最新人教版八年级数学下册第十七章勾股定理导学案全章.docx

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最新人教版八年级数学下册第十七章勾股定理导学案全章

第十七章勾股定理

第一课时17.1勾股定理

（1）

学习目标：

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

学习重点：

勾股定理的内容及证明。

学习难点：

勾股定理的证明。

学习过程：

一、自主学习

画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

（勾3，股4，弦5）。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：

“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42_____52，52+122_____132，那么就有_____2+_____2=_____2。

（用勾、股、弦填空）

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

勾股定理内容

文字表述：

几何表述：

二、交流展示

例1、已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为

a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：

4S△+S小正=S大正

即4×

×＋﹝﹞2＝c2,化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=_____________

右边S=_____________

左边和右边面积相等，即

_________________________

化简可得

_______________________

三、合作探究

1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

⑴c=。

（已知a、b，求c）

⑵a=。

（已知b、c，求a）

⑶b=。

（已知a、c，求b）

2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

3、4、5

32+42=52

5、12、13

52+122=132

7、24、25

72+242=252

9、40、41

92+402=412

……

……

19，b、c

192+b2=c2

3．△ABC的三边a、b、c，

（1）若满足b2=a2＋c2，则=90°；

（2）若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；

（3）若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角。

四、达标测试

1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）

2．斜边长为25B．三角形的周长为25C．斜边长为5D．三角形面积为20

3．一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为（）

A．4B．8C．10D．12

4．直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（）

A．6B．8C．

D．

5、已知，如图1-1-5，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求CFCE

第二课时17.1勾股定理

（2）

教学目标：

1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。

重难点：

1．重点：

勾股定理的简单计算。

2．难点：

勾股定理的灵活运用。

一、自主学习

1．勾股定理的具体内容是：

。

2．如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线与斜边的关系：

；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边的关系：

；

⑷三边之间的关系：

。

二、交流展示

例1、在Rt△ABC，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2,求b。

⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷已知a：

b=1：

2,c=5,求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

分析：

刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

⑴已知_________边，求________边,直接用_______定理。

⑵⑶已知_____边和_______边，求__________边，用勾股定理的变形式。

⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。

通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

分析：

已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。

让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

三、合作探究

例3、已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高.⑵求S△ABC。

分析：

勾股定理的使用范围是在_________三角形中，因此注意要

创造_______三角形，作____是常用的创造______三角形的辅助线做法。

欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中。

四、达标测试

1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

2．已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

3．已知：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，

AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

第三课时17.1勾股定理（3）

学习目标：

1．会用勾股定理解决简单的实际问题。

2．树立数形结合的思想。

重点：

勾股定理的应用。

难点：

实际问题向数学问题的转化。

学习过程：

一、自主学习

填空:

在Rt△ABC，∠C=90°，

⑴如果a=7，c=25，则b=。

⑵如果∠A=30°，a=4，则b=。

⑶如果∠A=45°，a=3，则c=。

⑷如果c=10，a-b=2，则b=。

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=。

⑹如果b=8，a：

c=3：

5，则c=。

二、交流展示

例1（教材P25页例1）

分析：

⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。

⑵探讨图中有几个直角三角形？

图中标字母的线段哪条最长？

⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？

⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。

⑸小结深化数学建模思想，激发兴趣。

三、合作探究

例2（教材P25页例2）

如图，一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？

（计算结果保留两位小数）

分析：

要求出梯子的底端B是否也外移0.5米，实际就是求BD的长，而BD=OD-OB

四、达标测试

1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4

米，则这两株树之间的垂直距离是

米，水平距离是米。

3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。

2题图3题图4题图5题图

4．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为。

5．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米。

6．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。

7．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

8．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。

（精确到1米）

第四课时17.1勾股定理（4）

教学目标1．会用勾股定理解决较综合的问题。

2．树立数形结合的思想。

重难点1．重点：

勾股定理的综合应用。

2．难点：

勾股定理的综合应用。

一、自主学习

如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

例4（教材P26页探究）

分析：

利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。

（变式训练：

在数轴上画出表示

的点。

）

二、交流展示

例1：

已知：

在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，

CD=

，求线段AB的长。

分析：

本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”需要掌握的知识点有：

3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

三、合作探究

1、探究：

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示

的点吗？

分析：

（1）若能画出长为

的线段，就能在数轴上画出表示

的点.

（2）由勾股定理知，直角边为1的等腰Rt△，斜边为

．因此在数轴上能表示

的点．那么长为

的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？

在数轴上画出表示

的点？

（尺规作图）

2、如图：

螺旋状图形是由若干个直角

三角形所组成的，其中①是直角边长为1的

等腰直角三角形。

那么OA1＝,OA2＝,OA3＝,OA4＝,

OA5＝,OA6＝,OA7＝,…,OA14＝,…,OAn＝.

四、达标测试

1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC=，S△ABC=。

2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=

cm，则∠A=度，∠B=度,∠C=度，BC=，S△ABC=。

3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=

，CD⊥AB于D，则AC=，CD=，BD=，AD=,S△ABC=。

4．已知：

如图，在△ABC中，AD

BC于D，AB=6，AC=4，BC=8，求BD，DC的长.

5、已知：

如图，四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°,∠B=∠D=90°