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k第十一章正交设计与均匀设计

14中查到。

第^一章正交设计与均匀设计

（于培彦编）

在方差分析一章中，我们介绍了在单因素和双因素的各水平中“选优”的方法，但在科研、生产、管理中，经常遇到的因素更多，如何在多因素多水平中选择最佳水平组合？

正交设计和均匀设计就是解决这个问题的有力工具。

§11.1正交试验设计

设想一个3因素每因素3水平的求最优水平组合问题，总共有33=27个水平组合（处理），如果每个处理只重复2次，则需要进行54次试验，正交设计可以用较少的试验次数（小区数）找到

最优水平组合。

正交设计是利用正交表安排试验的一种设计方法，正交表用

个因素有3个水平的试验。

列号1、2、

3、4是因素的代号，列号下面的1、2、3是该因素的水平代号（如右表）。

当然，无论是因素代号还是水平代号，与实际因素和水平都应随机对应，正交表可以在附表

正交表有两个性质：

⑴每列中每个水平出现的次数相等，例如上表第2列中1、2、3各出现3次；⑵任意两列同一行的有序数对出现次数相等，例如上表第1、2列中（1，1）只出现一次,

其它有序数对也只出现一次，在表L18（37）第1、2列中（1，1）

出现两次，其它有序数对也只出现两次。

这两个性质称为均匀分散性和整齐可比性，均匀分散性使选

出的水平组合代表性强，整齐可比性则便于试验数据的统计分析。

1.不考虑交互作用的正交设计及分析

例1某厂用车床对车轴进行粗加工，为提高工效，对转速、走刀量和吃刀深度进行正交试验，各因素及其水平如下表：

水平\因素

A

B

C

转速（转/分）

走刀量（mm转）

吃刀深度（mm）

1

480

0.33

2.5

2

600

0.20

1.7

3

765

0.15

2.0

试验指标为工时，越短越好。

第一步：

选择合适的正交表。

本例每因素是三水平，在正交表中查m=3里的表，又因为本例是三因素，且不考虑交互作用，

故选用正交表L9（34）。

第二步：

表头设计。

将1、2、3、4列用抓阄的办法对应三个因素A、B、C,假定第一列是A因素，第二列是B因素，第三列是C因素，第四列空置。

然后将每一列中的1、2、3再用抓阄

的办法对应三个水平，假定就是上表中的1、2、3，即第一列中

的三个1都表示480转/分，三个2都表示600转/分，三个3都表示765转/分；第二列中的三个1都表示0.33mm/转，，。

第三步：

按表中试验号（横着看）所指示的水平组合进行试验，试验号1所指示的水平组合是1，1,1,即用转速480，走刀量0.33，吃刀深度2.5进行试验，试验结果是88秒，如此共进行9次试验，假定试验结果依次是88秒，145秒，194秒，70秒，117秒，155秒，57秒，93秒，123秒。

整个试验设计及结果如下表所示。

机械加工正交试验设计与结果

试验号

转速

走刀量

吃刀深度

空

工时

1

2

3

4

秒

1

1（480）

1（0.33）

1（2.5）

1

88

2

1（480）

2（0.20）

2（1.7）

2

145

3

1（480）

3（0.15）

3（2.0）

3

194

4

2（600）

1（0.33）

21.7）

3

70

5

2（600）

2（0.20）

3（2.0）

1

117

6

2（600）

3（0.15）

1（2.5）

2

155

7

3（785）

1（0.33）

3（2.0）

2

57

8

3（785）

2（0.20）

1（2.5）

3

93

9

3（785）

3（0.15）

21.7）

1

123

T1

427

215

336

328

丁2

342

355

338

357

T=1042

T3

273

472

368

357

X:

142.3

71.7

112

x

114

118.3

112.7

X=115.8

X3

91

157.3

122.7

极差D

51.3

85.6

10.7

按设计共进行9次试验，“工时”填在最后一拦。

表中的T1是1号水平的工时之和，例如转速的t=88+145+194=427,X1=

427/3=142.3，极差D1=142.3—91=51.3，其余类推。

结果分析：

⑴直观分析法。

由于d2d1d3，说明“走刀量”各水平引起的工时变化最大，“吃刀深度”最小，因此影响工时的最强烈的因素是“走刀量”，其次是“转速”，最后是“吃刀深度”，当然，这是相对而言的结论。

