最新中考数学一元二次方程根与系数的关系.docx

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最新中考数学一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系

例1.若0是关于x的方程（m-2）x2+3x+m2-2m-8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．

例2.如果关于x的方程x2+（2k-3）x+k2-3=0的两个实数根的和等于这两个根的倒数和．

求；

（1）k的值；

（2）方程的两个实数根的平方和．

例3.设x1、x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：

（1）（x1-x2）2；

（2）

例4．已知关于x的一元二次方程x2-（8+k）x+8k=0

（1）求证：

无论k取任何实数，方程总有实数根；

（2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长。

1．已知一元二次方程：

①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列说法正确的是（　　）

A．①②都有实数解B.①无实数解，②有实数解

C.①有实数解，②无实数解D.①②都无实数解

2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

A.m＜﹣1B.m＜1C.m＞﹣1D.m＞1

3．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是（　　）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法确定

4．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，下列说法正确的是（　　）

A.当k=0时，方程无解

B.当k=1时，方程有一个实数解

C.当k=﹣1时，方程有两个相等的实数解

D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

5．在下列方程中，有实数根的是（　　）

A．x2+3x+1=0B．

C．x2+2x+3=0D．

6．正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．不能确定

7．若方程组

有一个实数解，则m的值是（　　）

A．B．

C．2D．﹣2

8．一元二次方程x2+x﹣2=0的解为x1、x2，则x1•x2=（　　）

A．1B．﹣1C．2D．﹣2

9．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两根，则x1+x2的值是（　　）

A．﹣2B．2C．3D．1

10．若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（　　）

A．﹣7B．7C．3D．﹣3

11．点P（a，b）是直线y=﹣x+5与双曲线y=的一个交点．则以a、b两数为根的一元二次方程是（　　）

A．x2﹣5x+6=0B．x2+5x+6=0

C．x2﹣5x﹣6=0D．x2+5x﹣6=0

12．一元二次方程x2+2x﹣5=0的两个根的倒数和等于（　　）

A．B．﹣C．D．﹣

13．若

，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是　_________　．

14．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是　_________　．

15．关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1=0有实数根，则k满足的条件是　_________　．

16．已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是　_________　．

17．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：

①x1≠x2；②x1x2＜ab；③

．则正确结论的序号是　_________　．（填上你认为正确结论的所有序号）

18．若两个不等实数m、n满足条件：

m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是　_________　．

19．设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则

的值为　_________　．

20．设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则

=　_________　．

21．已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则

=　_________　．

22．关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根．

（1）求a的最大整数值；

（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求

的值．

23．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

24．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．

（1）求证：

方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．

25．当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根？

26．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求

的值．

27．已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．

28．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，

，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．

（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；

（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．

29．已知：

关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0

（1）求证：

无论k为何实数，方程总有实数根；

（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值．

30．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．

（1）求证：

无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：

（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2

，求m的值，并求出此时方程的两根．

一元二次方程根与系数的关系答案

例1.解：

将x=0代入原方程得，

（m-2）•02+3×0+m2-2m-8=0，

∴m2-2m-8=0；

（m+2）（m-4）=0

可解得m1=-2，或m2=4；

当m=-2时，原方程为-4x2+3x=0，

此时方程的解是x1=0，x2=

当m=4时，原方程为2x2+3x=0．

解得x3=0或x4=-

即此时原方程有两个解，解分别为x1=0，x2=

，x3=0或x4=-

例2．解：

（1）设方程的两根分别为x1，x2，

x1+x2=-（2k-3），x1•x2=k2-3，

∵方程x2+（2k-3）x+k2-3=0的两个实数根，

∴△≥0，即（2k-3）2-4（k2-3）≥0，

解得k≤

；

而x1+x2=

，

∴（x1+x2）（x1•x2-1）=0，

∴2k-3=0或k2-3-1=0，

解得k1=

，k2=2，k3=-2，

而k≤

；

∴k1=

，k2=-2；

（2）x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2

=（2k-3）2-2（k2-3）

=2k2-12k+15

当k=

，原式=

；

当k=-2，原式=47．

例3.解：

根据根与系数的关系可得：

x1+x2=-2，x1•x2=−

（1）（x1-x2）2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+2x1x2-4x1x2=（x1+x2）2-4x1x2=（−2）2−4×（−

