三角函数高三复习docx.docx

1、三角函数高三复习docx校区：科目：_年级： _ 总第_次课学生： 编号: 教师： 日期：三角函数【课标导航】课程目标层次要求了解任意角、弧度制、任意角的三角函数的定义掌握三角函数的基本关系及诱导公式，并掌握三角函数的图像和性质理解并掌握三角恒等变换的相关公式(和差、二倍角、辅助角)能综合应用三角恒等变换的相关公式及三角函数的图像和性质解决问题【知识梳理】第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数.基础知识1.任意角角的概念的推广1按旋转方向不同分为正角、负角、零角.2按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角终边与角a相同的角可写成a+L360o(KZ).(3)弧度制1孤度的角：把长度

2、等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2规定：正角的弧度数为正数，负角的孤度数为负数，零角的孤度数为霎，|a|=, Z是以角a作为圆 心角时所对圆弧的长，,为半径.3用“孤度”做单位来度量角的制度叫做孤度制，比值与所取的r的大小无关,仅与角的大小有关.4孤度与角度的换算：360。=边孤度；180。=互弧度.5弧.长公式：l=ar,扇形面积公式：S扇形=/尸=*。|产.2.任意角的三角函数定义设a是一个任意角，角a的终边上任意一点P(x, y),它与原点的距离为r(r0),那么角a的正弦、 余弦、正切分别是：sina=, cos a=p tan a=,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函

3、数.I I Ji3.三角函数线设角a的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P,过P作皿垂直于 x轴于则点M是点P在x轴上的正射影.由三角函数的定义知,点P的坐标为(cos a, sin a), 即P(cos a, sin a),其中cos a=OM, sin a=MP,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点 的切线与a的终边或其反向延长线相交于点T,则tan a=AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做a 的余弦线、正弦线、正切线.熟记要点一条规律三角函数值在各一象F也的符号规律槐括为二二全鱼M 一三五弦W 一二正切、一囹会弦冬边落在壬轴上的角一的集佥撰极土钮一KU

4、Zh笠边莲在屋上一的鱼的集佥gig三*土场虹/；一冬 边落在坐标一轴上的度的集佥一可格一表丕为* g=号,kwz两个技巧Q)在利用三角一酒数定义时,点一巳可一取终边上任二点如有一可能则一取笠边一与里位圆一的交点一。日三4二定是买值一(2)在醒简一里的二前丕萱式时到用一里位园及三角一此数线是二仝止技与：三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90。的角是概念不同的三类角，第二美是一象一限角, 一第三JL第二类是且回角一.角一度制与孤度制更初用一龚Q?三匹理L进行互化粪回二仝式壬忆采眉的盘量制一度必须二致:丕可 逼&一(3)注意一熟记一。一=3一6。回特殊角一的弧度表丕,一以一方便

5、解题一.第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式.基础知识1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2a+cos2a=l；(2)商数关系：*=tana.2.诱导公式公式一：sin(a+2切:) = sin a, cos(a+2for) = cos a,其中 RGZ.公式二：sin(7i+a) = sin a, cos(兀+a) =cos一 a,tan(兀+a) = tan a.公式三：sin(a) = sin a, cos(a) = cos a.公式四：sin(兀一a) = sin a, cos(兀一a) =cos a.公式五：sin质-a = cos a, cosg-a) = sin a

6、.公式六：sing+a = cos a, cosg+a=-sin a.诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.其中 的奇、偶是指壹的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则函数名称变为相 应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把a看成锐角时原函数值的符号作为 结果的符号.熟记要点一个口诀诱导公式一的一记忆H诀为二奇变偶丕变，符号旋彖队三种方法在柬值一与化茴时，堂用方一法直二cin nQ)弦切互化法一:主卖利用一公式迎一 化成正余弦一 .cos ot(2)和积转换法：.ffl.(sin_0cos _0.2 = 1 2sin

7、 0cos g的关系进行变形、一萤化_ jr(3)与 用：:E：的一变换:.1 = sin2.i9+.COS70=co s(l+ tan2(9) = tan=二:三个防范利用一诱昱公式进行&简逑值时，先利用公一式化佳意角的一二角通数为绥角三角画数,其一步骤一:去项二脱周二化铤一特剧注意通数名称和符号一的确定一(2)在利一用同角一三角一此数的乎方关系时，若无方，卖特规注意刿财符号一(3)洼意垂值与化国卮的结房二股要尽H能真理他整式化：第三节三角函数的图象与性质.基础知识1.“五点法”描图(1)j = sinx的图象在0,2兀上的五个关键点的坐标为(0,0), E，1),(兀，0),俘，一1),

