刘徽注论类和用类.docx

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刘徽注论类和用类

论中国逻辑与中国传统数学

作者：

刘邦凡2005-09-0323:

26:

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摘要:

中国传统数学受到了中国逻辑尤其是墨家逻辑的影响，形成了自己的推理方法体系——以“以类合类”为方法论基础，以“类”和“分类”为推理的核心成分，以“推类”为主导推理范式。

这一方法体系，在相当长的时期内使中国传统数学处于世界的领先地位，因此，可以下这样的结论：

中国逻辑不是阻碍中国传统数学进一步发展的因素，中国传统数学自身逻辑思路也不是制约中国传统数学发展的原因。

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1.什么是“中国逻辑”

我们所谓的中国逻辑，就是指“中国古代逻辑”，换句话说，就是指以亚里士多德逻辑为传统的西方逻辑传入中国之前，未受其影响的中国传统逻辑。

中国逻辑的内容是很丰富的，但总括起来，不外有三，一是墨家逻辑，二是正名逻辑，三是论证逻辑，但处于主体地位的还是墨家逻辑，中国逻辑的基本内容也主要体现在墨家逻辑之中。

正名逻辑，以名家、儒家的“正名”思想与推知方法为主线，直指宋明理学的“正名”逻辑思想与方法。

论证逻辑，以王充的论证理论和方法为主体，主要是关于认识事物的辨证思维与方法。

墨家逻辑，以“类”概念和“推类”为基本方法的主线索，经墨家的集之大成，也就是“墨家辩学中包含的有关推理的思想与学说”[1]。

总的说来，在中国逻辑发展史上，甚至于在中国文化发展史上，墨家逻辑对中国先秦诸子百家直至汉晋思想都曾产生过全面而深刻的影响。

如果说西方传统逻辑是以亚里士多德逻辑为代表、印度逻辑是以因明为代表的话，那么，也可以肯定地说，中国逻辑以墨家逻辑为代表。

墨家逻辑是中国逻辑成就最高的主体部分，中国逻辑的主要推理成分是“名、辞、说”，主导推理范式是“推类”。

什么是“名”？

在墨家那里，名与实相对时，是名称或语词；名与辞、说相联时，其中也含有了类似词项的意义。

什么是“辞”？

荀子对“辞”作了明确的界定：

“辞也者，兼异实名以论一意也”（《正名》）。

意思就是：

辞是联结不同的名来达完整意义（思想或判定、判断）的语句。

什么是“说”？

“说”就是“辩说”：

“辩说也者，不异实名以喻动静之道也。

”

什么是“推类”？

首先，“推类”首先是以“类”为基础。

一方面，中国传统文化的“类”概念，不仅仅指“相似”、“相‘象’”、“有”、“相同”或“相等”，而且“相异”或“不相同”或“不有”的“不类”也是“不类”之类。

张山、李市、王悟都是能制造工具的，所以他们是一类——“人”；猪儿、狗儿、猫儿就是“非人类”的一类。

简单地说，相同是类，相异也是类。

另一方面，必须指出，“类”概念在很多情况下，是作为行动与行为来实现其义的，是作为一个动词出现在具体语句中。

同时，在中国古代文化文献，“类”有诸如“推类”、“类推”、“比类”、“类比”、“类同”等多种含义。

总之，在中国传统文化中，“类”与同异、有无的认识联系在一起。

类，首先是事物间同异关系的概括，但主要指“类别”、“类同”或“不类”。

其次，“推”是以“类”为基础的推理，但不等同类比推理。

什么是“推”？

墨家已经说得十分清楚：

“在诸其所然未者然，说在于是推之”。

也就是说，“推”是从已知到未知的思维过程。

中国古代的“推类”思想在中国传统文化的历史领域中，展现了既有区别又有联系的丰富多彩的形式，有系统的、属性的平行推类、形态推类、属性推类，有同构对应（天人同构、心物同构、人神同构）的以类度类，也有将心比心、以己度物（人）的推类，更有因果关系的因果推类，有同类相推（以类取）、也有异类相推（以类予）等。

