函数及其图象 单元教案doc.docx

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函数及其图象单元教案doc

第18章　　函数及其图象

18、1　变量与函数

第一课时变量与函数

教学目标

使学生会发现、提出函数的实例，并能分清实例中的常量和变量、自变量与函数，理解函数的定义，能应用方程思想列出实例中的等量关系。

教学过程

一、由下列问题导入新课

问题l、右图

（一）是某日的气温的变化图

看图回答：

1．这天的6时、10时和14时的气温分别是多少?

任意给出这天中的某一时刻，你能否说出这一时刻的气温是多少吗?

2．这一天中，最高气温是多少?

最低气温是多少?

3．这一天中，什么时段的气温在逐渐升高?

什么时段的气温在逐渐降低?

从图中我们可以看出，随着时间t（时）的变化，相应的气温T（℃）也随之变化。

问题2一辆汽车以30千米／时的速度行驶，行驶的路程为s千米，行驶的时间为t小时，那么，s与t具有什么关系呢?

问题3设圆柱的底面直径与高h相等，求圆柱体积V的底面半径R的关系．

问题4收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数：

波长l（m）

300

500

600

1000

1500

频率f（kHz）

1000

600

500

300

200

同学们是否会从表格中找出波长l与频率f的关系呢?

二、讲解新课

1．常量和变量

在上述两个问题中有几个量?

分别指出两个问题中的各个量?

第1个问题中，有两个变量，一个是时间，另一个是温度，温度随着时间的变化而变化．

第2个问题中有路程s，时间t和速度v，这三个量中s和t可以取不同的数值是变量，而速度30千米/时，是保持不变的量是常量．路程随着时间的变化而变化。

第3个问题中的体积V和R是变量，而　是常量，体积随着底面半径的变化而变化．

第4个问题中的l与频率f是变量．而它们的积等于300000，是常量．

常量：

在某一变化过程中始终保持不变的量，称为常量．

变量：

在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量．

2．函数的概念

上面的各个问题中，都出现了两个变量，它们相互依赖，密切相关，例如：

在上述的第1个问题中，一天内任意选择一个时刻，都有惟一的温度与之对应，t是自变量，T因变量（T是t的函数）．

在上述的2个问题中，s＝30t，给出变量t的一个值，就可以得到变量s惟一值与之对应，t是自变量，s因变量（s是t的函数）。

在上述的第3个问题中，V＝2πR2，给出变量R的一个值，就可以得到变量V惟一值与之对应，R是变量，V因变量（V是R的函数）．

在上述的第4个问题中，lf＝300000，即l＝

，给出一个f的值，就可以得到变量l惟一值与之对应，f是自变量，l因变量（l是f的函数）。

函数的概念：

如果在—个变化过程中；有两个变量，假设X与Y，对于X的每一个值，Y都有惟一的值与它对应，那么就说X是自变量，Y是因变量，此时也称Y是X的函数．

要引导学生在以下几个方面加对于函数概念的理解．

变化过程中有两个变量，不研究多个变量；对于X的每一个值，Y都有唯一的值与它对应，如果Y有两个值与它对应，那么Y就不是X的函数。

例如y2＝x

3．表示函数的方法

（1）解析法，如问题2、问题3、问题4中的s＝30t、V=2R3、l＝

，这些表达式称为函数的关系式，

（2）列表法，如问题4中的波长与频率关系表；

（3）图象法，如问题l中的气温与时间的曲线图．

三、例题讲解

例1．用总长60m的篱笆围成矩形场地，求矩形面积S（m2）与边l（m）之间的关系式，并指出式中的常量与变量，自变量与函数。

例2．下列关系式中，哪些式中的y是x的函数?

为什么?

（1）y＝3x＋2

（2）y2＝x（3）y＝3x2＋x＋5

四、课堂练习

课本第26页练习的第1、2，3题，

五、课堂小结

关于函数的定义的理解应注意两个方面，其一是变化过程中有且只有两个变量，其二是对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有惟一的值与它对应．对于实际问题，同学们应该能够根据题意写出两个变量的关系，即列出函数关系式。

六、作业

课本第28页习题17.1第1、2题。

第二课时变量与函数

教学目标

使学生进一步理解函数的定义，熟练地列出实际问题的函数关系式，理解自变量取值范围的含义，能求函数关系式中自变量的取值范围。

教学过程

一、复习

1．填写如右图

（一）所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?

如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向加数用y表示，试写出y关于x的函数关系式。

2．如图

（二），请写出等腰三角形的顶角y与底角x之间的函数关系式．

3．如图（三），等腰直角三角形ABC边长与正方形MNPQ的边长均为l0cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合。

试写出重叠部分面积y与长度x之间的函数关系式．

二、求函数自变量的取值范围

1．实际问题中的自变量取值范围

问题1：

在上面的联系中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗?

如果有．各是什么样的限制?

问题2：

某剧场共有30排座位，第l排有18个座位，后面每排比前一排多1个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，自变量的取值有什么限制。

从右边的分析可以看出，第n排的　排数座位数

座位　　　　　　　　　　　　　　l　　18

一方面可以用18＋（n－1）表　　　　　　2　　　18＋1

3　　　18＋2

示，另一方面可以用m表示，所以　　…　　　　…

m＝18＋（n－1）　　　　　　　　　　n18＋（n－1）

n的取值怎么限制呢?