8、(2兀，0).(2)j = cosx的图象在0,2兀上的五个关键点的坐标为(0,1),质，0),(兀，-1),修，0), (2兀，1).2.三角函数的图象和性质函数性质y=sinxy=cos xy=tanx定义域RR兀xxkji-2,炉Z图象j77、与列n4-1。*值域一1,11一1,11R对称性兀对称轴：x=kn.+ikeZ)对称中心：(hr, 0)值6Z)对称轴：x=kn(kEZ)对称中心：脚+壹，0)(虹Z)无对称轴对称中心：俘0*eZ)周期2兀2兀71单调性单调增区间 71 71Ikn，2kn- (kez)；单调减区间 兀 3兀一2饥+万，271 +万(KZ)单调增区间2kn- 兀，2

9、kn(kWZ)；单 调减区间2kjtf 2kit +兀(虹Z)单调增区间兀一堂， kit+ 号(REZ)奇偶性童偶童.熟记要点两条性质(1)周期性2 71 71函数一，三虫垣食以土0)一和一y.Acos(cox+)的一最!L一正用一期一为.函，-v_=tan(yx土夜的逮，正同一期为.函：(2)奇僵性三角函 数一中.一奇通 数二般可化为工三Asm 一级或工三为理亟偶 酒数 二股可 化为一 丁三Acqs一例土勿的一形 式:一 三种方法枣三度函数值域(最值)的方法;Q)利一用sin x cos x 一的直界性;(2)形式夏杂的酒数应七为一X 土4凡(现石士仞土&的形式逐一步分批一士但的范国，一根趣

10、妄弦色数里调一性写. 出画数一的值域一;_(3)换兀法一:把一旬顼一或.cos x看隹二个整体/可化为一点鱼数在一区回上的一值域(散值)一问题一.一第四节两角和与差的正弦 余弦和正切基础知识1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1 )C(a$: cos(q 一&) = cos qcos 方+sin Qsin 8;(2)C(a+$: cos(q + p) = cos_qcos顶一sin jzsin*(3)S(a+g): sin(a +Q) = sin acos jg+cos Qsin必；(4)S(q)： sin( p) = sin qcos 切一cos osin &；. tan a+tsin B

11、(5)T(w)： tan(a+) = i_tanatan/ tan atan g(6)Ts* tan(a”) = i+tanatan2.二倍角的正弦 余弦、正切公式(1)S2： sin2a = 2sin acos a；(2)C2： cos 2a = cos2(zsira = 2cos2a 1 = 1 一2sin2a；,-、e - 2tan a(3)T2a： tan 2E：的一代一换萼二一三个变化(1)变角一:旦的是狗一通题设条件与笙论史所涉一及的鱼,甚壬法通堂是：一配凌一”.(2)变名_：通过变换画数名一称一达迎减2通一数理类的一且的，甚手法通蜜有_：切化弦:北赛与隆赛:(3)变式一:损据一式

12、壬的结才W主征进一行一变一形工更其更贴近基仝公式或某企期莅的且标一，其一壬法通常一有:.“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.【经典例题】题型一：任意角与弧度制【例1】(1)写出终边在直线y=yf3x上的角的集合；若角。的终边与岑角的终边相同，求在0,2兀)内终边与?角的终边相同的角;(3)已知角a是第二象限角，试确定2a、所在的象限.审题视点利用终边相同的角进行表示及判断.方法总结(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们 之间相差360。的整数倍.角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集

13、合可以表示为 卜卜=2*兀一?，也可以表示为.=2知+奇，kwz j.变式1-1 T列各对角中终边相同的角是()。A 生和- + 2teaeZ) B -生和冬20勿工c 122tt1-2若角a、的终边相同，贝Ija-的终边在.A.x轴的非负半轴上B.必轴的非负半轴上C.x轴的非正半轴上D.y轴的非正半轴上1-3当角a与的终边互为反向延长线，则a-p的终边在.A.x轴的非负半轴上B.y轴的非负半轴上C.x轴的非正半轴上D.必轴的非正半轴上1-4时钟经过一小时，时针转过了(A rad6B -rad61-5(1)(3)C rad12下列说法正确的有几个（锐角是第一象限的角；（2） rad12）第一象