另一方面，转速的t3最小，

说明785的转速所用工时在三个转速里最小；走刀量的T1最小，

说明0.33的走刀量所用工时在三个走刀量里最小；吃刀深度的t

最小，说明2.5的吃刀深度所用工时在三个吃刀深度里最小，综合起来最优水平组合应当是785转速，0.33走刀量，2.5吃刀深度

是最佳水平组合。

注意，这个组合在表中9个试验组合中并未出现。

上述分析还可用一个折线图直观的表示出来。

⑵方差分析法

Ho：

转速之间无显著差异；走刀量之间无显著差异；吃刀深度之间无显著差异。

22

T1042

C120640.44

n9

2

SS总=11Xj—c=15405.56

i

1222

SS速=一（427-342-273）-c=3966.89

速3

1

SS吃刀深度二（33623382-3682）-C二214.22

SS误差=SS总-SS转速-SS走刀量-SS吃刀深度=186.89

误差总转速走刀量吃刀深度

f误差=8—2「2-2=2

3966.89/2

F转速=21.23

186.89/2

11037.56/2

F走刀量=59.06

186.89/2

214.22/2

F吃刀深度=1.15,Fo.o5（2,2）=19.°0

186.89/2

在0.05水平上，三个转速之间有显著差异，三个走刀量之间

也有显著差异，三个吃刀深度之间无显著差异。

用新复极差法（SSR法）作多重比较（对转速和走刀量），用标记

字母法表示比较结果。

标准误

Se/n=J86.89/3=5.58

秩次距

SSR05

SS跖

LS0?

05

LSR01

2

2.615

3.945

16.27

22.01

3

3.065

4.125

17.1

23.02

结论：

三个转速之间有极显著差异，三个走刀量之间有极显著差异，三个吃刀深度之间无显著差异，在最佳水平组合是785转速，0.33走刀量，吃刀深度可以是三个中的任一个。

在计算过程中F走刀量F速度F吃刀深度，所以影响工时的因素次序是走刀量、转速、吃刀深度。

如果我们将表中空列计算其离差平方和，得

1222

C=186.89

SS空=-（328+357+3572空3

它恰好等于剩余平方和SS误差，这不是巧合，而是正交设计的一个性质。

2.存在交互作用的正交设计

正交设计是解决多因子试验的一种方案，多因子试验的特点就是可能存在交互作用。

在存在交互作用的情况时，首先要把所有交互作用通过专业知识和经验筛选一遍，只保留可能有的交互作用。

例如A、B、C三因子试验，所有交互作用有AXB、AXC、BXC及AXBXC,一般高级交互作用AXBXC都不考虑，通过专业知识和经验假定只保留AXB,这时把主因子A、B、C和交互作用AXB共四个因子一起考虑来设计表头，设计表头时交互作用排在那一列必须根据正交表中的提示。

