三角函数高三复习docx.docx
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三角函数高三复习docx
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三角函数
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课程目标
层次要求
了解任意角、弧度制、任意角的三角函数的定义
★
掌握三角函数的基本关系及诱导公式，并掌握三角函数的图像和性质
★★
理解并掌握三角恒等变换的相关公式（和差、二倍角、辅助角）
★★
能综合应用三角恒等变换的相关公式及三角函数的图像和性质解决问题
★★★
【知识梳理】
第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数
—.基础知识
1.任意角
⑴角的概念的推广
1按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
2按终边位置不同分为象限角和轴线角.
（2）终边相同的角
终边与角a相同的角可写成a+L360o（KZ）.
（3）弧度制
1］孤度的角：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2规定：
正角的弧度数为正数，负角的孤度数为负数，零角的孤度数为霎，|a|={,Z是以角a作为圆心角时所对圆弧的长，,为半径.
3用“孤度”做单位来度量角的制度叫做孤度制，比值"与所取的r的大小无关,仅与角的大小有关.
4孤度与角度的换算：
360。
=边孤度；180。
=互弧度.
5弧.长公式：
l=\a\r,
扇形面积公式：
S扇形=§/尸=*。
|产.
2.任意角的三角函数定义
设a是一个任意角，角a的终边上任意一点P（x,y）,它与原点的距离为r（r>0）,那么角a的正弦、余弦、正切分别是：
sina={,cosa=ptana=^,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.
IIJi
3.三角函数线
设角a的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P,过P作皿垂直于x轴于则点M是点P在x轴上的正射影.由三角函数的定义知,点P的坐标为（cosa,sina）,即P（cosa,sina）,其中cosa=OM,sina=MP,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与a的终边或其反向延长线相交于点T,则tana=AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做a的余弦线、正弦线、正切线.
—.熟记要点
一条规律
三角函数值在各一象F也的符号规律槐括为二二全鱼M一三五弦W一二正切、一囹会弦―
⑵冬边落在壬轴上的角一的集佥撰极土钮一KUZh…笠边莲在」屋上一的鱼的集佥{gig三*土场…虹/；；一冬边落在坐标一轴上的度的集佥一可格一表丕为*g=号,kwz
两个技巧
Q）在利—用三角一酒数定义时,…点一巳可一取终边上任二点…如有一可能则一取笠边一与里位圆一的交点£一」。
日三4二
定是买值一」
（2）在醒简一里的二前丕萱式时'…到用一里位园及三角一此数线是二仝止技与：
…
三个注意
（1）注意易混概念的区别：
第一象限角、锐角、小于90。
的角是概念不同的三类角，…第二美是一象一限角,…一第三JL…第二类是且回角一.…
⑵角一度制与孤度制更初用一龚Q?
三匹理L进行互化」粪回二仝式壬忆…采眉的盘量制一度必须二致:
…丕可逼&一
（3）注意一熟记一。
°一=3一6。
°回特殊角一的弧度表丕,…一以一方便解题一.…
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式
—.基础知识
1.同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：
sin2a+cos2a=l；
（2）商数关系：
*^=tana.
2.诱导公式
公式一：
sin（a+2切:
）=sina,cos（a+2for）=cosa,其中RGZ.
公式二：
sin（7i+a）=~sina,cos（兀+a）=—cos一a,
tan（兀+a）=tana.
公式三：
sin（—a）=~sina,cos（—a）=cosa.
公式四：
sin（兀一a）=sina,cos（兀一a）=—cosa.
公式五：
sin质-a]=cosa,cosg-a）=sina.
公式六：
sing+a]=cosa,cosg+a]=-sina.
诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：
奇变偶不变，符号看象限.其中的奇、偶是指壹的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把a看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号.
