k第十一章正交设计与均匀设计.docx

1、k第十一章正交设计与均匀设计14中查到。第一章正交设计与均匀设计（于培彦编）在方差分析一章中，我们介绍了在单因素和双因素的各水平 中“选优”的方法，但在科研、生产、管理中，经常遇到的因素 更多，如何在多因素多水平中选择最佳水平组合？正交设计和均 匀设计就是解决这个问题的有力工具。 11.1正交试验设计设想一个3因素每因素3水平的求最优水平组合问题，总共 有33 =27个水平组合（处理），如果每个处理只重复2次，则需要 进行54次试验，正交设计可以用较少的试验次数 （小区数）找到最优水平组合。正交设计是利用正交表安排试验的一种设计方法，正交表用个因素有3个水平的试验。列号 1、2、3、4是因素的

2、代号，列号下面的 1、2、 3是该因素的水平代号（如右表）。当然， 无论是因素代号还是水平代号，与实际 因素和水平都应随机对应，正交表可以在附表正交表有两个性质：每列中每个水平出现的次数相等，例 如上表第2列中1、2、3各出现3次；任意两列同一行的有序 数对出现次数相等，例如上表第 1、2列中（1，1）只出现一次,其它有序数对也只出现一次，在表 L18（37）第1、2列中（1，1）出现两次，其它有序数对也只出现两次。这两个性质称为均匀分散性和整齐可比性，均匀分散性使选出的水平组合代表性强，整齐可比性则便于试验数据的统计分析。1.不考虑交互作用的正交设计及分析例1某厂用车床对车轴进行粗加工，为提

3、高工效，对转速、 走刀量和吃刀深度进行正交试验，各因素及其水平如下表：水平因素ABC转速（转/分）走刀量（mm转）吃刀深度（mm）14800.332.526000.201.737650.152.0试验指标为工时，越短越好。第一步：选择合适的正交表。本例每因素是三水平，在正交 表中查m= 3里的表，又因为本例是三因素， 且不考虑交互作用，故选用正交表L9 （34）。第二步：表头设计。将 1、2、3、4列用抓阄的办法对应三个 因素A、B、C,假定第一列是 A因素，第二列是 B因素，第三 列是C因素，第四列空置。然后将每一列中的 1、2、3再用抓阄的办法对应三个水平，假定就是上表中的 1、2、3，即

4、第一列中的三个1都表示480转/分，三个2都表示600转/分，三个3都 表示765转/分；第二列中的三个 1都表示0.33mm/转，。第三步：按表中试验号（横着看）所指示的水平组合进行试验， 试验号1所指示的水平组合是 1，1 , 1,即用转速480，走刀量 0.33，吃刀深度2.5进行试验，试验结果是 88秒，如此共进行 9 次试验，假定试验结果依次是 88秒，145秒，194秒，70秒，117 秒，155秒，57秒，93秒，123秒。整个试验设计及结果如下表 所示。机械加工正交试验设计与结果试验号转速走刀量吃刀深度空工时1234秒11(480)1(0.33)1(2.5)18821(480)

5、2(0.20)2(1.7)214531(480)3(0.15)3(2.0)319442(600)1(0.33)21.7)37052(600)2(0.20)3(2.0)111762(600)3(0.15)1(2.5)215573(785)1(0.33)3(2.0)25783(785)2(0.20)1(2.5)39393(785)3(0.15)21.7)1123T1427215336328丁2342355338357T=1042T3273472368357X :142.371.7112x114118.3112.7X =115.8X391157.3122.7极差D51.385.610.7按设计共进行

6、9次试验，“工时”填在最后一拦。表中的T1是 1号水平的工时之和，例如转速的 t = 88+145+194 = 427, X1 =427/3= 142.3，极差 D1 =142.3 91 = 51.3，其余类推。结果分析：直观分析法。由于 d2 d1 d3，说明“走刀 量”各水平引起的工时变化最大， “吃刀深度”最小，因此影响工 时的最强烈的因素是“走刀量”，其次是“转速”，最后是“吃刀 深度”，当然，这是相对而言的结论。另一方面，转速的 t3最小，说明785的转速所用工时在三个转速里最小；走刀量的 T1最小，说明0.33的走刀量所用工时在三个走刀量里最小； 吃刀深度的t最小，说明2.5的吃刀

7、深度所用工时在三个吃刀深度里最小，综 合起来最优水平组合应当是 785转速，0.33走刀量，2.5吃刀深度是最佳水平组合。注意，这个组合在表中9个试验组合中并未出 现。上述分析还可用一个折线图直观的表示出来。方差分析法Ho：转速之间无显著差异；走刀量之间无显著差异；吃刀深 度之间无显著差异。2 2T 1042C 120640.44n 92SS总 =11 Xj c =15405.56i1 2 2 2SS速=一(427 - 342 - 273 ) -c =3966.89速31SS吃刀深度二（336 2 338 2 - 368 2） -C 二214.22SS误差=SS总-SS转速-SS走刀量-SS吃

8、刀深度=186.89误差 总 转速 走刀量 吃刀深度f误差=8 2 2 -2= 23966. 89/2F 转速= 21.23186. 89/211037. 56/2F走刀量= 59.06186. 89/2214.22 /2F吃刀深度= 1.15 , Fo.o5（2, 2） =19.0186.89 / 2在0.05水平上，三个转速之间有显著差异， 三个走刀量之间也有显著差异，三个吃刀深度之间无显著差异。用新复极差法（SSR法）作多重比较（对转速和走刀量），用标记字母法表示比较结果。标准误Se / n = J86.89 / 3 =5.58秩次距SSR05SS跖LS0?05LSR0122.6153.

