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一元一次方程实际问题有详解

一元一次方程

一．选择题（共2小题）

1．（2003•桂林）某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法：

（1）一次购买金额不超过1万元的不予优惠；

（2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元的九折优惠；

（3）一次购买金额超过3万元，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠．某厂因库存原因，第一次在该供应商处购买原料付款7800元，第二次购买付款26100元．

如果他是一次性购买同样的原料，可少付款（　　）

A．

1170元

B．

1540元

C．

1460元

D．

2000元

　2．（2006•武汉）越来越多的商品房空置是目前比较突出的问题，据国家有关部门统计：

2006年第一季度全国商品房空置面积为1.23亿m2，比2005年第一季度增长23.8%，下列说法：

①2005年第一季度全国商品房空置面积为

亿m2；

②2005年第一季度全国商品房空置面积为

亿m2；

③若按相同增长率计算，2007年第一季度全国商品房空置面积将达到1.23×（1+23.8%）亿m2；

④如果2007年第一季度全国商品房空置面积比2006年第一季度减少23.8%，那么2007年第一季度全国商品空置面积与2005年第一季度相同．

其中正确的是（　　）

A．

①，④

B．

②，④

C．

②，③

D．

①，③

　二．填空题（共1小题）

3．盒子里有若干个相同的小球，甲取走一半后，乙又取走剩余的

，丙再取走5个，这时，还剩下3个，则盒子里原有　_________　个小球．

三．解答题（共26小题）

4．（2013•宜昌）[背景资料]

一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机，采摘效率高，能耗低，绿色环保，经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，购买一台采棉机需900元，雇人采摘棉花，按每采摘1公斤棉花a元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作8小时．

[问题解决]

（1）一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？

（2）一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求a的值；

（3）在

（2）的前提下，种植棉花的专业户张家和王家均雇人采摘棉花，王家雇佣的人数是张家的2倍，张家雇人手工采摘，王家所雇的人中有

的人自带采棉机采摘，

的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，张家付给雇工工钱总额为14400元，王家这次采摘棉花的总重量是多少？

　5．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：

甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．

　6．为节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：

一级20立方米及以下，二级21～30立方米（含30立方米），三级31立方米及以上，以下是王聪家水费发票的部分信息：

浙江省××市自来水总公司水费专用

发票联

计费日期：

2011﹣07﹣01至2011﹣08﹣01付款期限：

上期抄见数

本期抄见数

加原表用水量（吨）

本期用水量（吨）

889

924

自来水费（含水资源费）

污水处理费

用水量（吨）

单价元（/吨）

金额（元）

用水量（吨）

单价元（/吨）

金额（元）

阶梯一20

1.30

26.00

0.50

10.00

阶梯二10

19.00

0.50

5.00

阶梯三5

15.00

0.50

2.50

本期实付金额（大写）

柒拾柒元伍角整77.50（元）

（注：

居民生活用水水价=居民生活自来水费+居民生活污水处理费）

（1）从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）是：

每月用水20吨及以内为　_________　元/吨，每月用水21～30吨（含30吨）为　_________　元/吨，31立方米及以上为　_________　元/吨．2.9

（2）随着气温的降低，王聪家的用水量也在逐步下降，已知2012年2月份王聪家所缴的水费为55.20元，请你计算王聪家该月份的用水量为多少吨．

（3）2012年4月1日起，该市水价在现有的基础上上调了10%，为了节省开支，王聪家决定把每月水费控制在家庭月收入的1.5%以内，若王聪家的月收入为5428元，则王聪家每月的用水量最多只能用多少立方米（精确到1立方米）．

　7．（2012•长沙）以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个．

（1）求湖南省签订的境外，省外境内的投资合作项目分别有多少个？

（2）若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元？

8．（2012•无锡）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：

投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：

方案一：

投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．

方案二：

投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．

（1）请问：

投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？

为什么？

（注：

投资收益率=

×100%）

（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：

甲、乙两人各投资了多少万元？

9．（2008•达州）附加题：

材料：

股票市场，买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费．以沪市A股的股票交易为例，除成本外还要交纳：