14、限的角都是锐角;小于90的角是锐角；（4） 0 90的角是锐角。A1个 B2个 C3个 D4个1-6 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，则角855是第（ ）象限角。A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角1-7下面四个命题中正确的是（A.第一象限的角必是锐角C.终边相同的角必相等B.锐角必是第一象限的角D.第二象限的角必大于第一象限的角1-8已知角a的终边经过点F（-3,心），则与a终边相同的角的集合是.1-9若a是第四象限角,A第一象限角C第三象限角则 180 -t/是（ ）B第二象限角D第四象限角1-10若a与“的终边互为反向延长线，则有( )A a = +

15、 180 B a = /? 180C a = (3 D a = /? +(2 + 1)-180 ,keZ1-11 已水口集合 M =工|工=号 + , Z: e Z j,尸=/尤=号 + ；, k gZjA.M = P B.MYPC.MUP D.M P = 01-12 若 A = aa = k-360 ,kZ；B = aa = kA ,Z ； C = aa = k-90 ,kZ,则下列关系中正确的是A A=B=CA=B CCA B=CD A勿四 C题型二弧长及扇形的面积例2 A已知半径为10的圆。中，弦A3的长为10.(1)求弦A3所对的圆心角a的大小；(2)求所在的扇形的孤长I及孤所在的弓形

16、的面积S.审题视点(1)由已知条件可得ZVIOB是等边三角形，可得圆心角a的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积.方法总结弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用 起来也方便得多.因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式.变式1.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为。2.用弧度制表示：终边在x轴上的角的集合终边在轴上的角的集合终边在坐标轴上的角的集合。3已知扇形周长为10an,面积为6cm2 ,求扇形中心角的弧度数。4已知扇形的面积为S,当扇形的圆心角为多少弧度时，扇形的周长最

17、小？并求出此最小值。题型三：任意角的三角函数【例3】A已知角。的终边经过点P(*, m)(m0)且sin 0= m,试判断角。所在的象限，并求 cos 0和tan 0的值.审题视点根据三角函数定义求机，再求cos。和tan 9.方法总结任意角的三角函数值仅与角a的终边位置有关，而与角a终边上点P的位置无关.若角a 已经给出，则无论点P选择在a终边上的什么位置，角a的三角函数值都是确定的.变式1已知角a的终边经过点P(2, - 3),求角a的正弦、余弦和正切值。 7 TV2(1)已知角 a = ,求 2sina + cosa 的值；3(2)已知角a的终边经过点P(42, -3a)(a 0),求2

18、sina + cosa的值。3若a是第二象限角，P(x,肯)为其终边上一点，且cosa=x ,则sina的值为( )4 而 R 6 r V2 八 面 A D C D 4 4 4 44已知角a的终边经过(2a-3, 4-tz),且coscr0 ,则a的取值范围是。题型四：同角三角函数的关系【例4】!已知tan a=2.2sin3cos a 9 9求：(1) - ； (2)4sin2a3sin otcos a5cos a.4sma9cos(z2、 已知：sina = (且 tanavO ,试求 cos a , tana 的值。3、 已知sini-cosa = !，求下列各式的值.(1)sinaco

19、sa ;(2)sin3cos3a ；(3)sin4 a cos4 a .方法总结对于sina+cosot, sinacoso, sin acos a这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二 式的值可求.转化的公式为(sin q土cos Q)2=l2sin qcos q;关于sin。，cos a的齐次式，往往化为关 于tan a的式子变式1已知 COS6Z =,二是第二象限角，那么tana的值等于( )。已知 sin7 +coscr =r且。心,则tana的值为（)o已知tana = 2,求.sincr + cos cr /+ 的值2sinu-3cosaB 3 C 1D -3已知。是三角形的内角

20、，sin0 + cos0 =上,5D -5则sinQ-cos。的值为（ ）1 7 7-B - C -5 5 55已知tancr = 2,求下列各式的值:(1)4sinQ - cos。3sin。+ 5cosa(2)sin2 a-2sina- cos a - cos2 a4 cos2 -3sin2 a(3) sin2cif +cos2cr : (4) sinacosa。4 26已知a是第二象限角，化简亟 jEl亟 为( )V1 sin a V1 + sin aA -2tancrB 2tanaC tancrD tana题型五三角函数的诱导公式与三角函数线【例5】T、已知丽=地肾宇Q,求彳半 sin板