因此，中国传统文化中的“推类”不等同于西方传统逻辑的类比推理，所谓的类比推理是单向性的，即基本形式就是“从个别到个别、从特殊到特殊”，依据的只是事实、实指、同类，而“推类”是多维多向的，是一种事物现象按照另一事物来理解的综合思维过程，这样综合思维既有非理性的比附、同构，更有理性的因果分析、演绎论证。

与“推类”相比较，“类比”概念很少在中国古代文献中出现，“类比”是一个现今使用的通常用语，是“类比方法”的缩语，其涵义不外是指：

由个别场合的知识推出另一个有关个别场合的知识的思维方法。

因此，“推类”不等于“类比”或“比类”。

总之，所谓“推类”，是一种以类为基础，从已知到未知的思维过程，这种思维过程（思维模式）在形式上具有类比推理的特征，在内容上则更具有演绎推理的性质，是一种中国传统文化所固有的综合推理形式。

2.什么是中国传统数学

何谓中国传统数学？

中国传统数学，主要指明末（16世纪末）中西数学交汇前在中国建立发展起来的那部分中国数学，同时也包括这部分中国数学在明末到20世纪初的继续。

它大致经历了初创（秦汉及以前，约公元前2700年到公元200年）、理论体系的形成（三国两晋南北朝）、缓慢发展与数学普及时期（隋唐前后），理论的充实与发展（宋元）、衰退与转型（明及以后）五个阶段，形成了独具特色的思想体系。

中国传统数学初以算筹为主要算具，从计算方法、研究方法到基本理论独具一格、自成体系，因此也简称中国传统数学为“中算”[2]。

李俨先生在《中算史论丛》[3]、严敦杰先生在《中学课程中的中算史材料》等著作中较早使用“中算”一词。

不过，现今“中算”一词还包括用中国传统数学的手段来处理从外国引进的数学新知识和新理论。

这样，“中算”包括的范围要比中国传统数学广而大，明清时期的许多数学家所做的工作大多属于这样情况。

因此，中算不等于中国传统数学，中算家也不一定是中国传统数学家。

3.“以类合类”是中国传统数学的方法论基础，“推类”是中国传统数学主导推理范式

（1）“推类”思想在先秦与秦汉数学已经初步形成

秦汉时期既是中国古代数学形成时期，也是初步繁荣、独立成系的第一个高潮时期。

经过我们对《周髀算经》、《筭数书》、《九章算术》等先秦与秦汉数学文献的初步解读，可以断定：

秦汉时期的中国传统数学在推理方法和逻辑思维上已经接近了同期墨家逻辑的水平，或者说，秦汉时期的中国传统数学在推理方法和逻辑思维方面受到了墨家逻辑的影响或接受了墨家逻辑的观点与方法。

这是因为以墨家逻辑为主体的中国逻辑，其基本推理类型是“推类”，而“推类”思想与方法在先秦与秦汉数学文献中得到广泛、深刻的应用，形成了自己初步的逻辑思路——类以合类。

（2）三国两晋南北朝数学的“推类”思想已经高度发展

从三国时代到隋文帝统一中国之前，尽管这段时期社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展却速度惊人，出现了中国传统数学的第二次高潮：

不仅出现了赵爽、刘徽、祖氏父子这样的数学大家，而且出现了多种流传后世的算学著作，《算经十书》有九部是魏晋南北朝时期撰注或编写的，即：

赵君卿的《周髀算经注》，刘徽的《九章算术注》和《海岛算经》，《孙子算经》，《夏侯阳算经》，《张丘建算经》，甄鸾的《五曹算经》和《五经算术》，祖冲之、祖暅的《缀术》。

魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。

其中赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。

赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一，并对《周髀算经》做了详尽的注释。

刘徽注释《九章算术》，不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，且在论述过程中多有创新，更撰写《海岛算经》，应用重差术解决有关测量的问题。