—.熟记要点
一个口诀
诱导公式一的一记忆H诀为二奇变偶丕变，…符号旋彖队」
三种方法
在柬值一与化茴时，…堂用方一法直二
cinn
Q）弦切互化法一:
…主卖利用一公式[迎一化成正」余弦一.…
cosot
（2）和积转换法：
...ffl.（sin_0±cos_0.2=1±2sin0cosg的关系进行变形、一萤化_・_jr
（3）与用：
:
E：
的一变换:
...1=sin2.i9+.COS70=cos^（l+tan2（9）=tan^=二:
三个防范
⑴利用一诱昱公式进行&简逑值时，…先利用公一式化佳意角的一二角通数为绥角三角画数,…其一步骤一:
…去项
二脱周二化铤一
特剧注意通数名称和符号一的确定一」
（2）在利一用同角一三角一此数的乎方关系时，…若无方，…卖特规注意刿财符号一」
（3）洼意垂值与化国卮的结房二股要尽H能真理他〉…整式化：
…
第三节三角函数的图象与性质
—.基础知识
1.“五点法”描图
（1）j=sinx的图象在［0,2兀］上的五个关键点的坐标为
（0,0）,E，1）,（兀，0）,俘，一1）,（2兀，0）.
（2）j=cosx的图象在［0,2兀］上的五个关键点的坐标为
（0,1）,质，0）,（兀，-1）,修，0）,（2兀，1）.
2.三角函数的图象和性质
函数
性质
y=sinx
y=cosx
y=tanx
定义域
R
R
兀
{x\x^kji-\~2,炉Z}
图象
j
77、与列
n
4
-1
。
*
值域
「一1,11
「一1,11
R
对称性
兀
对称轴：
x=kn.+^ik
eZ）
对称中心：
（hr,0）值6Z）
对称轴：
x=kn（kE
Z）
对称中心：
脚+壹，0）（虹Z）
无对称轴
对称中心：
俘0*
eZ）
周期
2兀
2兀
71
单调性
单调增区间7171
Ikn—^，2kn~\-（k
ez）；
单调减区间
—兀3兀一
2饥+万，2^71+万
（KZ）
单调增区间\2kn-兀，2kn]（kWZ）；单调减区间\2kjtf2kit+兀]（虹Z）
单调增区间"兀一堂，kit+号（REZ）
奇偶性
童
偶
童
—.熟记要点
两条性质
（1）周期性
27171
函数一，三虫垣食以土0）一和一y~.Acos（cox+°）的一最!
L'一正用一期一为.函，-v_=tan（（yx土夜的逮』，正同一期为.函：
（2）奇僵性
三角函数一中.一奇通数二般可化为工三Asm一级或工三为理亟偶酒数二股可化为一丁三Acqs一例^土勿的一形式:
一三种方法
枣三度函数值域（最值）的方法;…
Q）利一用sinx>cosx一的直界性;…
（2）形式夏杂的酒数应」七为一X土4§凡（现石士仞土&的形式逐一步分批一士但的范国，一根趣妄弦色数里调一性写.出画数一的值域一;_
（3）换兀法一:
…把一旬顼一或.cosx看隹二个整体/…可化为一点鱼数在一区回上的一值域（散值）一问题一.一
第四节两角和与差的正弦'余弦和正切
—・基础知识
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（a—$:
cos（q一&）=cosqcos方+sinQsin8;
（2）C（a+$:
cos（q+p）=cos_qcos顶一sinjzsin*
（3）S（a+g）:
sin（a+Q）=sinacosjg+cosQsin必；
（4）S（q）：
sin（«—p）=sinqcos切一cososin&；
.tana+tsinB
（5）T（w）：
tan（a+"）=i_tanatan/
…tana—tang
（6）Ts*tan（a”）=i+tanatan〃
2.二倍角的正弦'余弦、正切公式
（1）S2«：
sin2a=2sinacosa；
（2）C2«：
cos2a=cos2（z—sir^a=2cos2a—1=1一2sin2a；
-、e-2tana
（3）T2a：
tan21—tan"
3.有关公式的逆用、变形等
（l）tana±tan方=tan（a±8）（lHanatang）；
91+cos2a91—cos2a
（2）cosa=2，sina=（3）1+sin2a=（sina+cosa）2l—sin2a=（sina—cosa）2sina±cosa=Ssin[a±.）
4.函数y（a）=acosa+Z?
sina（a,力为常数），可以化为"a）=.4+辰sin（a+（p）或"a）=p4+屏cos（a—
（P）,其中9可由。
，力的值唯一确定.