）

=10．

2）

=x1x2+1+1+

=（−

）+2+

=

例4．解：

（1）∵△=（8+k）2-4×8k

=（k-8）2，

∵（k-8）2，≥0，

∴△≥0，

∴无论k取任何实数，方程总有实数根；

（2）解方程x2-（8+k）x+8k=0得x1=k，x2=8，

①当腰长为5时，则k=5，

∴周长=5+5+8=18；

②当底边为5时，

∴x1=x2，

∴k=8，

∴周长=8+8+5=21．

1．解：

方程①的判别式△=4﹣12=﹣8，则①没有实数解；

方程②的判别式△=4+12=20，则②有两个实数解．

故选B．

2．解：

根据题意得△=22﹣4m＞0，

解得m＜1．

故选B．

3．解：

根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，b＜0，

则一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×（k﹣1）=5﹣4k＞0，

则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是有两个不相等的实数根，

故选：

C．

4．解：

关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，

A、当k=0时，x﹣1=0，则x=1，故此选项错误；

B、当k=1时，x2﹣1=0方程有两个实数解，故此选项错误；

C、当k=﹣1时，﹣x2+2x﹣1=0，则（x﹣1）2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；

D、由C得此选项错误．

故选：

C．

5．解：

A、△=9﹣4=5＞0，方程有实数根；

B、算术平方根不能为负数，故错误；

C、△=4﹣12=﹣8＜0，方程无实数根；

D、化简分式方程后，求得x=1，检验后，为增根，故原分式方程无解．

故选A．

6．解：

由题意知，（a+1）＜0，

解得a＜﹣1，

∴﹣4a＞4．

因为方程x2+（1﹣2a）x+a2=0的△=（1﹣2a）2﹣4a2=1﹣4a＞5＞0，

所以方程有两个不相等的实数根．

故选A．

7．解：

由题意可得方程（2x+m）2=4x

整理得4x2+（4m﹣4）x+m2=0

即△=（4m﹣4）2﹣16m2=0，解得m=．

故选A

8．解：

根据题意得x1•x2=

=﹣2．

故选D．

9.解：

由一元二次方程x2﹣3x+2=0，

∴x1+x2=3，

故选C．

10.解：

∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，

∴m+n=5，mn=﹣2，

∴m+n﹣mn=5﹣（﹣2）=7．

故选B．

11．解：

∵点P（a，b）是直线y=﹣x+5与双曲线y=的一个交点．

∴﹣a+5=b，b=整理得a+b=5，ab=6．

设所求一元二次方程x2+mx+c=0．

又∵a、b两数为所求一元二次方程的两根．

∴a+b=﹣m，ab=c

∴m=﹣5，c=6．

因此所求方程为x2﹣5x+6=0．

故选A

12．解：

设α，β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根．

则有α+β=﹣2，αβ=﹣5．

∴

+

=

=．

故选A

13．解：

∵

，

∴b﹣1=0，

=0，

解得，b=1，a=4；

又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，

∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0，

即16﹣4k≥0，且k≠0，

解得，k≤4且k≠0；

故答案为：

k≤4且k≠0．

14．解：

∵a=k，b=2（k+1），c=k﹣1，

∴△=[2（k+1）]2﹣4×k×（k﹣1）=12k+4≥0，

解得：

k≥﹣，

∵原方程是一元二次方程，

∴k≠0．

故本题答案为：

k≥﹣，且k≠0．

15．解：

①当关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1=0是一元一次方程时，

k﹣2=0，

解得，k=2；

②当（k﹣2）x2﹣4x+1=0是一元二次方程时，

△=16﹣4×（k﹣2）≥0，且k﹣2≠0，

解得，k≤6且k≠2；

综合①②知，k满足的条件是k≤6．

故答案是：

k≤6．

16．解