刘徽其中一项重要的工作是创立割圆术，为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。

三国两晋南北朝时期是中国传统数学发展的第二次高潮，不仅包括数学理论，而且包括数学方法，这可以从刘徽注的推类思想得到说明。

刘徽《九章算术注》（简称“刘徽注”），不仅在数学理论方面了代表中国传统数学第二次高潮的最高水平，而且在数学方法方面也代表了那个时代的最高水平，尤其奠定了中国传统数学自身逻辑思路的基本框架——以“名”、“辞”、“理”、“类”为基本的数学推理成分，以“推类”为主导推理范式。

刘徽注不仅对“名”、“辞”、“理”、“故”有深刻的论述与应用，而且对“推”与“类”更有直接而深入的分析与应用。

刘徽用“推”。

刘徽注使用了大量的“推”字，约20多处。

从刘徽注的“推”字使用来看，用“推”之意与墨家逻辑的理解相一致。

刘徽在“方田章”“圆田”后对“半周半径相乘地积步”后的注释有：

“由此言之，其用博矣。

谨按图验，更造密率。

恐空设法，数昧而难譬。

故置诸检括，谨其记注焉”[4]。

这句话可理解为：

由此说来，圆周率的用途是很广博的。

严格按图来证明，推算出更加精密的圆周率。

惟恐后人说我凭空设置新的圆周率，让人不知数从来，理从何始，使人无法证明。

因此加以校正并详加说明并记录。

由此看来，此处“譬”甚合《小取》“譬”义：

“举他物而以明之。

”

刘徽注论“类”和用“类”。

据初步统计，刘徽注（包括“序”）有“类”字的文段不少于18段。

分析这些文段可知，除文段“生丝以类为章”一句中的“类”似为“斤数”之误外，其它各文段“类”字其涵义不外有：

种类（类别）、分类、类推（推类）、相同、有同、类同等。

而在墨家逻辑那里，“类”与同异、有无的认识联系在一起。

类，首先是事物间同异关系的概括，但主要指“类别”、“类同”或“不类”。

这说明，刘徽对“类”概念应用与墨家逻辑的理解是一致的。

也表明刘徽对墨家“类”概念的熟悉。

在刘徽注中，中国逻辑的“类”之思想与方法被刘徽继承和发扬。

主要体现在以下两个方面。

一方面，对数学概念的重新整理分类。

刘徽在“方以类聚，物以群分”的数学分类思想指导下，对数学概念进行分类。

如把数分为整数与分数，进而按不同的分类单位又对分数进行分类，提出“数同类者无远，数异类者无近”的思想；又如把数分为正数和负数，有所谓“其异名也，非其类者，犹无对也”。

再如，把图形分为直线形和曲线形两类，即“凡物类形象，不圆则方”，进而还提出“令出入相补，各从其类”，“朱青各以其类”，“令颠倒相补，各以类合”的思想，把全等的圆形看成一类，不全等的圆形看一类。

另一方面，对数学方法进行分类。

对数学方法的归类与分析，是刘徽数学成就的重要方面。

首先，刘徽对数学方法的同一性进行了高度概括，把今有术看成统属经率术、衰分术、返衰术、均输术等几个重要数学方法和许多问题求解的“都术”。

第二，刘徽认识并分析了数学方法的层次性，例如指出“今有术比衰分术等方法高一级”[5]。

第三，分析许多问题在解法上的同一性并归为同一类问题，如，均输章第20-26题分别是凫雁、长安至齐、或瓦、矫矢、假田、程种、五渠等其它等不同对象的问题，刘徽分析说[6]：

成乱之意“亦凫雁同术，牝、牡瓦相并，犹如凫雁日飞相并也”，矫矢一题“齐其钱，同其亩，亦如凫雁术也”，程耕一题术文“犹凫雁术也”，五渠共池一题术文“犹矫矢之术也”，因此“自凫雁至此，其为同齐有二术焉，可随率宜也”，意思是说哲学问题都是同一类问题。