①印花税：

按成交金额的0.1%计算；

②过户费：

按成交金额的0.1%计算；

③佣金：

按不高于成交金额的0.3%计算，不足5元按5元计算．

例：

某投资者以每股5.00元的价格在沪市A股中买入股票“金杯汽车”1000股，以每股5.50元的价格全部卖出，共盈利多少？

问题：

（1）小王对此很感兴趣，以每股5.00元的价格买入以上股票100股，以每股5.50元的价格全部卖出，则他盈利为　_________　元．

（2）小张以每股a（a≥5）元的价格买入以上股票1000股，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出．请你帮他计算出卖出的价格每股是　_________　元（用a的代数式表示），由此可得卖出价格与买入价格相比至少要上涨　_________　%才不亏（结果保留三个有效数字）．

（3）小张再以每股5.00元的价格买入以上股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？

（精确到0.01元）

10．（2007•湖州）自选题：

如图，正方形ABCD的周长为40米，甲、乙两人分别从A、B同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55米，乙按顺时针方向每分钟行30米．

（1）出发后　_________　分钟时，甲乙两人第一次在正方形的顶点处相遇；

（2）如果用记号（a，b）表示两人行了a分钟，并相遇过b次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号应是　_________　．

　11．巳知：

（a+2b）y2﹣

+5=0是关于y的一元一次方程：

（1）求a，b的值．

（2）若x=a是

﹣

+3=

的解，求丨5a﹣2b丨﹣丨4b﹣2m|的值．

12．已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，求a的取值范围．

13．（2010•庆阳）某会议厅主席台上方有一个长12.8m的长条形（矩形）会议横标框，铺红色衬底．开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上．但会议名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：

边空：

字宽：

字距=9：

6：

2，如图所示．

根据这个规定，求会议名称的字数为18时，边空、字宽、字距各是多少？

14．（2008•乐山）阅读下列材料：

我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；

这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；

在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：

例1：

解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；

例2：

解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；

例3：

解方程|x﹣1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3．故原方程的解是x=2或x=﹣3．

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程|x+3|=4的解为　_________　；

（2）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9；

（3）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．

15．（2007•梅州）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．

（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；

（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．

16．（2005•浙江）据了解，火车票价按“

”的方法来确定．已知A站至H站总里程数为1500千米，全程参考价为180元．下表是沿途各站至H站的里程数：

车站名

各站至H站的里程数（单位：

千米）

1500

1130

910

622

402

219

例如，要确定从B站至E站火车票价，其票价为

=87.36≈87（元）．

（1）求A站至F站的火车票价（结果精确到1元）；

（2）旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：

我快到站了吗？

乘务员看到王大妈手中票价是66元，马上说下一站就到了．请问王大妈是在哪一站下车的（要求写出解答过程）．

17．（2004•常州）某商场在促销期间规定：

商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，还可按如下方案获得相应金额的奖券：

消费金额a（元）

200≤a＜400

400≤a＜500

500≤a＜700

700≤a＜900

…

获奖券金额（元）

100

130

…

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如：

购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：

400×（1﹣80%）+30=110（元）．

购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额÷商品的标价．

试问：

（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

（2）对于标价在500元与800元之间（含500元和800元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到

的优惠率？

18．（2003•无锡）某商场为提高彩电销售人员的积极性，制定了新的工资分配方案．方案规定：

每位销售人员的工资总额=基本工资+奖励工资．每位销售人员的月销售定额为10000元，在销售定额内，得基本工资200元；超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表1所示．

（1）已知销售员甲本月领到的工资总额为800元，请问销售员甲本月的销售额为多少元？

（2）依法纳税是每个公民应尽的义务，根据我国税法规定，全月工资总额不超过800元不要缴纳个人所得税；超过800元的部分为“全月应纳税所得额”．表2是缴纳个人所得税税率表，若销售员乙本月共销售A、B两种型号的彩电21台，缴纳个人所得税后实际得到的工资为1275元，又知A型彩电的销售价为每台1000元，B型彩电的销售价为每台1500元，请问销售员乙本月销售A型彩电多少台？