9、94516.2722.0133.0654.12517.123.02结论：三个转速之间有极显著差异，三个走刀量之间有极显 著差异，三个吃刀深度之间无显著差异，在最佳水平组合是 785 转速，0.33走刀量，吃刀深度可以是三个中的任一个。在计算过 程中F走刀量F速度F吃刀深度，所以影响工时的因素次序是走刀量、 转速、吃刀深度。如果我们将表中空列计算其离差平方和，得12 2 2C =186.89SS空= -( 328 + 357 +357 2 空3它恰好等于剩余平方和 SS误差，这不是巧合，而是正交设计的一 个性质。2.存在交互作用的正交设计正交设计是解决多因子试验的一种方案，多因子试验的特点 就是

10、可能存在交互作用。在存在交互作用的情况时，首先要把所 有交互作用通过专业知识和经验筛选一遍，只保留可能有的交互 作用。例如A、B、C三因子试验，所有交互作用有 AXB、AX C、 BX C及A X B X C, 一般高级交互作用 A X B X C都不考虑，通过 专业知识和经验假定只保留 AX B,这时把主因子 A、B、C和交 互作用AX B共四个因子一起考虑来设计表头，设计表头时交互 作用排在那一列必须根据正交表中的提示。例2研究某种经济林在品种、 密度、施肥量及施肥日期4个 因素对年产量的影响，每一因素取两水平如下表所示。因素品种A密度B施肥量C施肥日期D水1甲2X220kg/亩5月15日

11、平2乙2X230kg/亩6月15日根据经验已知交互作用 A X B、A X C应考虑，其它交互作用可不考虑。4个主因子及两个交互作用共占6列，故正交表至少要有6列，查正交表知 l8(27)满足需要。先把 A、B安排在1、 2列上，由l8(2)的交互作用表知1、2列的交互作用在第3列，所以把A X B排在第3列，将 C排在第4列，查1、4列的交互 作用在第5列，所以把 A X C排在第5列，D可排在第6或第7 列上，我们把它排在第7列上。具此就可以实际操作了，试验指 标为年产量(kg /年)，结果如下表所示。品种A密度BAXB施肥量CAXC空日期D产量1111111179021112222956

12、312211229004122221189952121212860621221227807221122183882212112750T13545338633343388322032993307T=6773T23228338734393385355334743466极差31711053333175159从极差大小看，影响产量的因素主次顺序是 AX C , A, D,AX B , C, Bo在分析最佳水平组合时， 由于A X C是第一要素，所以要列出A与C的两向表(见下表)，在A与C的两向表中， 最高产量是A与c2产生的，所以最佳水平组合中有 A与C2 ；在A 与B两向表中，最高产量是 人与b2产

13、生的，所以最佳水平组合中 应有B2 ; D因素的T2大，取C2 ,综合之， 最佳水平组合是 a1b2c2d2。事实上由于空列的极差反映剩余因素的变异，而表中 B, AX B, C, D的极差都小于空列极差， 所以可以肯定它们都是 不显著的，因为较小的密度和施肥量成本较低，所以在最佳水平 组合中可取Bi和Ci而施肥日期D的水平取舍可按其它标准决定。A与C勺两向表A与B的两向表A1A2A1A2C1(790+900)/2=845860+838)/2=849B1 (790+956)/2=823860+780)/2=820C2(856+899)/2=928780+750)/2=765B2 (900+89

14、9)/2=900838+750)/2=794进一步可作方差分析，结果如下表所示。例2方差分析表变异来源ssfMSFAXC13861.1113861.110.86A12561.1112561.19.84D3160.113160.10.25AXB1378.111378.11.08C1.125B0.125 =3829.35，f = 3空3828.1 J总和34789.875767732二 13861.2其中的SSac 二1 (3220 2 3553 2)4等等。3.水平数不等的试验当遇到各因素水平数不等的情况时，可选用水平数不等的正 交表，例如L8 (41 24)，这个表可以安排一个因素4水平，四个

15、因素2水平的试验。如没有现成的表可用，则可采用“拟水平” 法，所谓拟水平，是指将较少水平的因素增加一个水平，增加的 水平是原有水平中的某一个， 以达到所有因素水平数相等的目的。 11.2均匀试验设计在正交表中，试验次数 n是水平数m的平方的整数倍，当m 增加时，n将急剧增加，试验次数的增加，不但提高了试验成本， 有时还使得试验无法进行。对于m很大的试验，均匀设计是一种 很好的试验设计方案。同正交设计一样，均匀设计用“均匀设计表”安排试验。均匀设计表用U n (nk)和U：(nk)表示，其中的n既是水平数又是试验次数，k是最多可容纳的因素数，带“ ”和不 带“”表示不同类型的均匀表，带“”的表有

