新数值分析报告.docx

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新数值分析报告

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课题一:

线性方程组的迭代法

一、实验内容

1、设线性方程组

=

x

=（1,-1,0,1,2,0,3,1,-1,2）

2、设对称正定阵系数阵线方程组

=

x

=（1,-1,0,2,1,-1,0,2）

3、三对角形线性方程组

=

x

=（2,1,-3,0,1,-2,3,0,1,-1）

试分别选用Jacobi迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法计算其解。

二、实验要求

1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；

2、分别对不同精度要求，如

由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；

3、对方程组2，3使用SOR方法时，选取松弛因子

=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；

4、给出各种算法的设计程序和计算结果。

三、目的和意义

1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；

2、运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序；

3、体会上机计算时，终止步骤

<

或k>（予给的迭代次数），对迭代法敛散性的意义；

4、体会初始解x

，松弛因子的选取，对计算结果的影响。

四、流程图设计

1、主程序流程图

图1-1主程序流程图

2、Jacobi迭代算法流程：

图1-2Jacobi迭代法流程图

3、Gauss-Seidel迭代算法流程同Jacobi算法，迭代关系式为

图1-3Gauss-Seidol迭代法流程图

4、SOR迭代算法：

图1-4SOR迭代法流程图

五、程序代码

#include

usingnamespacestd;

#defineN40

constintn=10;

intjacobi（float*p,floatb[],floatX[],floatx[],intn）;

intGS（float*p,floatb[],floatX[],floatx[],intn）;

intSOR（float*p,floatb[],floatX[],floatx[],intn）;

voidprint（float*a,intr）;

voidmain（）

{

floatA[10][10]={4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0,

8,6,-5,-3,6,5,0,1,0,0,

4,2,-2,-1,3,2,-1,1,9,4,

0,-2,1,5,-1,3,-1,1,9,4,

-4,2,6,-1,6,7,-3,3,2,3,

8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5,

0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1,

16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2,

4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4,

0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1};

floata[10]={7,5,-13,2,6,-12,14,-4,5,-5};

floatX1[10]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};

floatx1[10];

floatB[8][8]={4,2,-4,0,2,4,0,0,

2,2,-1,-2,1,3,2,0,

-4,-1,14,1,-8,-3,5,6,

0,-2,1,6,-1,-4,-3,3,

2,1,-8,-1,22,4,-10,-3,

4,3,-3,-4,4,11,1,-4,

0,2,5,-3,-10,1,14,2,

0,0,6,3,-3,-4,2,19};

floatb[8]={0,-6,6,23,11,-22,-15,45};

floatX2[8]={0,0,0,0,0,0,0,0};

floatx2[8];

floatC[10][10]={4,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,

-1,4,-1,0,0,0,0,0,0,0,

0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,0,

0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,

0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,

0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,

0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,

0,0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,

0,0,0,0,0,0,0,-1,4,-1,

0,0,0,0,0,0,0,0,-1,4};

floatc[10]={7,5,-13,2,6,-12,14,-4,5,-5};

floatx3[10];

floatX3[10]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};

float*p[3];

p[0]=&A[0][0];

p[1]=&B[0][0];

p[2]=&C[0][0];

cout<<"Jacobi迭代法解第一个方程:

"<

jacobi（p[0],a,X1,x1,10）;

cout<<"Jacobi迭代法解第二个方程:

"<

jacobi（p[1],b,X2,x2,8）;

cout<<"Jacobi迭代法解第三个方程:

"<

jacobi（p[2],c,X3,x3,10）;

cout<<"Gauss-Seidel迭代法解第一个方程:

"<

GS（p[0],a,X1,x1,10）;

cout<<"Gauss-Seidel迭代法解第二个方程:

"<

GS（p[1],b,X2,x2,8）;

cout<<"Gauss-Seidel迭代法解第三个方程:

"<

GS（p[2],c,X3,x3,10）;

cout<<"SOR迭代法解第一个方程:

"<

SOR（p[0],a,X1,x1,10）;

cout<<"SOR迭代法解第二个方程:

"<

SOR（p[1],b,X2,x2,8）;

cout<<"SOR迭代法解第三个方程:

"<

SOR（p[2],c,X3,x3,10）;

}

intjacobi（float*p,floatb[],floatX[],floatx[],intn）

{

intk,i,j;

floatm,R,r,e;

cout<<"请输入精度e:

";

cin>>e;

for（k=0;k

{

R=0;

for（i=0;i

{

m=0;

for（j=0;j

{

m=m+（*（p+i*n+j））*X[j];

}

x[i]=X[i]+（b[i]-m）/（*（p+i*n+i））;

r=x[i]-X[i];

if（r<0）

r=X[i]-x[i];

if（r>R）

R=r;

}

if（R<=e&&R>0）

{

print（x,n）;

cout<<"迭代次数为:

"<

returnk;

}

for（j=0;j<10;j++）

X[j]=x[j];

}

print（x,n）;

cout<<"迭代次数为:

"<

cout<<"方程解发散,无法用Jacobi方法解此方程!

"<

return0;

}

intGS（float*p,floatb[],floatX[],floatx[],intn）

{

inti,j,k;

floatt,R,r,e;

cout<<"请输入精度e:

";

cin>>e;

for（k=0;k

{

for（i=0;i

{

t=0;

for（j=0;j

{

if（j

t+=（*（p+i*n+j））*x[j];

if（j>i）

t+=（*（p+i*n+j））*X[j];

}

x[i]=（b[i]-t）/（*（p+i*n+i））;

}

for（i=0;i<10;i++）

{

r=x[i]-X[i];

if（r<0）

r=X[i]-x[i];

if（r>R）

R=r;

}

if（R<=e&&R>0）

{

print（x,n）;

cout<<"迭代次数为:

"<

returnk;

}

for（j=0;j<8;j++）

X[j]=x[j];

}

print（x,n）;

cout<<"迭代次数为:

"<

cout<<"方程解发散,无法用Gauss-Seidel方法解此方程!

"<

return0;

}

intSOR（float*p,floatb[],floatX[],floatx[],intn）

{

inti,j,k;

floatt,R,r,e,w;

cout<<"请输入松弛因子w（0

";

cin>>w;

cout<<"请输入精度e:

";

cin>>e;

for（i=0;i

x[i]=X[i];

for（k=0;k

{

R=0;

for（i=0;i

{

t=0;

for（j=0;j

t+=（*（p+i*n+j））*x[j];

r=w*（b[i]-t）/（*（p+i*n+i））;

x[i]+=r;

if（r<0）

r=-r;

if（r>R）

R=r;

}

if（R<=e&&R>0）

{

print（x,n）;

cout<<"迭代次数为:

"<

returnk;

}

}

print（x,n）;

cout<<"迭代次数为:

"<

cout<<"方程解发散,无法用XOR方法解此方程!

"<

return0;

}

voidprint（float*a,intn）

{

intj;

float*t=a;

cout<<"x=（";

for（j=0;j

cout<<*（t+j）<<",";

cout<<*（t+j）<<"）"<

}

六、程序运行截图

七、小结及体会

经过这次试验，我通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较，并运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序。

切实体会到了上机计算时，终止步骤

<

或k>（予给的迭代次数），对迭代法敛散性的意义，了解了初始解x

，松弛因子的选取，对计算结果的影响。

在试验中，不同的系数矩阵对上述三种迭代方法有很大影响，会导致结果发散无法得到正常结果。

三种算法的收敛，SOR方法最大，其次Gauss-Seidel方法，Jacobi方法最小，松弛因子的不同也和收敛速度密切相关。

课题二:

数值积分

一、实验内容

选用复合