例2研究某种经济林在品种、密度、施肥量及施肥日期4个因素对年产量的影响，每一因素取两水平如下表所示。

因素

品种A

密度B

施肥量C

施肥日期D

水

1

甲

2X2

20kg/亩

5月15日

平

2

乙

2X2

30kg/亩

6月15日

根据经验已知交互作用AXB、AXC应考虑，其它交互作

用可不考虑。

4个主因子及两个交互作用共占6列，故正交表至

少要有6列，查正交表知l8（27）满足需要。

先把A、B安排在1、2列上，由l8

（2）的交互作用表知1、2列的交互作用在第3列，

所以把AXB排在第3列，将C排在第4列，查1、4列的交互作用在第5列，所以把AXC排在第5列，D可排在第6或第7列上，我们把它排在第7列上。

具此就可以实际操作了，试验指标为年产量（kg/年），结果如下表所示。

品种A

密度B

AXB

施肥量C

AXC

空

日期D

产量

1

1

1

1

1

1

1

1

790

2

1

1

1

2

2

2

2

956

3

1

2

2

1

1

2

2

900

4

1

2

2

2

2

1

1

899

5

2

1

2

1

2

1

2

860

6

2

1

2

2

1

2

2

780

7

2

2

1

1

2

2

1

838

8

2

2

1

2

1

1

2

750

T1

3545

3386

3334

3388

3220

3299

3307

T=6773

T2

3228

3387

3439

3385

3553

3474

3466

极差

317

1

105

3

333

175

159

从极差大小看，影响产量的因素主次顺序是AXC,A,D,

AXB,C,Bo在分析最佳水平组合时，由于AXC是第一要素，

所以要列出A与C的两向表（见下表），在A与C的两向表中，最高产量是A与c2产生的，所以最佳水平组合中有A与C2；在A与B两向表中，最高产量是人与b2产生的，所以最佳水平组合中应有B2;D因素的T2大，取C2,综合之，最佳水平组合是a1b2c2d2。

事实上由于空列的极差反映剩余因素的变异，而表中B,AXB,C,D的极差都小于空列极差，所以可以肯定它们都是不显著的，因为较小的密度和施肥量成本较低，所以在最佳水平组合中可取Bi和Ci而施肥日期D的水平取舍可按其它标准决定。

A与C勺两向表

A与B的两向表

A1

A2

A1

A2

C1

（790+900）/2=84

5860+838）/2=849

B1（790+956）/2=82

3860+780）/2=820

C2

（856+899）/2=92

8780+750）/2=765

B2（900+899）/2=90

0838+750）/2=794

进一步可作方差分析，结果如下表所示。

例2方差分析表

变异来源

ss

f

MS

F

AXC

13861.1

1

13861.1

10.86

A

12561.1

1

12561.1

9.84

D

3160.1

1

3160.1

0.25

AXB

1378.1

1

1378.1

1.08

C

1.125

B

0.125\=

3829.35

，f=3

空

3828.1J

总和

34789.875

7

67732

二13861.2

其中的

SSac二1（3220235532）

4

等等。

3.水平数不等的试验

当遇到各因素水平数不等的情况时，可选用水平数不等的正交表，例如L8（4124），这个表可以安排一个因素4水平，四个

因素2水平的试验。

如没有现成的表可用，则可采用“拟水平”法，所谓拟水平，是指将较少水平的因素增加一个水平，增加的水平是原有水平中的某一个，以达到所有因素水平数相等的目的。

§11.2均匀试验设计

在正交表中，试验次数n是水平数m的平方的整数倍，当m增加时，n将急剧增加，试验次数的增加，不但提高了试验成本，有时还使得试验无法进行。

对于m很大的试验，均匀设计是一种很好的试验设计方案。

同正交设计一样，均匀设计用“均匀设计

表”安排试验。

均匀设计表用Un（nk）和U：

（nk）表示，其中的n既

是水平数又是试验次数，k是最多可容纳的因素数，带“•”和不带“’”表示不同类型的均匀表，带“’”的表有更好的均匀性,

应优先选用。

每一个均匀设计表由设计表和使用表组成，例如

U7（74）和U；（74）的设计表，使用表如下：

在设计表中，第1列的1~7表示试验序号，第2行的1，2，3，4

表示因素代号，表内的1~7是水平代号。

在使用表中，D是均匀

偏差度，应选择较小的偏差度。

k下面的2,3,4是实际的参试

因素，如果有4个参试因素，只能用u7（74）表，把4个因素安排在4列，第1次试验按表中的（1，2，3，6）水平组合进行，第2次试验按表中的（2，4，6，5）进行，”。

如果有3个参

试因素，则应选择U7（74），因为它的D=0.2132较小，把3个参

试因素安排在U；（74）中的2，3，4列，第1次试验按（3，5，7）水平组合进行，第2次试验按（6，2,6）水平组合进行，”。

例3在啤酒生产的某项试验中，选择了如下的因素和水平。

因素水平

1

2

3

4

5

6

7

8

9

X1底水量（克;

