第20章《平行四边形的判定》中考题集09204+正方形的判定.docx

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第20章《平行四边形的判定》中考题集09204+正方形的判定

第20章《平行四边形的判定》中考题集（09）：

20.4正方形的判定

第20章《平行四边形的判定》中考题集（09）：

20.4正方形的判定

选择题

1．（2010•义乌市）下列说法不正确的是（　　）

A．

一组邻边相等的矩形是正方形

B．

对角线相等的菱形是正方形

C．

对角线互相垂直的矩形是正方形

D．

有一个角是直角的平行四边形是正方形

2．（2009•重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形；

②四边形CDFE不可能为正方形，

③DE长度的最小值为4；

④四边形CDFE的面积保持不变；

⑤△CDE面积的最大值为8．

其中正确的结论是（　　）

A．

①②③

B．

①④⑤

C．

①③④

D．

③④⑤

4．（2009•临夏州）如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（　　）

A．

B．

C．

D．

5．（2008•扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）

A．

当AB=BC时，它是菱形

B．

当AC⊥BD时，它是菱形

C．

当∠ABC=90°时，它是矩形

D．

当AC=BD时，它是正方形

6．（2008•辽宁）下列命题中正确的是（　　）

A．

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

B．

两条对角线相等的四边形是矩形

C．

两条对角线互相垂直的四边形是菱形

D．

两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

7．（2007•上海）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）

A．

∠D=90°

B．

AB=CD

C．

AD=BC

D．

BC=CD

8．（2006•天津）下列判断中正确的是（　　）

A．

四边相等的四边形是正方形

B．

四角相等的四边形是正方形

C．

对角线互相垂直的平行四边形是正方形

D．

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

9．（2006•十堰）如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（　　）

A．

22.5°角

B．

30°角

C．

45°角

D．

60°角

10．（2006•龙岩）下列说法错误的是（　　）

A．

矩形的四个角都相等

B．

四条边都相等的四边形是菱形

C．

等腰梯形的对角线相等

D．

对角线互相垂直平分的四边形是正方形

11．（2005•天津）在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（　　）

A．

AC=BD，AB∥CD，AB=CD

B．

AD∥BC，∠A=∠C

C．

AO=BO=CO=DO，AC⊥BD

D．

AO=CO，BO=DO，AB=BC

12．（2005•四川）下列说法中，错误的是（　　）

A．

菱形的四条边都相等

B．

对角线互相垂直的平行四边形是正方形

C．

四个角都相等的四边形是矩形

D．

等腰梯形的对角线相等

13．（2005•佛山）对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是（　　）

A．

正方形

B．

菱形

C．

矩形

D．

等腰梯形

14．（2007•济南）下列说法不正确的是（　　）

A．

有一个角是直角的菱形是正方形

B．

两条对角线相等的菱形是正方形

C．

对角线互相垂直的矩形是正方形

D．

四条边都相等的四边形是正方形

15．（2010•滨州）如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪切线与折痕所成的角的大小等于（　　）

