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正交矩阵的作用

引言

正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性

质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用，也推动了其它学

科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.

首先，我们来了解一下正交矩阵的定义.

一.正交矩阵的定义及性质

（一）正交矩阵的定义

定义1n阶实矩阵A,若满足AA=E，则称A为正交矩阵.

定义2n阶实矩阵A,若满足aaJe，则称A为正交矩阵.

定义3n阶实矩阵A,若满足a=a」，则称A为正交矩阵.

定义4n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵.

以上四个定义是等价定义.

（二）正交矩阵的性质

设A为正交矩阵，它有如下的主要性质.

<1>IAI=±1,A1存在，并且A也为正交矩阵；

<2>A,A也是正交矩阵；

当IAI=1时,A'=A，即aj=A；

当IAI=-1时，A=_A,即aj=-Aij.

<3>若B也是正交矩阵，则AB,AB,AB,A」B,AB」都为正交

矩阵.

证明<1>显然A=±1

（A丄）丄A，所以A^也是正交矩阵•

当A=1时,a"=A*，即aq=Aj

当’A=—1时，a"=-A*，即a^=-Aj

所以A*为正交矩阵.

<3>由A、A」,B、B」可知

（AB）二BA二B°A丄=（AB）°

故AB为正交矩阵.由<1>,<2>推知AB,AB,AJB,AB―均为

正交矩阵•

正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1,且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果•是它的特征值，那么1也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了.

运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.

二.正交矩阵的作用

（一）正交矩阵在线性代数中的作用

在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为

Givens矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.

设向量W=3,W2,…，Wn），令s二wf■wj（j■i），为初等旋转矩阵.

Tij

c」/，dU，则称n阶矩阵

初等旋转矩阵Tj，是由向量W的第i,j两个元素定义的，

与单位矩阵只在第i,j行和第i,j列相应的四个元素上有差别•

设J是由向量W定义的初等旋转矩阵（ji），则有如下的性质：

〈1〉\是正交矩阵;

〈2〉设TjW=（u1,u2,Un）■

贝S有Ui=s,Uj=O,Uk=Wk（k=i,j）；

〈3〉用二左乘任一矩阵A,t^A只改变A的第i行和j行元素（用「右乘任一矩阵A,Ar。

只改变A的第i列和j列元素）.

证明〈1〉》c2+d2=（Wi*Wjp[=1，故TjTij=E,L是正交矩阵•

〈2〉由Tj的定义知，用Tj左乘向量W,只改变W的第i,j两个元素，且

所以Tj左乘W，使TjW的第i个分量非负，第j个分量为0,其

余分量不变•

〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论.

引理1任何n阶实非奇异矩阵A=何人.，可通过左连乘

初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外

都是正的•

定理1设P是n阶正交矩阵

1）若P=1，则P可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，

即p二PR…Pr；

若P|=-1，则P可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积

再右乘以矩阵E』，即PuPR—PrE」，其中P（i=1,2,T）是初等旋转矩阵.

证明由于P是n阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵S「S2,…Sr使SrSr」…S?

S’P二R这里R是n阶上三角阵，而且R的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有

P=沁2SrR

（1）

由P是正交矩阵和

（1）式得

PP=RSrS&SrR=E即RR=E

（2）

rii>0（i=1,2,m-1）

rnn

由上式得

rij

二j,

=j=n且

i,j

二1,2,,n_1

P=1

所以R

当P=1

于是由

（1）（3）式得

记R二S「（i=1,2,…，r）,R是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.

引理2设人=9几％，秩（A）=m,则A=P其中P是n1°丿

阶正交矩阵，R是m阶上三角阵，°是（n-m）m零矩阵.

利用以上的结论可得:

定理2设A=：

9几m，秩（A=m，则A可以通过左连乘初

是（n_m）m矩阵.

m阶上三角阵，又根据定理1知:

是初等旋转矩阵.

