第一章 集合与常用逻辑用语 复习讲义.docx
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第一章集合与常用逻辑用语复习讲义
第一篇 教材复习讲义篇
第1节 集 合
◆考纲·了然于胸◆
1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系.
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
4.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
[要点梳理]
1.集合的概念与表示
(1)集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系有属于和不属于两种,表示符号为∈或∉.
(3)集合的表示方法有列举法、描述法和维恩(Venn)图.
(4)常见集合的符号表示
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
N
N+或N*
Z
Q
R
C
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A⊆B,B⊆A⇔A=B
子集
集合A中任意一个元素都是集合B的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A中任意一元素均为集合B的元素,且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素
AB或BA
空集
空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集
∅⊆A,∅B(B≠∅)
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B={x|x∈A或x∈B}
A∩B={x|x∈A且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
质疑探究:
对于集合A、B,若A∪B⊆A∩B,那么A与B之间有什么关系?
提示:
因为A∪B⊆A∩B,从而有A∩B=A∪B,所以必有A=B.
4.集合的运算性质
并集的性质:
A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.
交集的性质:
A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.
补集的性质:
A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=∅;∁U(∁UA)=A.
[小题查验]
1.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则∁UM等于( )
A.UB.{1,3,5}C.{3,5,6}D.{2,4,6}
2.(2016·宁德质检)已知集合A={0,1},B={-1,0,a+2},若A⊆B,则a的值为( )
A.-2B.-1C.0D.1
3.(2015·新课标卷Ⅰ)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5B.4C.3D.2
4.给出下列命题:
①空集是任何集合的子集,两元素集合是三元素集合的子集.②a在集合A中,可用符号表示为a⊆A.
③N⊆N*⊆Z④(A∩B)⊆(A∪B),(∁UA)∪A=U.其中真命题的是________.(写出所有真命题的序号)
5.(2016·中原名校联盟一模)设A={1,4,2x},若B={1,x2},若B⊆A,则x=________.
考点一 集合的基本概念(基础型考点——自主练透)
[方法链接]
1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.
2.对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性.
[题组集训]
1.(2016·洛阳统考)已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为( )
A.3B.6C.8D.9
2.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=
,则b-a=______________.
3.已知集合M={1,m+2,m2+4},且5∈M,则m的值为____________.
考点二 集合间的基本关系(重点型考点——师生共研)
【例】
(1)(2016·临沂模拟)已知集合A={x|ax=1},B={x|x2-1=0},若A⊆B,则a的取值构成的集合是( )
A.{-1} B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}
(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.
互动探究 本例
(1)中若A={x|ax>1(a≠0)},B={x|x2-1>0},其它条件不变,则a的取值范围是________.
【名师说“法”】
(1)由集合的关系求参数的关键点:
由两集合的关系求参数,其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析,而且常要对参数进行讨论,注意区间端点的取舍.
(2)解决集合相等问题的一般思路:
若两个集合相等,首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况,然后列方程(组)求解.
提醒:
解决两个集合的包含关系时,要注意空集的情况.
跟踪训练
(1)若集合A={0,1,2,x},B={1,x2},A∪B=A,则满足条件的实数x有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(2)已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A⊆B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________.
考点三 集合的基本运算(高频型考点——全面发掘)
[考情聚焦]
角度一 求交集
1.(2015·高考新课标卷Ⅱ)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( )
A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}
角度二 求并集
2.(2016·南昌模拟)集合M={x|x2+px+2=0},N={x|x2+x-q=0},M∩N={2},则M∪N=( )
A.{1,2,-3}B.{1,2,3}C.{1,-2,3}D.{-1,2,3}
角度三 集合的交、并、补的综合运算
3.(2016·湖州模拟)已知全集为R,集合A={x|ex≥1},B={x|x2-4x+3≤0},则A∩(∁RB)=( )
A.{x|x≤0}B.{x|1≤x≤3}C.{x|0≤x<1或x>3}D.{x|0<x≤1或x≥3}
角度四 利用集合的基本运算求参数的取值(范围)
4.(2016·宁波模拟)已知集合A={x|x≤a},B={x|1≤x≤2},且A∪∁RB=R,则实数a的取值范围是________.
[通关锦囊]
集合基本运算的常见题型与破解策略:
重点题型
破解策略
求并集、交集或补集
一般是先解方程或不等式化简集合,再由并集、交集或补集的定义求解
交、并、补的混合运算
先算括号里面的,再按运算的顺序求解
利用集合的基本运算求参数的取值(范围)
数形结合思想的运用,利用好数轴、Venn图等.