21、+&Jtan（兀+a）2、若45cr 90,则下式中正确的是().A. cosa sincr tancr B. tana vsina vcoscrC.sina v tan a cos or D. sin a v cos a tan a审题视点先化简Rot）,再代入求解.方法总结(1)化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽 可能简单，能求值的要求出值.(2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了.变式1求下列各式的值。(1) cos(-60 )-sin(-210 ) ; (2)2化简:sina + (2n +1)+ 2sina (2n + 1)t

22、fsin(a 2ni) cos(2g a)( g Z)已知心,求cos2 ( 一。)+ sin(- + ff) cos(勿-0) + 2 sin2 (0 几) 的值。cos (一。一 2万)求下列三角函数值： cos 225 ; sin ; sin617k3271将下列三角函数化为0到45之间角的三角函数:3 7Esin85 ; cos-71; tan;5 35化简：(1)sin(-1071) sin 99 + sin(-171) sin(-261)(2)1 + sin(cr 一 2k) . sin(7i + a) 2 cos2 (a)e) sin(27i - a) cos(7i + a)O/

23、 cos(7i - a) sin(37i - a) sin(-a - 7i)化筒 () sin3(-a)cos(5 + a)tan(2;r + a) .cos (-a sin(-a 3) tan，(a 4)(2)sin2 (-a - tt) cos( + a) cos atan(2勿 + a) cos (-a ti)7 求值：sin(-1320 )coslll0 + cos(-1020 )sin750 + tan495。8求证：(1)1 sin(180 +a)sin(-cr)一 3cs(54。一 L F 心cos( k7r - a) cos(k7r + a) 1l) = -l, A： eZsi

24、n(* + l)7r + a cos(R + l)7r + a9 设 /(x) = asin(7rx + a) + bcos(7rx+/?) + 7 , a, /3, a, Z?均为实数，若 /(200l) = 6 ,求 7*(2008)的值。10、设a是第四象限的角，试判断sina和tana的大小关系.11、已知：xe 0,-,求证 :sinxxcosx成立的尤的取值范围._ sinx Icosxl tanx Icotxl =13、函数y=+的值域是 .|sin x| cosx | tan x| cotxA.-2, 4) B.-2, 0, 4C.(-2, 0, 2, 4 D.(-4, -2,

25、 0, 4题型六、三角函数的定义域与值域及单调性【例6 (1)求函数y=lg sin 2+仍一%2的定义域.(2)求函数y=cos2x+sin xf|x|的最大值与最小值.审题视点(1)由题干知对数的真数大于0,被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求的范围.(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决.方法总结(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象 来求解.(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：1形如y=asin x+Z?cos x+c的三角函数化为y=Asin(cox+(p)+k的形式，再求最值(值域)；

26、2形如=asixx+Z?sinx+c的三角函数，可先设sinx=f,化为关于的二次函数求值域(最值)；3形如y=asin xcos x+Z?(sin尤土cos x) + c的三角函数，可先设f=sin尤土cos x,化为关于的二次函数 求值域(最值).【例7】A已知母)= sinx+singX),对0,兀,求)的单调递增区间.审题视点化为形如y(x)=Asin(x+0)的形式，再求单调区间.方法总结求形如y=Asin(x+(p看作一个整体代入v=sinx的相应 单调区间内即可，若co为负则要先把co化为正数.变式1 (1)求函数y=Vsinxcos x的定义域.(2)已知函数y(x) = co

27、s2x) + 2sin额.sing+额，求函数只工)在区间一令言上的最大值与最小 值.2、函数加= sin2+项的单调减区间为3、 函数y = (-x-)的值域是( )tanx 4 4A -1, 1 B (-oo, -1) (1, +oo) C (-oo, 1 D -1, +oo)314、 若函数y = a-bcosx的最大值是,最小值是-求函数y = -4asinbx的最大值与最小值及周期。5、 函数y = l-2sinx的值域是( )。A -2, 1 B -1, 3 C 0,1 D -2, 26、 函数v = 3sm(-3.r),A-e-,-的单调递增区间是 。6 2 27、 函数y = Qsinx + l的最大值是3,则它的最小值.8、设函数y（x） = sin（2x + e）（F0O）, y = f（x）图像的一条对称轴是直线x = ,求伊;（2）求函数y = f（x） 8的单调增区间。题型七三角函数的周期性与对称性及奇偶性【例8】叩）函数尸cosR+寺图象的对称轴方程可能是（）.兀 c 兀 兀 c 兀A.尤=& B.工=一正 C.