广R、

2丿

2」

Pr片A=E

A二P1P2PrE』

显然，R是m阶上三角阵，当门=口时只与R1除最后一行对应元

素绝对值相等、符号相反外，其余元素对应相等.当时nm时,

anm

是欧氏空间Rn的子空间Vm的一组基，记

''oo■■6o

d"°12m

a21a22a2m

A=（O（iO（2…5）=

■■■A■■■■<■-■<■-■<■

Ianian2■八anmy

是秩m为的nm的矩阵.

若A=何）nm满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵

心“，使汕吓飞,且E二PP=（Pi，P2，,Pr）（Pr】巴，Pi）

rrrrrrrr/r\

.RR丄P2RE=PrP2R二P（5）

由（4）（5）两式知，对A、E做同样的旋转变换，在把

A化为R的同时，就将E化成了P*，而P的前m个列向量属I。

丿

于子空间vm.

综上所述可得化欧氏空间的子空间Vm的一组基：

：

1,：

2,,：

m：

i二何忌,,an）i=1,2,,m为一组标准正交基的方法为：

<1>由已知基〉1匸2，…Cm为列向量构成矩阵A=2ij）nm；

<2>对矩阵（A^E）施行初等旋转变换，化A为R同时EI。

丿

就被化为正交矩阵P•，这里R是m阶上三角阵；

<3>取P的前m个列向量便可得Vm的一组标准正交基.

显然，上述方法是求子空间Vm的一组标准正交基的另一

种方法.

F面，我们通过实例说明此方法的应用

：

・3=（-1,0,0,1）•为

例求以向量-.^=（-1,1,0,0）2=（-1,0,1,0）

基的向量空间V3的一组标准正交基.

解矩阵

得T34T23口（A壬）

（二）正交矩阵在拓扑和近世代数中的作用

全体n阶正交矩阵作成的集合，记为。

⑴，从代数和拓扑的角度来看，我们可以证明它构成一拓扑群，并且进一步证明它是不连通的紧致lie群.

（1）0（n）构成拓扑群

在证明。

⑴构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念•定义5设G是任一集合，山是G的子集构成的子集族，且满足：

1°集合G与空集G属于山；

2°山中任意个集的并集属于山；

3°山中任意有穷个集的交集属于山；

称山是G上的一个拓扑，集合G上定义了拓扑山，称G是一个拓扑空间•

定义6设（G,）是一个代数体系，若满足：

1-a,b,c・G,（ab）_c二a_（bt）；

2~aG,TeG,ste$=a€=a；

3_a，G,_aG,staa=a-a=e；

则称G是一个群.

定义7如果G是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的

乘法运算U：

GG—；G；

求逆运算V：

G>G；

是连续映射，就称G为拓扑群.

根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体n阶正交矩阵作成的集合Og构成拓扑群.

〈1〉全体n阶正交矩阵作成的集合O（n）构成一拓扑空间.

〈2〉全体n阶正交矩阵作成的集合O（n）构成一群.

〈3〉全体n阶正交矩阵作成的集合O（n）构成一拓扑群.

证明〈1〉设M表示所有具有实元素的n阶矩阵作成的集合，以A=@）表示M的一个代表元素•我们可以把M等同于n2维欧氏空间En2，也就是将A=®）对应于En2的点佝-ajj,aia21月二2a2a…3,mna册是点集En的子集族，则E"和门都属于山，山中任意个集的并集属于山，山中有穷个集的交集也属于山，可以验证E’构成一拓扑空间，从而M成为一个拓扑空间.0（n）是所有具有实元素的n阶正交矩阵，所以是M的子集合，于是由M的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑，从而O（n）构成M的一个子拓扑空间.

〈2〉1。

-A,B,C・0（n）由于矩阵的乘法满足结合律，所以

（AB）C二A（BC）

o—

2E「O（n）,St_AO（n）,EnA二AEn=A

3°一AO（n）,A°=A：

staJa=AA=AA，=AA=E

所以正交矩阵作成的集合Og对于乘法运算可构成一群.