19．（2014•宁波）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．

A方法：

剪6个侧面；B方法：

剪4个侧面和5个底面．

现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．

（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；

（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？

20．（2002•宜昌）在“三峡明珠”宜昌市蕴含着丰富的水电、旅游资源，建有三峡工程等多座大型水电站，随着2003年三峡工程首批机组发电，估计当年将有200万人次来参观三峡大坝（参观门票按每张50元计）由此获得的旅游总收入可达到7.02亿元，相当于当年三峡工程发电总收入的26%，（每度电收入按0.1元计），据测算，每度电可创产值5元，而每10万元产值就可以提供一个就业岗位，待三峡工程全部建成后，其年发电量比2003年宜昌市所有水电站的年发电总量还多了75%，并且是2003年宜昌市除三峡工程以外的其它水电站的年发电量总和的4倍，

（1）旅游部门测算旅游总收入是以门票为基础，再按一定比值确定其它收入（吃、住、行、购物、娱乐的收入），两者之和即为旅游总收入，请你确定其它收入与门票收入的比值；

（2）请你评估三峡工程全部完工后，由三峡工程年发电量而提供的就业岗位每年有多少个？

21．某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问

（1）到几点时，停车场内第一次出现无车辆？

（2）到几点时，该公交公司已不能按6分钟间隔准时发车？

并求出第一辆未能准时开出的车至少延误的时间．

（3）若该公交公司要使车辆从上午6时至晚上8时都能按等间距开出，其他条件不变，则发车的间距至少为几分钟（精确到1分）？

（4）现该公交公司计划增添部分车辆，使得从上午6时至晚上8时都能按6分钟间距发车，其他条件不变，则该公司至少要增添几辆车？

22．在平面内有若干条直线，在下列情形下，可将平面最多分成几部分？

（1）有一条直线时，最多分成　_________　部分；

（2）有两条直线时，最多分成　_________　部分；

（3）有三条直线时，最多分成　_________　部分；

…

（n）有n条直线时，最多分成　_________　部分．

23．如图所示，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：

如果线段AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，…．

（1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有多少条？

（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？

（用含n的式子表示）

（3）当n=100时，线段总数共有多少条？

24．往返于A，B两地的客车，中途停靠三个站，

问：

（1）有多少种不同的票价？

（2）要准备多少种车票？

25．（2004•太原）如图所示，若将类似于a、b、c、d四个图的图形称做平面图，则其顶点数、边数与区域数之间存在某种关系．观察图b和表中对应的数值，探究计数的方法并作答．