第四，根据数学方法的共通性指出一些具体算法的同一性，例如，勾股章“引蒹赴岸”、“系索”、“倚木于恒”、“圆材求径”、“竹高折地”、“甲乙同立”、“甲乙出邑”等问题都有不同的应用对象，并且都是具体的计算方法，但刘徽将它们归结到勾股问题，因为前五个问题全是已知勾与股弦差求股、弦的问题[7]。

推类是刘徽注“析理以辞、解体用图”的基础。

刘徽对《九章算术》的作注所依宗旨是：

“析理以辞，解体用图”。

而这一宗旨是当时和前期数学研究范式的文化内涵的高度抽象与高度概括。

如何“析理”，从《周髀算经》开始，人们一致认为，“贵约”。

《周髀算经》中有：

“夫道术，言约而用博者，智类之明”[8]，嵇康则明确提出“析理贵约而尽情，何尝浮秽而迂诞哉？

”（《明胆论》）刘徽对数学析理则作出深刻的论证：

“又所析理以辞，解体用图。

庶亦约而能周，通而不黩”[9]，“至于此类，苟务其成，然或失之，不可谓要约”[10]。

那么“贵约”的技术要点在于什么，嵇康认为在于“触类而理知”，他说：

“故善求者，观物于微，触类而长，不以已为度也”（《答阮侃释难宅天吉凶摄生论》）。

“触类而长，所致非一”（《琴赋》），“夫至物微妙，可以理知，难以目识”（《养生论》）。

刘徽则认为在于“触类而情推，”他说，“触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入”[11]，“教而求穷之者，谓以情推，不用筹算”[12]。

由此看来，刘徽与嵇康等人对析理有共识：

析理在于贵约，贵约在于推类。

以“类”为基础的数学证明。

刘徽《九章算术注》对许多数学命题、公式或结论进行了证明，而这些的一个重要特点就是：

以“类”为基础，证明过程的基本方式与基本原则是“以类合类”。

如刘徽对羡除公式的证明就充分体现了这一特点。

广泛而深刻应用“类以合类”的推类基本方法。

刘徽注一个基本的出发点和重点是论“率”和用“率”，刘徽这样注重“率”之应用以及强调以“率”为算之纲纪，是有深刻用意的：

“以率为类”、“以类合类”的数学逻辑思路是刘徽注基本演算模式和主导推理范式。

从我们上面的论述来看，数学理论不仅在此时期到达了前所未有的高度，而且在数学方法方面也达到了历史的最高水平，尤其是代表数学方法脊梁与主体的自身逻辑思路，到达了我国传统数学的最高水平，确立了“以类合类”的“推类”思想与方法作为中国传统逻辑思路的主导推理范式。

