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期望与分布列高考试题精选

一．解答题（共20小题）

1．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的

（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

2．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未

出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜

的概率为，各局比赛结果相互独立．

（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．

3．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分

这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：

作物产量（kg）

300

500

概率

0.5

作物市

场价格

（元

/kg）

概率

0.4

0.6

（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．

5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．

6．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；第2页（共28页）

白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．

（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．

（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

7．某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元．销

（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350

公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；

（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值．

（i）求日需求量X的分布列；

（ii）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？

8．已知一个口袋中有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，4，5的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉．

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，求分布列．9．自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如表所示：

性别

年龄

性别

女性

合计

[18，25）

180

220

[25，35）

360

240

600

[35，50）

100

140

[50，80）

合计

600

400

1000

（1）采用分层抽样的方式从年龄在[25，35）内的人中抽取10人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？

（2）在

（1）中选出10人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为ξ，求ξ的分布列．

10．某中超足球队的后卫线上一共有7名球员，其中3人只能打中后卫，2人只能打边后卫，2人既能打中后卫又能打边后卫，主教练决定选派4名后卫上场比赛，假设可以随机选派球员．

（1）在选派的4人中至少有2人能打边后卫的概率；

（2）在选派的4人中既能打中后卫又能打边后卫的人数ξ的分布列与期望．11．由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名

候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：

组

别

候车时间（单位：

min）

人

数

一

[0，5）

二

[5，10）

三

[10，15）

四

[15，20）

Ⅰ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；Ⅱ）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（Ⅲ）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．

12．数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如表所示：

中学

甲

乙

丙

丁

人数

为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．

（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？

（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；

（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X表示抽得甲中学的学生人数，求X的分布列．

13．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．

（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？

（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．14．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响．现由甲先投．

（1）求甲获胜的概率；

（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望．15．某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从T1、T2两组试题中选择一组参

加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两

人选择使用试题T1，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题T2，并约定：

两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．（I）求丙、丁未签约的概率；

（II）记签约人数为X，求X的分布列和数学期望EX．16．在公园游园活动中有这样一个游戏项目：

甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）

（1）在一次游戏中：

①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概率；

（2）在两次游戏中，记获奖次数为X：

①求X的分布列；②求X的数学期望．17．一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球．规定：

进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”

（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率；

（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．18．袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球．

（1）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；

（2）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分．求得分ξ的分布列和数学期望．

19．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．

（1）分别求甲队以3：

0，3：

1，3：

2胜利的概率；

（2）若比赛结果为3：

0或3：

1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：

2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列．

20．医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H和V．现有..三种不同配方的药剂，根据分析，A，B，C三种药剂能控制H指标的概率分别为0.5，0.6，0.75，能控制V指标的概率分别是0.6，0.5，0.4，第6页（共28页）

能否控制H指标与能否控制V指标之间相互没有影响．

（Ⅰ）求A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率；（Ⅱ）某种药剂能使两项指标H和V都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X的分布列．

期望与分布列高考试题精选

参考答案与试题解析

．解答题（共20小题）

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的

概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的

同时购买的易损零件数．

（Ⅰ）求X的分布列；

在n=19与n=20之中选其

Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，

，应选用哪个？

X=16）

解答】解：

（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，=（）2

=（）

P（X=21）

==，

P（X=22）

=，

∴X的分布列为：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）

==．

P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）

=+=．

∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．

（Ⅲ）解法一：

由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．

买19个所需费用期望：

EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500

×3）×=4040，

买20个所需费用期望：

EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，

∵EX1

∴买19个更合适．

解法二：

购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，

另一部分为备件不足时额外购买的费用，

当n=19时，费用的期望为：

19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，

当n=20时，费用的期望为：

20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，

∴买19个更合适．

2．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未

出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．

（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．

【解答】解：

用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，Ak表示第k

局甲获胜，Bk表示第k局乙获胜，则P（Ak）=，P（Bk）=，k=1，2，3，4，5

Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（）2+×（）2+×

（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．

P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=，

P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）=，

P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=，

P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）==，

=，

或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，

故分布列为：

E（X）=2×+3×+4×+5×=．

（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．

【解答】解：

（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”

B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，

因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，P（A2）=0.003×50=0.15，

P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，

（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：

，

随机变量X的分布列为

0.064

0.288

0.432

0.216

因为X～B（3，0.6），

所以期望E（X）=3×0.6=1.8，

方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72．

4．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：

作物产量（kg）

300

500

概率

0.5

作物市场价格

（元

/kg）

概率

0.4

0.6

【解答】解：

（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，

则P（A）=0.5，P（B）=0.4，

∵利润=产量×市场价格﹣成本，

∴X的所有值为：

500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，

则P（X=4000）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，

P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，

则X的分布列为：

4000

2000

800

0.3

0.5

0.2

（Ⅱ）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，

由（Ⅰ）知，P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），

3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，

3季的利润有2季不少于2000的概率为P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，

综上：

这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：

0.512+0.384=0.896．

5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

【解答】解：

（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”

则=张同学至少取到的全为甲类题

∴P（A）=1﹣P（）=1﹣=

II）X的所有可能取值为0，1，2，3（X=0）==

X的分布列为

EX=6．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何第13页（共28页）

一张卡片的可能性相同）．

（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．

（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

解答】解：

（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则

P（A）=

所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为

II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4

P（X=1）

P（X=2）

P（X=3）

P（X=4）

X的分布列为

EX==

7．某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元．根据以往的销售情况，按[50，150），[150，250），[250，350），[350，450），[450，550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350

公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；

（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值．

（i）求日需求量X的分布列；

（ii）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？

【解答】解：

（1）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为（0.0025+0.0015）×100=0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P=0.4×0.4×（1﹣0.4）+（1﹣0.4）×0.4×0.4=0.192．⋯（3分）

（2）（ⅰ）X可取100，200，300，400，500，

P（X=100）=0.0010×10=0.1；P（X=200）=0.0020×10=0.2；P（X=300）=0.0030×10=0.3；P（X=400）=0.0025×10=0.25；P（X=500）=0.0015×10=0.15；

所以X的分布列为：

100

200

300

400

500

0.1

0.2

0.3

0.25

0.15

⋯（6分）

（ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y1可取﹣100，700，1500，此时Y1的分布列为：

﹣

700

1500

100

P0.10.20.7

此时利润的期望值E（Y1）=﹣100×0.1+700×0.2+1500×0.7=1180；⋯（8分）当每日进货400公斤时，利润Y2可取﹣400，400，1200，2000，此时Y2的分布列为：

﹣

400

1200

2000

400

0.1

0.2

0.3

0.4

此时利润的期望值E（Y2）=﹣400×0.1+400×0.2+1200×0.3+2000×0.4=1200；⋯（10分）

因为E（Y1）＜E（Y2），所以该经销商应该选择每日进货400公斤．⋯（12分）

1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，求分布列．

解答】

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