[题组集训]
1.(2016·广东七校联考)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=( )
A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2]
2.(2016·济南模拟)已知集合P={log2x4,3},Q={x,y},若P∩Q={2},则P∪Q等于( )
A.{2,3}B.{1,2,3}C.{1,-1,2,3}D.{2,3,x,y}
3.(2016·宜宾模拟)已知集合M={y|y=x2-2},集合N={x|y=x2-2},则有( )
A.M=NB.M∩(∁RN)=∅C.N∩(∁RM)=∅D.N⊆M
创新探究1 以集合为载体的创新型问题
以集合为载体的创新型问题,是高考命题创新型试题的一个热点,常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等,此类问题中集合只是基本的依托,考查的是考生创造性解决问题的能力.
典例 (2016·揭阳校级三模)对于集合A,如果定义了一种运算“⊕”,使得集合A中的元素间满足下列4个条件:
(Ⅰ)∀a,b∈A,都有a⊕b∈A(Ⅱ)∃e∈A,使得对∀a∈A,都有e⊕a=a⊕e=a;
(Ⅲ)∀a∈A,∃a′∈A,使得a⊕a′=a′⊕a=e;(Ⅳ)∀a,b,c∈A,都有(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c),
则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”.下面给出三个集合及相应的运算“⊕”;
①A={整数},运算“⊕”为普通加法;②A={复数},运算“⊕”为普通减法;
③A={正实数},运算“⊕”为普通乘法.其中可以构成“对称集”的有( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
即时突破 (2016·潍坊模拟)设M是一个非空集合,#是它的一种运算,如果满足以下条件:
(Ⅰ)对M中任意元素a,b,c都有(a#b)#c=a#(b#c);(Ⅱ)对M中任意两个元素a,b,满足a#b∈M.则称M对运算#封闭.下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为___________________.
①{-2,-1,1,2},②{1,-1,0},③Z,④Q.
[课堂小结]
【方法与技巧】
1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号.
3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.
【失误与防范】
1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简.
2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系:
一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.
5.要注意A⊆B、A∩B=A、A∪B=B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)=∅这五个关系式的等价性.
课时活页作业
(一)
[基础训练组]
1.(2016·赤峰模拟)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=( )
A.∅B.{2}C.{0}D.{-2}
2.(2015·高考天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩∁UB=( )
A.{3}B.{2,5}C.{1,4,6}D.{2,3,5}
3.设集合A={x||x|≤2,x∈R},B={y|y=-x2,-1≤x≤2},则∁R(A∩B)等于( )
A.RB.(-∞,-2)∪(0,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.∅
4.(2016·西安一模)设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
5.(2016·济南模拟)已知集合A={x||x-1|<2},B={x|y=lg(x2+x)},设U=R,则A∩(∁UB)等于( )
A.[3,+∞) B.(-1,0]C.(3,+∞)D.[-1,0]
6.已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则A∩B=________.
7.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________.
8.(2016·南充调研)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是________.
9.已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值.
(1)9∈(A∩B);
(2){9}=A∩B.
10.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;
(2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围.
[能力提升组]
11.已知全集U=Z,集合A={x|x2=x},B={-1,0,1,2},则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{-1,2}B.{-1,0}C.{0,1}D.{1,2}
12.设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P*Q={z|z=a÷b,a∈P,b∈Q},若P={-1,0,1},Q={-2,2},则集合P*Q中元素的个数是( )A.2B.3C.4D.5
13.(2016·广东二模)已知非空集合M和N,规定M-N={x|x∈M且x∉N},那么M-(M-N)等于( )
A.M∪NB.M∩NC.MD.N
14.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=______,n=________.
15.(2016·福州月考)已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}.
(1)当m=-1时,求A∪B;
(2)若A⊆B,求实数m的取值范围;(3)若A∩B=∅,求实数m的取值范围.
第2节 命题与命题的四种形式、充分条件与必要条件
◆考纲·了然于胸◆
1.理解命题的概念.
2.了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
[要点梳理]
1.命题的概念:
能够判断真假的语句叫做命题,其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.
2.命题的四种形式及真假关系
互为逆否的两个命题等价(同真或同假);互逆或互否的两个命题不等价.
质疑探究:
一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗?
提示:
不是,一个命题的否命题是既否定该命题的条件,又否定该命题的结论而这个命题的否定仅是否定它的结论.
3.充分条件、必要条件与充要条件
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
p是q的必要不充分条件
p
q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分又不必要条件
p
q且q
p
[小题查验]
1.命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是( )
A.“若x<y,则x2<y2” B.“若x>y,则x2>y2”C.“若x≤y,则x2≤y2”D.“若x≥y,则x2≥y2”
2.(2015·高考浙江卷)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.给出命题:
“若实数x,y满足x2+y2=0,则x=y=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )A.0个 B.1个C.2个 D.3个
4.“x>2”是“
<
”的________条件.
5.下列命题:
①若ac2>bc2,则a>b;②若sinα=sinβ,则α=β;
③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行”的充要条件;
④若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.其中正确命题的序号是________.
考点一 命题的四种形式及其关系(基础型考点——自主练透)
[方法链接]
1.由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题,将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.
2.命题真假的判断方法
(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.
(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断.