因此，可以这么说，刘徽《九章算术注》确立了《九章算术》作为中国传统数学的经典地位和“经术”地位，不仅仅包括数学理论方面，更主要包括自身逻辑思路的形成与确立。

由此，刘徽的逻辑思想和墨家的逻辑思想有直接联系。

甚至，“在数学中贯彻逻辑方法时，刘徽在许多方面超过了墨家。

墨家只提出了一些数学命题，但没有进行证明，刘徽则不同，他用逻辑方法定义了《九章算术》中‘约定俗成’的概念，证明了所有的‘术’”[13]。

当然，刘徽在一些方面也不如墨家，尤其是在对数学理论的抽象方面远没有超过墨家的水平，如在数学命题的表现形式上，墨家要简练概括的多。

（3）“推类”仍然是宋元数学的基本推理范式

宋元时期是中国传统数学发展的最后一次高潮，不仅在数学思想与数学理论上有重大的突破，而且在数学方法和数学思维上也有重要创新。

这样的创新集中表现为：

在继承中国传统数学“推类”思维模式中，开始向更具演绎性的程序思维模式或机器思维模式转型。

不论是从秦九韶的工作，还是从贾宪、朱世杰的工作都能看出这一点。

但是，我们必须看到，宋元数学的逻辑思路从总体上没有超过刘徽注的水平。

尽管如此，可以肯定的是——从杨辉和李冶的工作来看，中国传统数学的“类以合类”的推类方法不仅得到继承和发扬，而且中国传统数学在此时也开始有走向纯粹演绎化的趋势。

这样的趋势未能得到进一步的发展，这只能解释为社会历史的选择，而不是数学自身的问题。

《数书九章》是继《九章算术》及刘徽注之后又一划时代著作，其数学成就不论是在理论上还是在方法上都有很多值得关注的方面。

在数学方法方面，不但较好地继承了九章算术以来形成的中国传统数学逻辑思路，而且卓有创新。

在继承方面，秦九韶仍然以“推类”作为数学推理的基本形式与方法。

这可以从以下几点得到证实。

对“类”概念的广泛使用

在《数书九章》全篇中，“类”字被使用100多次。

在100多个“类”字中，其义不外有三，一是“类别”、“类型”，二是“分类”、“归类”，三是“推类”、“类推”或以“类”为推。

《数书九章》大量使用“类”字，蕴涵作者（秦九韶）的深刻意图：

以“类”作为数学分析，进行数学演绎与归纳的最基本的思维形式。

可以肯定地说，秦九韶在建构《数书九章》的内容框架与思想演绎时无不以“类”为其思维形式的基本元素，换句现在通用话言之，“类”是《数书九章》最基本逻辑的推理成分。

为什么，秦九韶以“类”为轴而阐述其数学思想与数学方法呢？

其因大致有二：

一是深受前辈数家经典（尤其是刘徽及其《九章算术注》）的影响，二是中国逻辑的“类”与“推类”传统文化影响，尤其是深受易家“推类”逻辑思想的影响。

对“推”的广泛应用

《数书九章》中使用频率很高的另一重要概念就是“推”。

《数书九章》中使用“推”字不少于30次。

墨家逻辑对“推”的理解是明确的，“推”是由“所然”进到“未然”的过程。

从《数书九章》的“推”字使用来看，“推”字不仅只有“推导”、“推出”的含义，而且蕴涵墨家之“推”的逻辑性质。

实现了“推类”方法的程序化

秦九韶在写作《数书九章》时，对其数学体系的建构有深刻思考，对其数学论证方法与技术的使用有详尽考察和慎密选择，其宗旨为“归类”与“推类”。

秦九韶在《数书九章序》中就说：

“周教六艺；数实成之，学士大夫，所从未尚矣。

其用本太虚生一，而周流无穷。

大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物，讵害以浅近窥哉？

”[14]，意思就是说，数学是周教六艺（礼、乐、射、御、书、数）之一，历来为学者官员所重视，为求认识世界规律而生数学。

而数学有广泛用途，大可用于认识自然、理解人生，小则可以经营事务，分类万物。

岂容说数学是一门浅近之识呢？

秦九韶在《数书九章序》中还说：

“今数术之书，尚三十余家。

天象历度、谓之缀术；太乙、壬、甲，谓之三式，皆曰内算，言其秘也。

九章所载，即周官九数，系于方圆者为叀术，皆曰外算，对内而言也。

其用相通，不可歧二。

独大衍法不载九章，未能推之者。

历家演法颇用之，以为方程者，误也”[15]。

在这里，秦九韶对当时30多数家进行了比较分析，分两大类，一大类是“内算”，“内算”又分为两类，一是用于天象历法的“缀术”，二是用于占卜卦辞的“太乙、六壬、遁甲”；另一大类是“内算”，包括《九章算术》中的所载的“九数”以及有关测量方位，天高地远的“叀术”。

另外，未载于《九章算术》的“大衍术”，没有人能将其算法程序推演出来，应用“大衍术”数家很多，但却误为以“方程”。

秦九韶在《数书九章序》中继续说：

“所谓通神明，顺性命，固肤末于见；若其小者，窃尝设为问答，以拟于用。

积多而惜其弃，因取八十一题，，立术具草，间以图发之。

”秦九韶在此阐明了《数书九章》简章结构与内容体系的思维源由：

“通神明，顺性命”事小，但从经营事务、分类万物来看，归类算法、厘为九类以备其用，却是非常重要的。

4.结语

总体而论，一方面，中国逻辑对中国传统数学产生了深刻的积极影响，甚至可以说中国逻辑的“推类”思想与方法推动了中国传统数学的持续发展；另一方面，中国传统数学形成了以“推类”为主导推理范式的自身逻辑思路，并且持续到宋元时期。