〈3〉对于〈1〉中的拓扑空间M的拓扑，定义矩阵乘法

设-A=何）,B=（bij），则乘积m（A,B）的第ij个元素是vaikbkj•

k-1

现在M具有乘积空间E1E1'：

■■:

E1（n2个因子）的拓扑，对于任何满足1"jS的i,j，我们有投影映射二jj:

M—；E1，将矩阵A映为它的第ij个元素.合成映射二jm:

MM>M>E1，将A和Bn

的乘积m（A,B）映为它的第ij个元素.现在二jm（A,B）aikbkj是

kz!

A与B的元素的多项式，因此二⑴连续，投影映射二“是连续的，从而证明映射m是连续的.因为o（n）具有m的子空间拓扑，是M的一个子拓扑空间，且由正交矩阵的性质〈3〉及上面的讨论知，映射m：

O（n）O（n）>O（n）也是连续的.

O（n）中的矩阵可逆，定义求逆映射f：

0（n）>O（n），-A•0（n）f（A）二A」.由于合成映射二jf：

0（n）》0（n）》E1，将-AO（n）映为A」的第ij个元素，即a的第ij个元素，由正交矩阵的性质

A*AA

〈2〉，，所以a/亩，即叫f（A）〒，A的行列式及A的代数余子式都是A内元素的多项式，且A^O，所以儿jf为连续的，而投影映射二j为连续的，所以求逆映射f:

O（n），O（n）为连续的.

至此，O（n）又是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法

与求逆运算都是拓扑空间的连续映射，因而所有n阶正交矩阵

作成的集合0（n）构成一拓扑群，称它为正交群.

（2）O（n）是紧致lie群

在证明之前我们知道一下有关的定义和定理.

定义8设G为拓扑群，G的拓扑为n维实（或复）解析流形，且映射（gi，g2））gig^1-gi,g^G为解析流形GG到G

上的解析映射，则称g为n维lie群.

定理3欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.

证明-A•M（所有具有实元素的n阶矩阵作成的集合），A对应n2维欧氏空间E"2的点：

（an,ai2,…ain’a^,…a2n,a“,…a.n），M可作为n2维欧氏空间.A的行列式detA为元素ai,ia1,2na,ia…「.a,2才，的解析函数，「AMdetA"?

为M的闭子集，因此M*=M{A^M|detA=o}为M中的开子集.这时，按诱导拓扑可以知道M*为解析流形，且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析，故M*为n2维lie群.O（n）为M*的闭子集，按诱导拓扑为子流形，o（n）为lie群.

为了证明0（n）紧致，根据定理内容，只要证明M等同于En时，0（n）相当于En内的有界闭集.设-A・O（n），由于AA—E有n

jaijbkj_ik1_i,k_n

对于任意的i,k，定义映射

£k■MrE—A_Mfik（A）=*aijbkj

j二

则0（n）为下列各集合的交集

fik」（O）1乞i,k空ni=k

匚丄⑴1叮汀

由于fi,汀kS）都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.

因此O（n）是M的闭集.由于aijbj=1，因此O（n）是M的有界闭集，

j土

这就证明了的紧致性.

在拓扑结构上是紧致的lie群，我们称为紧lie群，所以O（n）为紧lie群.

（3）O（n）是不连通的

定义9设X是一个拓扑空间，X中存在着两个非空的闭子集A和B,使AB和AB-：

-成立，则称X是不连通的.

证明我们再设SO（n）是所有行列式为1的正交矩阵构成

的集合，S为所有行列式为-1的正交矩阵构成集合.因为det:

SO（n）>E1是连续映射，而我们知道单点集⑴是E1的闭集，

SO®）=det」

（1），在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，

所以SO（n）也为闭集.SO（n）为O（n）的闭集，同理，我们也可以证明

S是闭集•因为SO（n）S=0（n）,SO（n）S_：

•：

」,而SO^和S是闭集，有不连通的定义我们可以直接证明。

⑴是不连通的.

（三）正交矩阵在化学中的作用

在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个

原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道•杂化过程的

数学表达式为'k■Cki'ii-1,2^n;k=1,2「，k为新的杂化轨

iz!

道，1为参加杂化的旧轨道，Cki为第k个杂化轨道中的第i个参加杂化轨道的组合系数.

