药均数差值与是否服用A药有关。
即交互作用。
同理可以验证未服用A药与服用A药均数差值与是否服用B药有关。
即交互作用。
如A药
B药
平均
A主效应表示
未服用
服用
未服用
0.4
（.75-.25-.15-.05）
0.8
（0.75+.25-.15+.05）
%=0.6
已=0.75—0.15（5=—0.15）
服用
0.6
（.75-.25+.15+.05）
1.2
（.75+.25+.15-.05）
匕=0.9
电=0.75+0.15（口2=0.15）
平均
#1=0.5
T.0
卩=0.75
B主效应
^1=0.75-0.25
（打二—0.25）
卩2=0.75+0.25
^2=0.25）
红色的数值为交互效应
如果有交互作用，贝心
两个药都用的均数＞A药的均数+B药的均数-两个药都未用的均数
（本例即：
%2^l12+l21—111），则称协同作用。
两个药都用的均数＜A药的均数+B药的均数-两个药都未用的均数
（本例即：
J22^l12+l21—111），则称拮抗作用。
在实际统计时，如果检验的结果为有交互作用，只需用相应的样本均数代替总体均数验算一下：
判断协同作用还是拮抗作用。
4.两因素方差分析中的两两比较（简单效应的组间比较
Comparisonofsimpleeffectbygroup）:
有许多方法可以进行两两比较，这里介绍的LSD方法进行两两比较。
分两个步骤进行。
一、借用单因素方差分析的方法进行方差齐性检验和统计描述：
以pp1中的例1-1为例：
在该研究中有两个因素，每个因素有2个水平：
用和不用，因此共有4种情况，对应有4组，两因素方差分析的两两比较时，可以转化为4组（各个因素的水平数之和）的单因素方差分析。
仍以上述Stata文件结构：
产生分组变量group
gengroup二a+（b-1）*2
对应的关系为：
A
B
group
1
1
1
2
1
2
1
2
3
2
2
4
onewayxgroup,tsidak
|Summaryofx
group|MeanStd.Dev.
Freq.
+
1|.79999999.09999999
3
2|1.2.09999996
3
3|1.10000002
3
4|2.1.100000023
+
Total|1.275.525919112
AnalysisofVarianee
SourceSSdfMSFProb>F
Betweengroups2.962499943.9874999898.750.0000
Withingroups.0800000028.01
Total3.0424999411.276590904
Bartlett'stestforequalvariances:
chi2（3）=0.0000Prob>chi2=1.000
结果说明：
各组方差齐性
anovaxgroup
Numberofobs=12R-squared=0.9737
RootMSE=.10AdjR-squared=0.9638
Source|
丄
PartialSS
df
MSF
Prob>F
Model|
I
2.96249994
3
.98749998
98.75
0.0000
1
group|
1
2.96249994
3
.98749998
98.75
0.0000
|
Residual|
.080000002
8
.01
+
Total|3.0424999411.276590904
4组的总体均数不全相同regress
x
Coef.
Std.Err.t
P>|t|
[95%Conf.Interval]
_cons
2.1.057735
36.37
0.000
1.966863
2.233137
group
1
-1.3.0816497-
-15.92
0.000-
-1.488284
-1.111716
2
-.9
.0816497-11.02
0.000-
■1.088284-.7117155
3
-1.1.0816497-
-13.47
0.000-
-1.288284
-.9117155
4
（dropped）
Coef.表示第4组均数—其他组的均数的差值，如：
第4组均数—第2组均数的差值=—0.9。
P>|t|表示第4组均数与其他组的均数比较的P值，如第4组均数与
第2组均数比较的P值=0.000。
即：
第4组（用A药且用B药）的红细胞增加数均数大于其他3组的红细胞增加数均数，并且差别有统计学意义。
第1至3组的均数比较的检验操作如下：
第i组与第j组比较：
test_b[group[i]]=_b[group[j]]
H。
：
4i=»j
检验命令
F值与P值
»1=»2
test_b[group[1]]=_b[group[2]]
F（1,8）=24.00
Prob>F=0.0012
卩1=卩3
test_b[group[1]]=_b[group[3]]
F（1,8）=6.00
Prob>F=0.0400
卩2=卩3
test_b[group[2]]=_b[group[3]]
F（1,8）=6.00
Prob>F=0.0400
结果说明：
第2组（不用B药情况下用A药）的红细胞增加数均数大于第1组（不用B药和A药）和第3组（不用A药情况下用B药）的红细胞增加数均数，差别有统计学意义。
第3组（不用A药情况下用B药）的红细胞增加数均数大于第1组（不用B药和A药）的红细胞增加数均数，差别有统计学意义。
判断何种交互作用
组别
第1组
第4组
第2组
第3组
不用B药
用B药
不用B药
用B药
不用A药
用A药
用A药
不用A药
样本均数
0.8
2.1
1.2
1.0
0.8+2.1=2.9>
2.2=1.2+1.0
结合两因素方差分析的结果说明A药和B药的疗效构成协同作用。
结果小结：
A药和B药均能使红细胞增加数提高。
若仅用一个药的情况下，A药优于B药，但用两个药的疗效已经超过单独使用其中一个药的疗效之和（有协同作用）。
二、两因素方差分析的分析策略小结：
1.先做两因素方差分析确定是否有交互作用
a）如果没有交互作用，看主效应的差别是否有统计学意义：
若有统计学意义，考察相应的样本均数，确定哪种情况的均数高。
b）如果有交互作用，则不能分析主效应。
而化为单因素的方差分
析（组数为各个因素的水平数之和），作两两比较。
2.在有交互作用的情况下，通过计算样本均数确认交互作用为协
同作用还是拮抗作用
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