事实上，演绎性的“推类”在刘徽时代就已经发展很高的水平，到宋元时代，从秦九韶的工作来看，此时的数学思维与数学推理已经开始具有公理化特征。

明清数学的落后，究其原因，不在于数学自身，而在于社会原因：

经济落后、社会动荡、民不聊生、封建经济，而且明清时期“八股取仕”之政策直接阻碍了中国传统数学的发展。

所谓“中国传统思维方式束缚中国传统数学在明代以后进一步发展”的假定是值得怀疑的。

中国传统数学受到了中国逻辑尤其是墨家逻辑的影响，形成了自己的推理方法体系——以“类以合类”为方法论基础，以“类”和“分类”为推理的核心成分，以“推类”为主导推理范式。

这一方法体系，在相当长的时期内使中国传统数学处于世界的领先地位，因此，可以下这样的结论：

中国逻辑不是阻碍中国传统数学进一步发展的因素，中国传统数学自身逻辑思路也不是制约中国传统数学发展的原因。

从中国逻辑的角度或层面来省视中国传统数学是具有挑战性的工作，通过我们的观察也证实了钱宝琮、杜石然二先生早已作出的判断：

“在我国古代数学中确定有着极为丰富的逻辑史的材料，中国古代数学是自有其逻辑系统的”[16]。

OntheChineseLogicandtheMathematicsofAncientChina

Liubangfan

（Collegeofhumanities–lawYanshanUniversity，QinhuangdaoHebeiProv.China，066004）

Abstract:

ThetraditionalChinesemathematicshadbeeninfluencedbyChineselogic,especiallyMohistlogic,andformeditsownreasoningsystem<[--]><[--]><[--]>with“usingLEI（type）tomatchLEI（type）”asthefoundation,andLEI（analogy）asthecore,TUILEIastheleadingreasoningmode.ThissystemofmethodshadputtraditionalChinesemathematicsleading theworldforalongtime.Consequently,wecandrawthisconclusion:

ChineselogicwasnottheelementthathinderedfurtherdevelopmentoftraditionalChinesemathematics,andthelogicpathoftraditionalChinesemathematicsoneselflogicwasnotthereasonofrestrictingthedevelopmentoftraditionalChinesemathematics.

Keywords：

ChineseLogic；traditionalChinesemathematics；Mohist；usingLEI（type）matchingLEI Ninechaptersonmathematicalprocedures。

参考文献：

[1]崔清田.墨家逻辑与亚里士多德的比较研究[J].南开学报（哲学社会科学版）.2002.06.111.

[2]沈康身.中算导论[M].上海教育出版社，1996.18.

[3]李俨.中算史论丛（第一集）、（第二集）[C].北京、中国科学院.1954.

[4]刘徽.九章算术注[A].中国历代算学集成（靖玉树编勘）.济南、山东人民出版社.1994.62.

[5]、[6]、[7]郭书春.古代世界数学泰斗刘徽[M].济南、山东科技出版社.1992.272～273.

[8]周髀算经[A].中国历代算学集成（靖玉树编勘）.济南、山东人民出版社.1994.19.

[9]、[10]、[11]、[12]刘徽.九章算术注[A].中国历代算学集成（靖玉树编勘）.济南、山东人民出版社.序、方程注、商功注.

[13]代钦.儒家思想与中国传统数学[M].北京、商务印书馆.2003.143～144；

[14]、[15]秦九韶.数书九章[A].中国历代算学集成（靖玉树编勘）.济南：

山东人民出版社.1994.467～468.

[16]钱宝琮，杜石然.试论中国古代数学中的逻辑思想[N].光明日报.1961.5.29.

（发表在2005年《自然辩证法研究》）