高中的常见函数图像及基本性质.docx
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高中的常见函数图像及基本性质
标准实用
常见函数性质汇总及简单评议对称变换
常数函数
f（x）=b
（b∈R）
y
b
1）、y=a
和x=a
的图像和走势
2）、图象及其性质：
函数
f（x）的图象是平行于
x轴或与x轴重合（垂直于
y轴）的直线
O
一次函数
f
（
x
）=
kx
b
k≠
0,
b∈
R）
+（
1）、两种常用的一次函数形式
:
斜截式——
y
点斜式——
f（x）=kx+b
2）、对斜截式而言，
k、b的正负在直角坐标系中对应的图像走势：
3）、|k|越大，图象越陡；
|k|
越小，图象越平缓
Ox
4）、定义域：
R
值域：
R
单调性：
当
0时
；当
k<
0时
k>
奇偶性：
当b=0时，函数f（x）为奇函数；当
b≠0时，函数f（x）没有奇偶性；
反函数：
有反函数（特殊情况下：
K=±1并且b=0的时候）。
补充：
反函数定义：
例题：
定义在r上的函数y=f（x）;y=g（x）都有反函数，且
f（x-1）和g-1（x）函数的图像关于
R
g（5）=2016，求f（4）=
周期性：
无
5）、一次函数与其它函数之间的练习
1、常用解题方法：
2）点关于直线（点）对称，求点的坐标
2、与曲线函数的联合运用
f（x）=b
x
y=x对称，若
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标准实用
反比例函数
f
（
x
）=
k
（
k≠，
值不相等永不相交；
k
越大，离坐标轴越远
）
x
0k
k>0时，函数f（x）的图象分别在第一、第三
图象及其性质：
永不相交，渐趋平行；当
象限；当k<0
时，函数f（x）的图象分别在第二、第四象限；
y
f（x）=
双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线；
ax
b
既是中心对成图形也是轴对称图形
cx
d
定义域：
（,0）（0,）
值
域：
（,0）（0,）
x
O
单调性：
当k>0时；当k<0时
周期性：
无
奇偶性：
奇函数
反函数：
原函数本身
补充：
1、反比例函数的性质
2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，
利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此）
3、反函数变形（如右图）
1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较
2）、y=1/（-x）和y=-（1/x）图像移动比较
3）、f（x）=axb（c≠0且d≠0）（补充一下分离常数）
cxd
（对比标准反比例函数，总结各项内容）
二次函数
（
）
2
（
y
f（x）=ax2
bxc
一般式：
f
x
ax
bxca
顶点式：
f（
x）
a（x
k）2
h（a
0）
两根式：
f（
x）
a（x
x1）（x
x2）（a0）
图象及其性质：
①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为
②当
a
0时，开口向上，有最低点
当a
0时。
。
。
。
。
O
x
③当
=
>0
时，函数图象与
x轴有两个交点
（
）；当<0时，函数图象与x轴有一个交点（
）；当=0时，函数图象与x轴没有交点。
④
（）
2
（
0）
关系
（）
2
（
0）
f
x
ax
bxca
fx
axa
定义域：
R
值
域：
当a
0时，值域为（
）；当a
0时，值域为（
）
单调性：
当a
0时；当a
0时.