[题组集训]
1.命题“若a<0,则一元二次方程x2+x+a=0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )
A.0B.2C.4D.不确定
2.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确的命题的序号).
①“若log2a>0,则函数f(x)=log2x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;
②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;
③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;
④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.
考点二 充分条件、必要条件与充要条件的判断(高频型考点——全面发掘)
[考情聚焦]
充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的亮点.常以选择题、填空题的形式出现,作为一个重要载体,考查的数学知识面很广,几乎涉及数学知识的各个方面,如函数、不等式、三角、平面向量、解析几何、立体几何等.
角度一 与不等式相关的充分必要条件的判断
1.(2015·高考天津卷)若x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
角度二 与平面向量相关的充分必要条件的判断
2.(2016·福建质检)已知向量a=(m2,4),b=(1,1),则“m=-2”是“a∥b”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
角度三 与三角相关的充分必要条件的判断
3.(2016·石家庄一模)若命题p:
φ=
+kπ,k∈Z,命题q:
f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数,则p是q的( )
A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
角度四 与立体几何相关的充分必要条件的判断
4.已知a,b,c是实数,则b2≠ac是a,b,c不成等比数列的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
角度五 与立体几何相关的充分必要条件的判断
5.(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
[通关锦囊]
充分、必要条件判定的常见题型与求解策略:
常见题型
求解策略
与不等式相关的充分必要条件的判断
可把不等式之间的关系转化为集合与集合之间的关系,根据集合与充要条件之间的关系进行判断
与平面向量相关的充分必要条件的判断
该类题型常涉及向量的概念、运算及向量共线、共面的条件,可把问题转化为有关向量之间的推理
与三角相关的充分必要条件的判断
熟练掌握三角的相关概念、运算公式、三角函数的图象和性质以及正、余弦定理是解决该类问题的关键
与数列相关的充分必要条件的判断
熟练掌握等差数列与等比数列的定义、性质及数列的单调性、周期性、an与Sn的关系
与立体几何相关的充分必要条件的判断
可把问题转化为线线、线面、面面之间位置关系的判断及性质问题,由此进行恰当判断
与解析几何相关的充分必要条件的判断
首先理解点与曲线的位置关系,两直线的位置关系,直线与曲线的位置关系,然后弄清题意进行判断
提醒:
解答充分条件、必要条件的判断题,必须从正、逆两个方面进行判断.
[题组集训]
1.(2016·济南模拟)设M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N⊆M”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.给出下列命题:
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必要条件;
②“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件;
③“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直”的充要条件;
④设a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=
,则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件.
其中真命题的序号是________.
考点三 利用充要条件求参数的取值(范围)(重点型考点——师生共研)
【例】
(1)(2016·临沂模拟)已知p:
-2≤x≤10,q:
(x-a)(x-a-1)>0,若p是q成立的充分不必要条件,则实数a的取值范围是________.
(2)已知条件p:
≤-1,条件q:
x2+x<a2-a,且非q的一个充分不必要条件是非p,则a的取值范围是( )
A.
B.
C.[-1,2]D.
∪[2,+∞)
互动探究 本例
(1)中,若p:
-2<x<10,q:
(x-a)(x-a-1)≥0,其他条件不变,则a的取值范围是________.
【名师说“法”】
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件:
若非p是非q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.
跟踪训练
已知p:
-4<x-a<4,q:
(x-2)(x-3)<0,且q是p的充分条件,则实数a的取值范围为( )
A.-1<a<6B.-1≤a≤6C.a<-1或a>6D.a≤-1或a≥6
思想方法1 等价转化思想在充要条件关系中的应用
典例 已知p:
≤2,q:
x2-2x+1-m2≤0(m>0),且非p是非q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围为________.
即时突破 已知不等式|x-m|<1成立的充分不必要条件是
<x<
,则m的取值范围是________.
[课堂小结]
【方法与技巧】
1.当一个命题有大前提而要写出命题的其他三种形式时,必须保留大前提,也就是大前提不动;对于由多个并列条件组成的命题,在写其它三种命题时,应把其中一个(或几个)作为大前提.
2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题与定理是有区别的;命题有真假之分,而定理都是真的.
3.命题的充要关系的判断方法
(1)定义法:
即判断原命题与其逆命题的真假性.
(2)等价法:
p是q的什么条件等价于非q是非p的什么条件.
(3)利用集合间的包含关系判断:
建立命题p,q相应的集合:
A={x|p(x)成立},q:
B={x|q(x)成立},转化为判定A与B间的关系.
【失误与防范】
(1)判断命题的真假及写命题的四种形式时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p则q”的形式.
(2)判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.
课时活页作业
(二)
[基础训练组]
1.(2015·高考山东卷)若m∈R,命题若“m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
2.(2016·温州调研)已知a,b∈R,则“a=b”是“
=
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.(2014·新课标高考全国卷Ⅱ)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:
f′(x0)=0,q:
x=x0是f(x)的极值点