显然这个n也应该取正整数，所以n取1≤n≤30的整数或0

请同学们试着写出上面第2、3两个问题中自变量的取值范围。

2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围

例1．求下列函数中自变量x的取值范围

（1）y=3x－l

（2）y＝2x2＋7（3）y=

（4）y=

分析：

用数学表示的函数，一般来说，自变量的取值范围是使式子有意义的值，对于上述的第

（1）

（2）两题，x取任意实数，这两个式子都有意义，而对于第（3）题，（x＋2）必须不等于0式子才有意义，对于第（4）题，（x－2）必须是非负数式子才有意义．

3．函数值

例2．在上面的练习（3）中，当MA＝1cm时，重叠部分的面积是多少?

请同学们求一求在例1中当x=5时各个函数的函数值．

三、课堂练习

课本第28页练习的第1、2、3题

四、小结

通过本节课的学习，一方面，我们进一步认识了如何列函数关系式，对于几何问题中列函数关系式比较困难，有的题目的自变量的取值范围也很难确定，只有通过一定量的练习才能做到熟练地解决这个问题；另一方面，对于用数学式子表示的函数关系式的自变量的取值范围，考虑两个方面，其一是分母不能等于0，其二是开偶次方的被开方数是非负数．

五、作业

课本第29页的第3、4、5、6题．

18、2　　函数的图象

1．平面直角坐标系

第一课时平面直角坐标系

教学目标

使学生了解直角坐标系的由来，能够正确画出直角坐标系，通过具体的事例说明在平面上的点应该用一对有序实数来表示，反过来，每一对有序实数都可以在坐标平面上描出一点。

教学过程

同学们是否想到你们坐的位置可以用数来表示呢?

如果从门口算起依次是第1列，第2列、……、第8列，从讲台往下数依次是第l行、第2行、……、第7行，那么×××同学的位置就能用一对有序实数来表示。

1．分别请一些同学说出自己的位置

例如，×××同学是第3排第5列，那么（3，5）就代表了这位同学的位置。

2．再请一些同学在黑板上描出自己的位置，例如右图中的黑点就是这些同学的位置．

3．显然，（3，5）和（5，3）所代表的位置不相同，所以同学们可以体会为什么一定要有序实数对才能确定点在平面上的位置。

问题：

请同学们想一想，在我们生活还有应用有序实数对确定位置的吗?

二、关于笛卡儿的故事

直角坐标系，通常称为笛卡儿直角坐标系，它是以法国哲学家，数学家和自然科学家笛卡儿的名字命名的。

介绍笛卡儿。

三、建立直角坐标系

为了用一对实数表示平面内地点，在平面内画两条互相垂直的数轴，组成平面直角坐标系，水平的轴叫做轴或横轴，取向右为正方向，铅直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向，两轴的交点是原点，这个平面叫做坐标平面．

在平面直角坐标系中，任意一点都可以用对有序实数来表示．如右图中的点P，从点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M和N．这时，点P在x轴对应的数2，称为点P的横坐标；点P在y轴上对应的数为3，称为P点的纵坐标．依次写出点P的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数（2，3），称为点P的坐标，这时点户可记作P（2，3）。

建立了平面直角坐标系后，两条坐标轴把平面分四个区域，分别称为第一、二、三、四象限，坐标轴不属于任何一个象限．

四、课堂练习

1．请同学们在直角坐标系中描出以下各点，并用线依次把这些点连起来，看看是什么图案．

（－4，5）、（－3，－1）、（－2，－2）、（0，－3）、（2，2）、（3，1）、（4，5）、（0，6）

2．写出右图直角坐标系中A、B、C、D、E、F、O各点的坐标．

3．课本第32页的第3、4题

五、小结

本节课我们认识了平面直角坐标系，通过上面的讲解和练习可以知道，平面上的点都可以用有序实数来表示，也必须用有序实数表示；反过来，任何一对有序实数都可以在坐标平面上描出一点，所以，在平面直角坐标系中的点和有序实数对是成一一对应的关系。

六、作业

习题第1、2、3题．

第二课时平面直角坐标系

教学目标

使学生进一步理解平面直角坐标系上的点与有序实数对是一一对应关系．掌握关于x轴y轴和原点对称的点的坐标的求法，明确点在x轴、y轴上坐标的特点，能运用这些知识解决问题，培养学生探索问题的能力．

教学过程

一、复习

在直角坐标系中分别描出以下各点：

1、A（3，2）、B（3，－2）、C（－3，2）、

D（－3，－2）．

2、分别写出点P、Q、R、S、M、N的坐标。

3、写出点E、F的坐标。

二、探索与思考

通过以上练习，鼓励同学们自己提出问题，进而得出结论。

若没有办法，可以通过以下思考题给予启发。

1．在四个象限内的点的横、纵坐标的符号是怎样的?

2．两条坐标轴上的点的坐标有什么特点?

3．若点在第一、三象限角平分线上或者在第二、四象限角平分线上，它的横、纵坐标有什么特点?

4．关于x轴、y轴原点对称的点的横纵坐标具有什么关系?

通过对照以上图形讲解，启发学生得到如下结论：

第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋）第三象限（－、－）第四象限（＋，－）；

x轴上的点的纵坐标等于0，反过来，纵坐标等于0的点都在x轴上，y轴上的点的横坐标等于0，反过来，横坐标等于0的点都在y轴上，

若点在第一、三象限角平分线上，它的横坐标等于纵坐标，若点在第二，四象限角平分线上，它的横坐标与纵坐标互为相反数；

若两个点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标都是互为相反数。

三、例题讲解

例1，如果A（1－a，b＋1）在第三象限，那么点B（a，b）在（）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

分析：

若要判断点在第几象限，关键是看横纵坐标的符号，从这题来看，就是要判断a、b的符号。

四、课堂练习

　1．求点A（2，－3）关于x轴对称y轴对称、原点对称的坐标；

　2．若A（a