—.熟记要点
两个技巧
（1）
拆一角_、…拼角一技巧J…曷一==一0±@）±一（1二占）；_名±0土段二占一；一一@三=^：
^
⑵&简技与一:
…切化弦>E：
的一代一换萼二一
三个变化
（1）变角一:
…旦的是狗一通题设条件与笙论史所涉一及的鱼,…甚壬法通堂是：
一配凌一”….…
（2）变名_：
…通过变换画数名一称一达迎减2通一数理类的一且的，…甚手法通蜜有_：
：
切化弦:
…北赛与隆赛:
（3）变式一:
…损据一式壬的结才W主征进一行一变一形工」更其更贴近基仝公式或某企期莅的且标一，…其一壬法通常一有:
.
“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
【经典例题】
题型一：
任意角与弧度制
【例1】》
（1）写出终边在直线y=yf3x上的角的集合；
⑵若角。
的终边与岑角的终边相同，求在［0,2兀）内终边与?
角的终边相同的角;
（3）已知角a是第二象限角，试确定2a、《所在的象限.
［审题视点］利用终边相同的角进行表示及判断.
方法总结》
（1）相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360。
的整数倍.
⑵角的集合的表示形式不是唯一的，如：
终边在y轴非正半轴上的角的集合可以表示为卜卜=2*兀一?
，也可以表示为.》=2知+奇，kwzj.
变式
1-1T列各对角中终边相同的角是（）。
A生和—-+2teaeZ）B-生和冬
20勿工c122tt
1-2若角a、的终边相同，贝Ija-^的终边在.
A.x轴的非负半轴上
B.必轴的非负半轴上
C.x轴的非正半轴上
D.y轴的非正半轴上
1-3当角a与〃的终边互为反向延长线，则a-p的终边在.
A.x轴的非负半轴上
B.y轴的非负半轴上
C.x轴的非正半轴上
D.必轴的非正半轴上
1-4时钟经过一小时，时针转过了（
A—rad
6
B-—rad
6
1-5
（1）
（3）
C—rad
12
下列说法正确的有几个（
锐角是第一象限的角；
（2）
rad
12
）
第一象限的角都是锐角;
小于90的角是锐角；（4）090的角是锐角。
A1个B2个C3个D4个
1-6已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，则角855是第（）象限角。
A第一象限角B第二象限角
C第三象限角D第四象限角
1-7下面四个命题中正确的是（
A.第一象限的角必是锐角
C.终边相同的角必相等
B.锐角必是第一象限的角
D.第二象限的角必大于第一象限的角
1-8已知角a的终边经过点F（-3,心），则与a终边相同的角的集合是.
1-9若a是第四象限角,
A第一象限角
C第三象限角
则180-t/是（）
B第二象限角
D第四象限角
1-10若a与“的终边互为反向延长线，则有（）
Aa=+180Ba=/?
—180
Ca=—（3Da=/?
+（2^+1）-180,keZ
1-11已水口集合M=«工|工=号+^,Z:
eZj>,尸={/尤=号+；,kgZj
A.M=PB.MYP
C.MUPD.MP=0
1-12若A={a\a=k-360,k^Z］；
B={a\a=kA^,"Z}；C={a\a=k-90,k^Z］,则下列关系中正确的是
AA=B=C
A=BCCAB=C
DA勿四C
题型二弧长及扇形的面积
例2A已知半径为10的圆。
中，弦A3的长为10.
（1）求弦A3所对的圆心角a的大小；
（2）求«所在的扇形的孤长I及孤所在的弓形的面积S.