A．

30°

B．

45°

C．

60°

D．

90°

解答题

16．（2005•广州）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．

（1）求证：

CE=CF；

（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？

请说明理由．

17．（2008•宁德）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．

（1）求证：

CE=CF；

（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？

为什么？

（3）运用

（1）

（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．

18．（2010•河源）如图，△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）求证：

PE=PF；

（2）当点P在边AC上运动时，四边形AECF可能是矩形吗？

说明理由；

（3）若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且

．求此时∠BAC的大小．

19．（2008•濮阳）如图，已知：

在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE．

（1）试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形？

（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？

请回答并证明你的结论．（特别提醒：

表示角最好用数字）

20．（2006•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于D，交AB于E，且CF=BE．

（1）求证：

四边形BECF是菱形；

（2）当∠A的大小满足什么条件时，菱形BECF是正方形？

回答并证明你的结论．

21．（2014•安顺）已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：

四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？

并给出证明．

22．（2007•舟山）我们学习了四边形和一些特殊的四边形，如图表示了在某种条件下它们之间的关系．

如果①，②两个条件分别是：

①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行．

那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件．

23．（2006•沈阳）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：

①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．

（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答“成立”或“不成立”）

（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？

若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）如图④，在

（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．

24．（2010•泰安）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．

（1）求证：

△PDQ是等腰直角三角形；

（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．

25．（2010•莱芜）在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE．

（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；

（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是　_________　；

（3）如图③，在

（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是　_________　；

（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．

26．（2009•吉林）两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．

（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AG（如图②），求点D到AG的距离；

（2）当α=45°时（如图③），求证：

四边形MHND为正方形．

27．（2009•黄石）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）探究：

线段OE与OF的数量关系并加以证明；

（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？

若是，请证明；若不是，则说明理由；

（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

28．（2009•湖州）如图：

已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．

（1）求证：

△BED≌△CFD；

（2）若∠A=90°，求证：

四边形DFAE是正方形．

29．（2007•昆明）已知：

如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OB=OD，∠BAO=∠DCO．

（1）求证：

四边形ABCD是平行四边形；

（2）把线段AC绕O点顺时针旋转，使AC⊥BD，这时四边形ABCD是什么四边形？

简要说明理由；

（3）在

（2）中，当AC⊥BD后，又分别延长OA、OC到点A1，C1，使OA1=OC1=OD，这时四边形A1BC1D是什么四边形？

简要说明理由．

30．（2006•济南）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．

（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）

（2）证明：

四边形AHBG是菱形；

（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？

请你写出这个条件．（不必证明）

第20章《平行四边形的判定》中考题集（09）：

20.4正方形的判定

参考答案与试题解析

选择题

1．（2010•义乌市）下列说法不正确的是（　　）

A．

一组邻边相等的矩形是正方形

B．

对角线相等的菱形是正方形

C．

对角线互相垂直的矩形是正方形

D．

有一个角是直角的平行四边形是正方形

考点：

专题：

证明题．

分析：

根据正方形的判定方法对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形对各个选项进行分析，从而得到答案．

解答：

解：

A、矩形是对边平行且相等，加上一组邻边相等，正好属于正方形，故A选项正确；

B、菱形的对角线是相互垂直的，加上对角线相等，正好符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形这一性质，故B选项正确；

C、矩形的对角线是相等且相互平分的，加上互相垂直，正好符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形这一性质，故C选项正确；

D、有一个角是直角的平行四边形，是符合矩形的判定方法，故D选项不正确；

故选D．

点评：

此题主要考查学生对正方形的判定方法的理解及运用．

①△DFE是等腰直角三角形；

②四边形CDFE不可能为正方形，

③DE长度的最小值为4；

④四边形CDFE的面积保持不变；

⑤△CDE面积的最大值为8．

其中正确的结论是（　　）

A．

①②③

B．

①④⑤

C．

①③④

D．

③④⑤

考点：

专题：

压轴题；动点型．

分析：

解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；

判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形DE=

DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4

，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．

解答：

解：

连接CF；

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；

∵AD=CE，

∴△ADF≌△CEF（SAS）；

∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；

∵∠AFD+∠CFD=90°，

∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，

∴△EDF是等腰直角三角形（故①正确）．

当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）．

∵△ADF≌△CEF，

∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC，（故④正确）．

由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；

即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=

BC=4．

∴DE=

DF=4

（故③错误）．

当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．

此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8（故⑤正确）．

故选：

B．

点评：

此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用排除法等特有方法，使此题难度稍稍降低一些．

4．（2009•临夏州）如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

计算题；压轴题．

分析：

运用割补法把原四边形转化为正方形，求出BE的长．

解答：

解：

过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，

则有△BCF≌△BAE（AAS），

则BE=BF，S四边形ABCD=S正方形BEDF=8，

∴BE=

．

故选C．

点评：

本题运用割补法把原四边形转化为正方形，其面积保持不变，所求BE就是正方形的边长了；也可以看作将三角形ABE绕B点逆时针旋转90°后的图形．

5．（2008•扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）

A．

当AB=BC时，它是菱形

B．

当AC⊥BD时，它是菱形

C．

当∠ABC=90°时，它是矩形

D．

当AC=BD时，它是正方形

考点：

分析：

根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断A选项正确；根据所给条件可以证出邻边相等，可判断B选项正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断C选项正确；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出D选项错误．