（1）数一数每个图中各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少个区域并填表：

图

顶点数（S）

边数（M）

区域数（N）

（2）根据表中数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的一种关系；

（3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用

（2）中得出的关系可知这个平面图有　_________　条边．

26．如图，线段BD=

AB=

CD，点M、N分别是线段AB、CD的中点，且MN=10cm，求AC的长．

27．你会数线段吗？

如图①线段AB，即图中共有1条线段，1=

如图②线段AB上有1个点C，则图中共有3条线段，3=1+2=

如图③线段AB上有2个点C、D，则图中共有6条线段，6=1+2+3=

思考问题：

（1）如果线段AB上有3个点，则图中共有　_________　条线段；

（2）如果线段AB上有9个点，则图中共有　_________　条线段；

（3）如果线段AB上有n个点，则图中共有　_________　条线段（用含n的代数式来表示）．

28．

（1）已知：

如图1，线段AB=12cm．点C是线段AB的中点，点M、N分别是线段AC、BC的中点，求线段MN的长．

（2）已知：

如图2，线段AB=a．点C是线段AB上任意一点，若M、N分别是线段AC、BC的中点，则线段MN的长是　_________　．（用含a的式子填空）

29．如图，在直线l上取A，B两点，使AB=10厘米，若在l上再取一点C，使AC=2厘米，M，N分别是AB，AC中点．求MN的长度．

一元一次方程参考答案与试题解析

　一．选择题（共2小题）

1．（2003•桂林）某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法：

（1）一次购买金额不超过1万元的不予优惠；

（2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元的九折优惠；

如果他是一次性购买同样的原料，可少付款（　　）

A．

1170元

B．

1540元

C．

1460元

D．

2000元

考点：

专题：

优选方案问题；经济问题；压轴题．

分析：

此题文字较多，所以要认真读懂题意．从文中“第二次购买付款26100元”．根据优惠办法，可求第二次购买实款，从而求出两次购买实款．按照方案（3）计算一次性购买时的付款，求差额．

解答：

解：

设第二次购买实款为x元，根据优惠办法，则90%•x=26100，解得x=29000．

两次购买实款为29000+7800=36800．

则如一次性购买则可少付（26100+7800）﹣30000×90%﹣6800×80%=1460元．

故选C．

点评：

此题涉及的问题较多，学生考虑要全面，所以做此题学生重在细心．

　2．（2006•武汉）越来越多的商品房空置是目前比较突出的问题，据国家有关部门统计：

2006年第一季度全国商品房空置面积为1.23亿m2，比2005年第一季度增长23.8%，下列说法：

①2005年第一季度全国商品房空置面积为

亿m2；

②2005年第一季度全国商品房空置面积为

亿m2；

③若按相同增长率计算，2007年第一季度全国商品房空置面积将达到1.23×（1+23.8%）亿m2；

④如果2007年第一季度全国商品房空置面积比2006年第一季度减少23.8%，那么2007年第一季度全国商品空置面积与2005年第一季度相同．

其中正确的是（　　）

A．

①，④

B．

②，④

C．

②，③

D．

①，③

考点：

专题：

增长率问题．

分析：

此题主要是套用有关增长率的公式：

基数×（1+增长率）=增长后的面积，理解清题意，分析即可．

解答：

解：

①若设2005年第一季度全国商品房空置面积是x亿m2．根据增长率的意义，得：

x（1+23.8%）=1.23，则x=

亿m2，正确；②由①知，错误；③根据增长率的意义，正确；

④由于增长和降低的基数不相同，故2007年第一季度全国商品空置面积与2005年第一季度不相同，错误．故选D．

点评：

注意增长和降低的基数，能够根据增长率和降低率正确表示两个量之间的关系．

　二．填空题（共1小题）

3．盒子里有若干个相同的小球，甲取走一半后，乙又取走剩余的

，丙再取走5个，这时，还剩下3个，则盒子里原有　24　个小球．

考点：

专题：

应用题．

分析：

设盒子原来有小球x个，取走一半后剩下

x，又取走

•

x，再取走5个，以小球的总数做为等量关系可列方程求解．

解答：

解：

设盒子原来有小球x个．

•

x+5+3=x，x=24．盒子里有24个小球．故答案为：

24．

点评：

本题考查理解题意能力，关键是能看清每次拿走的加上剩下的等于小球的总数．

　三．解答题（共26小题）

4．（2013•宜昌）[背景资料]

[问题解决]

（1）一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？

（2）一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求a的值；

（3）在

（2）的前提下，种植棉花的专业户张家和王家均雇人采摘棉花，王家雇佣的人数是张家的2倍，张家雇人手工采摘，王家所雇的人中有

的人自带采棉机采摘，

的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，张家付给雇工工钱总额为14400元，王家这次采摘棉花的总重量是多少？

考点：

分析：

（1）先根据一个人操作采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，求出一个人手工采摘棉花的效率，再乘以工作时间8小时，即可求解；

（2）根据一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，列出关于a的方程，解方程即可；

（3）设张家雇佣x人采摘棉花，则王家雇佣2x人采摘棉花，先根据张家付给雇工工钱总额14400元，求出采摘的天数为：

，然后由王家所雇的人中有

的人自带采棉机采摘，

的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，即可得出王家这次采摘棉花的总重量．

解答：

解：

（1）∵一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，

∴一个人手工采摘棉花的效率为：

35÷3.5

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