奇偶性：
b=/≠0
反函数：
定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数
周期性：
无
补充：
1、a的正/负；大/小与和函数图象的大致走向（所以，a决定二次函数的）
2、
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标准实用
3、二次函数的对称问题：
关于x轴对称；关于y轴对称；关于原点对称；关于（m，n）对称
4、二次函数常见入题考法：
⑴交点（交点之间的距离）⑵值域、最值、极值、单调性⑶数形结合判断图形走
势（选择题）
指数函数
f（x）ax（a
0,a1）
，系数只能为1。
图象及其性质：
f（x）=ax（0
1、恒过（0,1），无限靠近x轴；
2、f（x）
ax与f（x）
（1）x
ax关于y轴对称；但均不
a
具有奇偶性。
3、在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”——靠近关系
定义域：
R值域：
（0,）
单调性：
当a0时；当a0时。
奇偶性：
无
反函数：
对数函数f（x）logax（a0,a1）周期性：
无
补充：
1、
2、图形变换
Log
1/x
-x
ln（x-1）和lnx-1
2
和Log2
对数函数（和指数函数互为反函数）
f（x）logax（a0,a1）
图象及其性质：
①恒过（1,0），无限靠近y轴；
②f（x）logax与f（x）log1xlogax关于x轴对称；
a
③x＞1时“底大图低”；0＜x＜1时“底大图高”（理解记忆）
定义域：
R
值
域：
（0,
）
单调性：
当a
0时；当a
0时；
奇偶性：
无
反函数：
指数函数
f（x）
ax（a
0,a
1）
周期性：
无
补充：
1、
a1）yf（x）=ax（a1）
Ox
y
f（x）=logax（a1）
Ox
f（x）=logax（0a1）
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双钩函数
f（x）
x
1
）
（变形式
x
图象及其性质：
①两条渐近线：
②最值计算：
定
义域：
值
域：
单
调性：
奇偶性：
奇函数
反函
数：
定义域内无反函数
周期性：
无
注意:
双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多，需特别注意最值得算法
幂函数（考察时，一般不会太难）
无论n取任何实数，幂函数图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。
不需要背记，只要能够快速画出n=±1，±1/2，±3,，1/3，0,的图象就行
注意：
掌握y=x3的图像；
掌握y=ax3+bx2+cx+d的图像（当a>0,当a<0时）；
补充：
利用数形结合，判断非常规方程的根的取值范围。
例：
P393，例题10
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函数yf（x）图象变换
一．平移变换
y=f（x）+b
向上平移b个单位
二．对称变换
向左平移a个单位
向右a平移个单位
y=f（x-a）
y=f（x+a）
y=f（x）
①y＝f（－x）与y＝f（x）关于y轴对称；
②y＝－f（x）与y＝f（x）关于x轴对称；
③y＝－f（－x）与y＝f（x）关于原点对称；
④y＝f－1（x）与y＝f（x）关于直线y＝x对称；
⑤y＝|f（x）|的图象可将y＝f（x）的图象在x轴下方的部分以余部分不变．
向下平移b个单位
y=f（x）-b
x轴为对称轴翻折到x轴上方，其
⑥y＝f（|x|）的图象：
可将y＝f（x），x≥0的部分作出，再利用偶函数关于y轴的对称性．
三、伸缩变换
①y＝Af（x）（A＞0）的图象，可将y＝f（x）图象上每一点的纵坐标伸（A＞1）缩（0＜A＜1）到原来的A倍，横坐标不变而得到．
②y＝f（ax）（a＞0）的图象，可将y＝f（x）的图象上每一点的横坐标伸（0＜a＜1）缩（a＞1）到
原来的1，纵坐标不变而得到．
a
四、函数及图象（大致图象）
典型例题精讲
例1：
已知y＝f（x）的图象如图2—7所示，则下列式子中能作为f（x）的解析式是（A）
．
2
2|
|1
2
－
x
＋
．
2
．
2
2
1
x
x
B
．x
2|
1C
x－
1|D
x
x
A
|
|
解析：
当f
（x）＝
x2
2|x|
1
时，f（x）
（|x|
1）2
||x|
1|
x
1
（x
1）
1
x
（0
x
1）
1
x
（
1
x0）
（x1）
（x
1）
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其图象恰好是上图．
例2：
画出函数y＝lg|x＋1|的图象．
解析：
y＝lg|
x＋1|
lg（x
1）
（x
1）
．
lg（x
1）
（x
1）
例3：
要将函数y＝2
x的图象通过平移变换得到
y＝1
的图象，需经过怎样的变换？
x
1
x
解析：
y＝1
1
1
个单位，再沿y轴方向向上平移
1
个单位，即可得
－，先沿x轴方向向左平移
x1
到y＝1的图象．x
例4：
方程kx＝1（x2）2有两个不相等的实根，求实数k的取值范围．
解析：
设y1＝kx①
y2＝1（x2）2②
方程①表示过原点的直线，方程②表示半圆，其圆心（2，0），半径为1，如图2—9．易知当OA与半
圆相切时，kOA3，故当0≤k＜3时，直线与半圆有两个交点，即0≤k＜3时，原方程有两
333
个不相等的实根．
例5：
作函数f（x）＝x＋1的图象．x
分析：
f（x）＝x＋1不能由已知函数图象变换得到，故需对函数f（x）的性质进行研究．
x
解析：
函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），
∵f（－x）＝－f（x），