［审题视点］
（1）由已知条件可得ZVIOB是等边三角形，可得圆心角a的值；
（2）利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积.
方法总结》弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多.因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式.
变式
1.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为。
2.用弧度制表示：
①终边在x轴上的角的集合②终边在〉轴上的角的集合③终边在坐标轴上的角的集合。
3已知扇形周长为10an,面积为6cm2,求扇形中心角的弧度数。
4已知扇形的面积为S,当扇形的圆心角为多少弧度时，扇形的周长最小？
并求出此最小值。
题型三：
任意角的三角函数
【例3】A已知角。
的终边经过点P（—*,m）（m^0）且sin0=^m,试判断角。
所在的象限，并求cos0和tan0的值.
［审题视点］根据三角函数定义求机，再求cos。
和tan9.
方法总结》任意角的三角函数值仅与角a的终边位置有关，而与角a终边上点P的位置无关.若角a已经给出，则无论点P选择在a终边上的什么位置，角a的三角函数值都是确定的.
变式
1已知角a的终边经过点P（2,-3）,求角a的正弦、余弦和正切值。
7TV
2
（1）已知角a=,求2sina+cosa的值；
3
（2）已知角a的终边经过点P（4<2,-3a）（a0）,求2sina+cosa的值。
3若a是第二象限角，P（x,肯）为其终边上一点，且cosa=—x,则sina的值为（）
4
△而R^6rV2八面ADCD
4444
4已知角a的终边经过（2a-3,4-tz）,且coscr<0,sincif>0,则a的取值范围是。
题型四：
同角三角函数的关系
【例4】►!
>已知tana=2.
2sin3cosa99
求：
（1）-；
（2）4sin2a—3sinotcosa~5cosa.
4sma—9cos（z
2、已知：
sina=（且tanavO,试求cosa,tana的值。
3、已知sini-cosa=!
，求下列各式的值.
（1）sinacosa;
（2）sin3cos3a；
（3）sin4a—cos4a.
方法总结》⑴对于sina+cosot,sinacoso,sina—cosa这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求.转化的公式为（sinq土cosQ）2=l±2sinqcosq;⑵关于sin。
，cosa的齐次式，往往化为关于tana的式子・
变式
1已知COS6Z=,二是第二象限角，那么tana的值等于（）。
已知sin<7+coscr=
r且。
＜心,
则tana的值为（
）o
已知tana=2,求
.sincr+coscr/+■
的值
2sinu-3cosa
B3C1
D-3
已知。
是三角形的内角，sin0+cos0=上,
5
D-
5
则sinQ-cos。
的值为（）
177
-B---C-
555
5已知tancr=2,求下列各式的值:
（1）
4sinQ-cos。
3sin。
+5cosa
（2）
sin2a-2sina-cosa-cos2a
4cos2«-3sin2a
（3）—sin2cif+—cos2cr:
（4）sina・cosa。
42
6已知a是第二象限角，化简亟jEl亟为（）
V1—sinaV1+sina
A-2tancr
B2tana
Ctancr
D—tana
题型五三角函数的诱导公式与三角函数线
【例5】T、已知丽=地肾宇Q,求彳半sin板+&Jtan（兀+a）
2、若45°A.cosaC.sinavtana［审题视点］先化简Rot）,再代入求解.
方法总结》
（1）化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
（2）诱导公式的应用原则：
负化正、大化小，化到锐角为终了.