在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：

〈1〉杂化轨道的归一性

杂化轨道（k=1,2,…n）满足lid.=1•

〈2＞杂化轨道的正交性

.=0（kT）•

〈3＞单位轨道贡献

每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨

道成分之和必须为一个单位，即Zc2=c；i+c：

i十…+c；i=1.

由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正

交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化为求出正交矩阵，作线性替换的过程.

（1）sp3杂化轨道.

以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：

c*（1s）2（2s）1（2Px）1（2Py）1（2Pz）1，这样在形成CH4分子时，激发态碳原子的一个2s原子轨道和3个2p原子轨道进行杂化形成4个等同的sp3杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道；s、2Px、；Py、5是一组相互正交的基向量，再通过线

性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a、I、I、d，

那么线性变换系数矩阵A必为正交矩阵.

A为正交矩阵，311,312,313,314,321^',344分别是；、•b、；、二在

四个坐标轴上的分量.在等性杂化中，四个基向量；、'b>'c>

d在四个坐标轴上的分量是相等的，即由四个能量相近的原子

轨道、©2Px、札Py、玄Pz进行杂化时形成四个等同的sp3杂化轨

道，在四个杂化轨道上，原子轨道s和p成份完全相同•根据这些理论，我们来求正交矩阵A.

a11

因为是等性杂化轨道

21-

（-a22

取符合条件的

—火—+*22*32**23*33+*24*34=02

-a34

a32

（2）sp杂化轨道

一个2s和一个2p原子轨道杂化形成两个sp杂化轨道•同

交矩阵.

a11=a21

111

————a

2.2、、222

sp杂化轨道式为：

「As"

（四）正交矩阵在物理中的作用

任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经

过刚体运动，其曲率和挠率是不变的，称它们为运动不变量下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量•

个运动，从曲线：

（t）到曲线J（t）的变换为

0」

iZ」

其中

对

（1）两边求n阶导数得

（3）

因为A是正交矩阵，所以亦有

ri（t）

r（t）

另一方面，由一阶，二阶，三阶导数，可作成矩阵

y；

F、

F、Z

—

）

Iff

Z丿

两边取行列式，由detA二1得

因为

（2）代入（4）的右边得

/_ii*Iii*j",yi

（aiix+ai2y+ai3z）”

丄/—HF丄—IIFiIIF\

”+（a2iX+a22y+a23z）zi

Xiyi

IIF.HF.||F1“1

（a3ix+a33y+a33Z）””

ziyi

因（4）与（5）右边相等，有（5）右边与（6）式右边相等得

=an

y；

821

+831

y；

IRz

IPF

x；

y；

X；

—a12

科

a22

+832

pjl

z1l

負

=813

823

■r

+833

由正交矩阵的性质〈2〉知,

aij二Aj且由

•'一AjiAkj=-：

jk（j,k=1,2,3）

izi

将上面三式左右分别平方相加

写成矢函数，即得

LF』

r1（t）xr1（t）

r（t）"（t）

t"t"T"*

（ri（t）ri（t）ri（t））

jt“$

（r（t）r（t）r（t））

二-1

这里的K,Ki；.,.i分别是曲线r（t）,ri（t）的曲率与挠率.

参考文献

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[10]

武汉科技大学

陈少白《空间曲线的刚体运动基不变量》学报2003.1226卷4期424~426页

致谢

本论文是在我的指导教师任艳丽副教授的亲切关怀和悉心指导下完成的.从论文的选材到定稿，任老师给予我亲切的关怀和指导，从任老师那里我不仅学到了专业知识，更重要的是学到了严谨的治学态度，独立研究的工作作风和不断进取的精神，在此，我谨向我的指导教师任艳丽老师表示最衷心的感谢.

我要向所有教过我的老师和帮助过我的同学致以深深的感谢，是他们的孜孜不倦的教诲和无私的帮助才使我今天的工作得以顺利进行.

我特别感谢我的同学和朋友，给我关怀和鼓励.

我还要感谢数学系002班大学四年共同奋斗过的所有同学.

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