16、更好的均匀性,应优先选用。每一个均匀设计表由设计表和使用表组成，例如U7(74)和U；(74)的设计表，使用表如下：在设计表中，第1列的17表示试验序号，第2行的1，2， 3，4表示因素代号，表内的 17是水平代号。在使用表中， D是均匀偏差度，应选择较小的偏差度。 k下面的2, 3, 4是实际的参试因素，如果有 4个参试因素，只能用 u7（74）表，把4个因素安 排在4列，第1次试验按表中的（1，2，3，6）水平组合进行， 第2次试验按表中的（2，4，6，5）进行，”。如果有 3个参试因素，则应选择U 7 （74），因为它的D = 0.2132较小，把3个参试因素安排在U；（74）中的2，3

17、，4列，第1次试验按（3，5，7） 水平组合进行，第 2次试验按（6，2, 6）水平组合进行，”。例3在啤酒生产的某项试验中，选择了如下的因素和水平。因素水平123456789X1底水量（克;136.5137137.5138138.5139139.5i 140140.5X2吸氨时间（分)170180190200210220230240250解：选用U 9（93）来安排（在附表16 中），由它的使用表应选1，3两列，试验结果 Y是吸氨量（克）列于下表啤酒生产均匀设计试验方案与结果X1X2Y(1)136.52005.8(2)137.0(8)2406.3(3)137.5(3)1904.9(4)138

18、.02305.4(5)138.5(2)1604.0(6)139.0(6)2204.5(7)139.5(1)1703.0(8)140.0(5)2103.6(9)140.5(9)2504.1均匀设计由于每个因素的水平都没有重复，所以不能用正交设计中的极差分析和方差分析， 需要使用回归分析，建立y与x1、x2的线性回归方程，经 Excel计算结果如下：系数标准误差t检验概率P直下限95.0%上限95.0%)常数X1X296.421-0.6910.0195.485090.039750.00177M7.578-17.38910.699218E-062.32E-06393E-0582.99912，-0.7

19、8849!0.0146165109.84224-0.593969270.0232842971)5方差分析dfSSMSF概率P值回归29.0944784.54724193.39373.564E-06残差60.1410770.02351总计89.235556结论：底水量x1对吸氨量y有极显著的负作用，底水量愈 少，吸氨量愈高，底水量每减少 1克，吸氨量约增加 0.691克； 吸氨时间x2对吸氨量y有极显著的正作用，吸氨时间愈长，吸 氨量愈高，吸氨时间每增加 1分钟，吸氨量约增加 0.019克；回归方程为：？ =96.421 -0.691 x1 0.019 x2，经方差分析，方程是 极显著的，MSe

20、 =0.02351很小，可以用方程作预报。在前面的 试验方案及结果表中可知吸氨量最高的是第 2次试验，所以137克的底水，240分钟的时间是比较好的水平组合。如果回归方程不显著，说明 y与x1，x2的关系不是线性，这时应建立如下的多项式回归方程：2 25? =b0 b1x1 b2 x2 bn x1 b22x2 b12 x,x2其中的X1X2是交互作用项，然后用逐步回归筛选出作用显著的项。习题十1.合成氨最佳工艺条件试验。根据已积累的经验决定选取的因素与水平 如下表所示：水平因素A反应温度C)B反应压力C催化剂1460250甲2490270乙3520300丙假定各因素之间无交互作用，试验的目的是

21、提高氨的产量，选择正交表L9(34)，表中列号1，2，3对应因素 A，B，C；水平号对应上表里的 1，2,3 九次试验的产量依次为 1.72，1.82，1.80，1.92，1.83，1.98，1.59，1.60，1.80。试找岀最佳水平组合，并指岀影响产量的主要因素是什么。2.考虑A、B、C、D四个因素，每个因素二水平及交互作用 BXC,AXB，BXD，试在正交表 L8 (2 7)上进行表头设计。3.为了探讨高频电场处理种子后所产生的生物效应 ，设计了以下实验。水平因素时间A品种B场强C频率D140津丰1号甲14兆赫280东方红3号乙16兆赫31207323丙18兆赫根据以往经验，B和A，C,

22、 D之间可能存在交互作用，其它各因素间 的交互作用可不考虑。采用 L27 (313)表安排试验，试进行表头设计。4.为了通过试验寻找从某矿物中提取稀土元素的最优工艺方案，使稀土元素提取率最高，选取的因素水平如下表：水平因素A酸用量(ml)B水用量(ml)C反应时间(h)D添加剂125201有220402无需要考虑交互作用 AXB, AXC, BC。如果把A, B,C,D放在正交表L8(27)的1,2,4,7 列上，试验结果，提取量 (ml)依次为：1.10 , 1.33 , 1.13 , 1.06 ,1.03, 0.80 , 0.76 , 0.56。用直观分析法和方差分析法分析试验结果。1SS走刀量=一(215 1 2 3 - 355 2 - 472 2) - c =11037.563