136.5

137

137.5

138

138.5

139

139.5

i140

140.5

X2吸氨时间（分

）170

180

190

200

210

220

230

240

250

解：

选用U9（93）来安排（在附表16中），由它的使用表应选

1，3两列，试验结果Y是吸氨量（克）列于下表

啤酒生产均匀设计试验方案与结果

X1

X2

Y

（1）136.5

⑷200

5.8

（2）137.0

（8）240

6.3

（3）137.5

（3）190

4.9

（4）138.0

⑺230

5.4

（5）138.5

（2）160

4.0

（6）139.0

（6）220

4.5

（7）139.5

（1）170

3.0

（8）140.0

（5）210

3.6

（9）140.5

（9）250

4.1

均匀设计由于每个因素的水平都没有重复，所以不能用正交

设计中的极差分析和方差分析，需要使用回归分析，建立y与x1、

x2的线性回归方程，经Excel计算结果如下：

系数

标准误差

t检验

概率P直

下限95.0

%上限95.0%

）

常数

X1

X2

96.421

-0.691

0.019

5.48509'

0.03975

0.00177

M7.578'

-17.389

10.699'

218E-06

2.32E-06

393E-05

82.99912

，-0.78849!

0.014616

5109.84224'

-0.5939692

70.02328429

7

1

）5

方差分析

df

SS

MS

F

概率P值

回归

2

9.094478

4.54724

193.3937

3.564E-06

残差

6

0.141077

0.02351

总计

8

9.235556

结论：

⑴底水量x1对吸氨量y有极显著的负作用，底水量愈少，吸氨量愈高，底水量每减少1克，吸氨量约增加0.691克；⑵吸氨时间x2对吸氨量y有极显著的正作用，吸氨时间愈长，吸氨量愈高，吸氨时间每增加1分钟，吸氨量约增加0.019克；⑶

回归方程为：

？

=96.421-0.691x10.019x2，经方差分析，方程是极显著的，MSe=0.02351很小，可以用方程作预报。

⑷在前面的试验方案及结果表中可知吸氨量最高的是第2次试验，所以137

克的底水，240分钟的时间是比较好的水平组合。

如果回归方程不显著，说明y与x1，x2的关系不是线性，这

时应建立如下的多项式回归方程：

22

5?

=b0'b1x1'b2x2'bnx1'b22x2'b12x,x2

其中的X1X2是交互作用项，然后用逐步回归筛选出作用显著的项。

习题十

1.合成氨最佳工艺条件试验。

根据已积累的经验决定选取的因素与水平如下表所示：

水平因素

A

反应温度「C）

B

反应压力

C

催化剂

1

460

250

甲

2

490

270

乙

3

520

300

丙

假定各因素之间无交互作用，试验的目的是提高氨的产量，选择正交表

L9（34），表中列号1，2，3对应因素A，B，C；水平号对应上表里的1，2,

3九次试验的产量依次为1.72，1.82，1.80，1.92，1.83，1.98，1.59，1.60，

1.80。

试找岀最佳水平组合，并指岀影响产量的主要因素是什么。

2.考虑A、B、C、D四个因素，每个因素二水平及交互作用BXC,AXB，

BXD，试在正交表L8（27）上进行表头设计。

3.为了探讨高频电场处理种子后所产生的生物效应，设计了以下实验。

水平因素

时间A

品种B

场强C

频率D

1

40"

津丰1号

甲

14兆赫

2

80"

东方红3号

乙

16兆赫

3

120"

7323

丙

18兆赫

根据以往经验，B和A，C,D之间可能存在交互作用，其它各因素间的交互作用可不考虑。

采用L27（313）表安排试验，试进行表头设计。

4.为了通过试验寻找从某矿物中提取稀土元素的最优工艺方案，使稀

土元素提取率最高，选取的因素水平如下表：

水平因素

A

酸用量（ml）

B

水用量（ml）

C

反应时间（h）

D

添加剂

1

25

20

1

有

2

20

40

2

无

需要考虑交互作用AXB,AXC,B>C。

如果把A,B,C,D放在正交表L8（27）的

1,2,4,7列上，试验结果，提取量（ml）依次为：

1.10,1.33,1.13,1.06,

1.03,0.80,0.76,0.56。

用直观分析法和方差分析法分析试验结果。

1

SS走刀量=一（215123-3552-4722）-c=11037.56

3