解答：

解：

A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：

四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；

B、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO=OD，

∵AC⊥BD，

∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，

∴AB=AD，

∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；

C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；

D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；

故选：

D．

点评：

此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．

6．（2008•辽宁）下列命题中正确的是（　　）

A．

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

B．

两条对角线相等的四边形是矩形

C．

两条对角线互相垂直的四边形是菱形

D．

两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

考点：

专题：

压轴题．

分析：

根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，逐个进行验证，即可得出正确选项．

解答：

解：

A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．

B、两条对角线相等的四边形可能是梯形，不一定是矩形，错误．

C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，仅垂直不一定是菱形，错误．

D、两条对角线互相垂直且平分的四边形只能说是菱形，不一定是正方形，错误．

故选A．

点评：

本题是考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定．就每一个选项来说都是单一知识点，是比较基础的知识，而把四个选项置于一个试题之中，它涉及到四个知识点和四种图形的联系和区别，要求学生的思维必须缜密、全面．

7．（2007•上海）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）

A．

∠D=90°

B．

AB=CD

C．

AD=BC

D．

BC=CD

考点：

专题：

压轴题．

分析：

由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：

一组邻边相等，即可判定为正方形．

解答：

解：

由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，因此再添加条件：

一组邻边相等，即可判定为正方形，故选D．

点评：

本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：

①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等是菱形；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角，是矩形．

8．（2006•天津）下列判断中正确的是（　　）

A．

四边相等的四边形是正方形

B．

四角相等的四边形是正方形

C．

对角线互相垂直的平行四边形是正方形

D．

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

考点：

专题：

证明题．

分析：

根据正方形的判定：

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对各个选项进行分析．

解答：

解：

A错误，四边相等的四边形是菱形；

B错误，四角相等的四边形是矩形；

C错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

D正确，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

故选D．

点评：

此题主要考查正方形、矩形、菱形的判定．

9．（2006•十堰）如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（　　）

A．

22.5°角

B．

30°角

C．

45°角

D．

60°角

考点：

分析：

根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．

解答：

解：

一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．故选：

C．

点评：

本题通过折叠变换考查正方形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作，易得出答案．

10．（2006•龙岩）下列说法错误的是（　　）

A．

矩形的四个角都相等

B．

四条边都相等的四边形是菱形

C．

等腰梯形的对角线相等

D．

对角线互相垂直平分的四边形是正方形

考点：

分析：

根据各四边形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案．

解答：

解：

A正确，符合矩形的判定；

B正确，符合菱形的判定定理；

C正确，符合等腰梯形的判定；

D不正确，对角线相等且互相垂直平分的四边形才是正方形；

故选D．

点评：

正确理解记忆矩形，菱形，等腰梯形的性质，正方形的判定方法是解决本题的关键．

11．（2005•天津）在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（　　）

A．

AC=BD，AB∥CD，AB=CD

B．

AD∥BC，∠A=∠C

C．

AO=BO=CO=DO，AC⊥BD

D．

AO=CO，BO=DO，AB=BC

考点：

专题：

证明题．

分析：

根据正方形的判定：

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．

解答：

解：

A，不能，只能判定为矩形；

B，不能，只能判定为平行四边形；

C，能；

D，不能，只能判定为菱形．

故选C．

点评：

本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：

①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．

12．（2005•四川）下列说法中，错误的是（　　）

A．

菱形的四条边都相等

B．

对角线互相垂直的平行四边形是正方形

C．

四个角都相等的四边形是矩形

D．

等腰梯形的对角线相等

考点：

分析：

根据各四边形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案．

解答：

解：

A正确，符合菱形的性质；

B不正确，得到的应该是菱形；

C正确，符合矩形的判定；

D正确，符合等腰梯形的性质；

故选B．

点评：

此题主要考查对正方形、矩形、菱形、等腰梯形的性质及判定的理解．

13．（2005•佛

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