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∴
f（x）是（－∞，
）∪（，＋∞）上的奇函数，
0
0
又
|
f（x）
|＝|
x＋1
|
＝
x
＋
1≥，当且仅当
|
x
＝
1
时等号成立，
x
|
|
2
|
|x|
∴当x>0时y≥2；当x<0时，y≤－2；
当x∈（0，1）时函数为减函数，且急剧递减；
当x∈［1，＋∞）时函数为增函数，且缓慢递增，又x≠0，y≠0，
∴图象与坐标轴无交点，且y轴是渐近线，作出第一象限的函数的图象，
再利用对称性可得函数在定义域上的图象，如图
2—10所示．
评述：
（1）熟悉各种基本函数图的“原型”是函数作图的一项基本功；先研究函数的性质，再利用性质作图则能减少作图的盲目性，提高图象的准确性．
（2）与图象有关的“辅助线”要用虚线作，以起到定形、定性、定位、定量的作用．
例6：
f（x）是定义在区间［－c，c］上的奇函数，其图象如图所示．
令g（x）＝af（x）＋b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（B）
A．若a<0，则函数g（x）的图象关于原点对称
B．若a＝－1，－2C．若a≠0，b＝2，则方程g（x）＝0有两个实根
D．若a≥1，b<2，则方程g（x）＝0有三个实根
解析：
将
f（
x）图象上每点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，再将所得图象向上（
>0
b）
或向下（b）平移
b
个单位，得g（x）＝af（x）＋b的图象．
<0
|
|
例
6：
（全国Ⅱ）把函数y＝ex的图象按向量a＝（2，3）平移，得到
y＝f（x）的图象，则
f（x）＝
（
C）
（A）ex－3＋2
（B）e
x＋3－2（C）ex－2＋3（D）e
x＋2－3
例7：
菏泽模拟）如图为函数y＝m＋log
nx
mn
为常数，
则下列结
（
的图象，其中，
论正确的是
（
D
）
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（A）m<0，n>1（B）m>O，n>l（C）m>O，0例8：
（安庆模拟）函数y＝e－｜x－1｜的图象大致是（D）
例9：
在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为
x＝，y＝，x＋y＝
，
0023
30
则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（B）
A．95
B．91
C．88
D．75
解析：
画出图象，补形做出长方形
AOBC，共有整点数
×
＝
，而六点（，
），（，），
11
16
176
0
1038
（6，6），（9，4），（12，2），（15，0）在长方形的对角线上，所以符合题意的点数为（176＋6）×12
＝91．
例10：
将函数y＝log1
2
x的图象沿x轴方向向右平移一个单位，得到图象C，图象C1与C关于原
点对称，图象C2与C1关于直线y＝x对称，那么C2对应的函数解析式是_____．
解析：
:
log1
1
log1
（－x
1
:
y＝
log
1
的反函数得y
Cy＝
（x－）；由－y＝
－）得C1
2（－x－）；求C1
2
2
＝－1－2x．
例11：
若函数y＝｜－x2＋4x－3｜的图象C与直线y＝kx相交于点M（2，1），那么曲线C与该
直线有个交点．
解析：
（数形结合法）作y＝｜－x2＋4x－3｜的图象，知其顶点在M（2，1）．过原点与点M（2，1）作直线y＝kx，如图．
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∴曲线C与直线y＝kx有四个交点．
例12：
作函数y＝
（1）|x－1|的图象．
2
解析:
2（x1）
（x
1）,
（1）y＝
（x
故它在区间［1，＋∞）上的图象，
y＝
2x1
1）.
可由
－x
（x≥）的图象沿
x轴方向向右平移
1
个单位得到
2
0
在区间（－∞，1）上的图象，可由y＝2x（x<0）的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到．
例13：
已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（a＋x）＝f（a－x），求证y＝f（x）的图象关于直线
x＝a对称．
证明:
设p（x0，y0）是y＝f（x）图象上的任一点，则有
y0＝f（x0），
设点P关于直线x＝a的对称点为p′（x′，y′），则有
x
2ax0，
y
y0
x0
2ax
由y0＝f（x0）
即
y
y0
y
f（2a
x）
f[a（ax）]
又f（ax）
f（a
y′＝f［a－（a－x′）］＝f（x′）．
x）
即点p′（x′，y′）也在y＝f（x）的图象上．
∴y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．
例14：
2x
1
的图象，并利用此图象判定方程
2x1
＝x＋a有两个不同的实数解
画出函数y＝
时，实数a所满足的条件．
解析：
2
1
在y≥
0
2
1
2
x
图象是抛物线
y2＝x＋
上的部分．把y＝x＋a代入y2＝
x＋，得（x＋a）
2＝
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＋，即x
2＋（a－）x＋a2－＝，由＝
0
得a＝，
1
2
1
1
0
1
此时直线与抛物线相切．又因抛物线顶点是（－
1，0），
2
可知当直线过点（－1，0）时，即a＝1时直线与抛物线有两交点，
22
故当1≤a＜1时直线与此抛物线有两个交点，即原方程有两不同实数解．
2
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