变式
1求下列各式的值。
（1）cos（-60）-sin（-210）;
（2）
2化简:
sin[a+（2n+1）^]+2sin[a—（2n+1）tf]
sin（a—2ni）cos（2g—a）
（〃gZ）
已知心,
求[cos2（〃一。
）+sin（^-+ff）•cos（勿-0）+2sin2（0—几）]的值。
cos（一。
一2万）
⑴求下列三角函数值：
①cos225°;②sin;③sin
6
17k
3271
⑵将下列三角函数化为0°到45°之间角的三角函数:
37E
①sin85°;②cos-71;③tan—;
53
5化简：
（1）sin（-1071°）•sin99°+sin（-171°）«sin（-261°）
（2）1+sin（cr一2k）.sin（7i+a）—2cos2（—a）
e）sin（27i-a）cos（7i+a）
\O/
cos（7i-a）sin（37i-a）sin（-a-7i）
化筒（]）sin3（-a）cos（5〃+a）tan（2;r+a）.
cos'（-a—sin（-a—3"）tan，（a—4"）'
（2）sin2（-a-tt）•cos（^+a）cosa
tan（2勿+a）•cos'（-a—ti）
7求值：
sin（-1320）coslll0+cos（-1020）sin750+tan495。
8求证：
（1）
—1sin（180+a）
sin（-cr）
一3
c°s（54。
一L"F心
cos（k7r-a）cos（k7r+a）1
\l）=-l,A：
eZ
sin[（*+l）7r+a]cos[（R+l）7r+a]
9设/（x）=asin（7rx+a）+bcos（7rx+/?
）+7,a,/3,a,Z?
均为实数，若/（200l）=6,求7*（2008）的值。
10、设a是第四象限的角，试判断sina和tana的大小关系.
11、
已知：
xe0,-,求证:
sinx12\若尤,求sinx>cosx成立的尤的取值范围.
_sinxIcosxltanxIcotxl=
13、函数y=——+——+——+——的值域是.
|sinx|cosx|tanx|cotx
A.{-2,4）B.{-2,0,4}
C.（-2,0,2,4}D.（-4,-2,0,4}
题型六、三角函数的定义域与值域及单调性
【例6]»
（1）求函数y=lgsin2》+仍一%2的定义域.
（2）求函数y=cos2x+sinxf|x|的最大值与最小值.
［审题视点］
（1）由题干知对数的真数大于0,被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求》的范围.
（2）将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决.
方法总结》
（1）求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
（2）求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型的题目：
1形如y=asinx+Z?
cosx+c的三角函数化为y=Asin（cox+（p）+k的形式，再求最值（值域）；
2形如=asix^x+Z?
sinx+c的三角函数，可先设sinx=f,化为关于［的二次函数求值域（最值）；
3形如y=asinxcosx+Z?
（sin尤土cosx）+c的三角函数，可先设f=sin尤土cosx,化为关于■的二次函数求值域（最值）.
【例7】A已知母）=sinx+sing—X）,对［0,兀］,求〃）的单调递增区间.
［审题视点］化为形如y（x）=Asin（x+0）的形式，再求单调区间.
方法总结》求形如y=Asin（x+（p看作一个整体代入v=sinx的相应单调区间内即可，若co为负则要先把co化为正数.
变式
1
（1）求函数y=Vsinx—cosx的定义域.
（2）已知函数y（x）=cos［2x—§）+2sin"—额.sing+额，求函数只工）在区间一令’言上的最大值与最小值.
2、函数加=sin［—2》+项的单调减区间为
3、函数y=—（--tanx44
A[-1,1]B（-oo,-1）（1,+oo）C（-oo,1]D[-1,+oo）
31
4、若函数y=a-bcosx的最大值是,最小值是-求函数y=-4asinbx的最大值与最小值及周期。
5、函数y=l-2sinx的值域是（）。
A[-2,1]B[-1,3]C[0,1]D[-2,2]
6、函数v=3sm（--3.r）,A-e[--,-]的单调递增区间是。
622
7、函数y=Qsinx+l的最大值是3,则它的最小值.
8、设函数y（x）=sin（2x+e）（F<0（2）求函数y=f（x）8
的单调增区间。
题型七三角函数的周期性与对称性及奇偶性
【例8】叩）函数尸cosR+寺图象的对称轴方程可能是（）.
兀c兀—兀c兀
A.尤=—&B.工=一正C.
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