正交矩阵的作用.docx

1、正交矩阵的作用正交矩阵的作用引言正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用 ，也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的 四点作用.首先，我们来了解一下正交矩阵的定义.一.正交矩阵的定义及性质（一）正交矩阵的定义定义1 n阶实矩阵A,若满足A A = E，则称A为正交矩 阵.定义2 n阶实矩阵A,若满足aa Je，则称A为正交矩 阵.定义3 n阶实矩阵A,若满足a =a，则称A为正交矩 阵.定义4 n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A为正交矩阵.以上四个定义是等价定义.（二）正交矩阵的性质设A为正交矩

2、阵，它有如下的主要性质. I AI = 1, A1存在，并且A也为正交矩阵；A , A也是正交矩阵；当 I A I =1 时,A = A，即 aj = A ；当 I A I =-1 时，A = _A ,即 aj = -Aij .若B也是正交矩阵，则AB, A B, AB , AB,AB都为正交矩阵.证明 显然 A=1（A丄）丄A，所以A也是正交矩阵当 A =1 时,a = A*，即 aq = Aj当A=1 时，a = -A*，即 a = -Aj所以A*为正交矩阵.由A、A,B、B可知(AB )二 B A 二 B A 丄=(AB ) 故AB为正交矩阵.由,推知A B , AB ,A JB,AB

3、均为正交矩阵正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的 模为1,且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果 是它 的特征值，那么1也是它的特征值等，这些性质这里就不再证 明了.运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作 用.二.正交矩阵的作用(一)正交矩阵在线性代数中的作用在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Give ns矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等 旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另 一种方法.设向量 W = 3 , W2 ,，Wn) ，令 s 二 wf wj ( j i)， 为初等旋转矩阵.Tijc/，dU，则称n阶矩阵初等旋

4、转矩阵Tj，是由向量W的第i, j两个元素定义的，与单位矩阵只在第i,j行和第i,j列相应的四个元素上有差别设J是由向量W定义的初等旋转矩阵(j i)，则有如下的 性质：1是正交矩阵;2设 TjW =(u1,u2 ,Un)贝S有 Ui =s,Uj =O,Uk =Wk(k =i,j)；3用二左乘任一矩阵A, tA只改变A的第i行和j行元 素(用右乘任一矩阵A, Ar。只改变A的第i列和j列元素).证明 1c2+d2=(Wi *Wjp = 1，故 TjTij=E , L 是正 交矩阵2由Tj的定义知，用Tj左乘向量W ,只改变W的第i, j两 个元素，且所以Tj左乘W，使TjW的第i个分量非负，第

5、j个分量为0,其余分量不变3根据2及矩阵乘法立即可以得出此结论.引理1任何n阶实非奇异矩阵A =何人.，可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的定理1设P是n阶正交矩阵1)若P =1，则P可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，即 p 二 PR Pr ；若P| = -1，则P可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵E，即PuPRPrE，其中P ( i = 1,2, T)是初 等旋转矩阵.E证明 由于P是n阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋 转矩阵SS2,Sr使Sr SrS? SP二R这里R是n阶上三角阵，而 且R的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有P

6、=沁2 SrR ( 1)由P是正交矩阵和(1)式得P P =RSr S& SrR =E 即 RR=E (2)rii0(i=1,2, m-1)rnn由上式得rij二 j,=j = n 且i, j二 1,2, , n _1P =1所以R当P =1于是由(1) (3)式得记R二S(i =1,2,，r) , R是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.引理2 设人=9几，秩(A)= m,则A = P 其中P是n 1丿阶正交矩阵，R是m阶上三角阵，是(n - m) m零矩阵.利用以上的结论可得:定理2 设A =：9几m，秩(A = m，则A可以通过左连乘初是(n _ m) m矩阵.m阶上三角阵，又根据定理1知:

7、是初等旋转矩阵.广R、2丿2_0Pr 片 A = EA 二 P1P2 Pr E显然，R是m阶上三角阵，当门=口时只与R1除最后一行对应元素绝对值相等、符号相反外，其余元素对应相等.当时n m时,anm是欧氏空间Rn的子空间V m的一组基，记o o 6 od 12 ma21 a22 a2 mA =（O（iO（2 5）= A - - Iani an2 八 anm y是秩m为的n m的矩阵.若A =何)n m满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵心“，使汕吓飞, 且 E 二 PP =（Pi，P2，,Pr） （Pr】巴，Pi ）r r r r r r r r / r .R R 丄 P2 R E =Pr

8、P2 R 二 P (5)由(4) (5)两式知，对A、E做同样的旋转变换，在把A化为R的同时，就将E化成了 P*，而P的前m个列向量属 I。丿于子空间vm.综上所述可得化欧氏空间的子空间V m的一组基：1,：2, ,：m ：i二何忌,an)i =1,2, ,m为一组标准正交基的 方法为：由已知基1匸2，Cm为列向量构成矩阵A =2ij)nm ；对矩阵(AE)施行初等旋转变换，化A为R 同时E I。丿就被化为正交矩阵P ，这里R是m阶上三角阵；取P的前m个列向量便可得V m的一组标准正交基.显然，上述方法是求子空间Vm的一组标准正交基的另一种方法.F面，我们通过实例说明此方法的应用,：3 = (

9、-1,0,0,1) 为例 求以向量-.=( -1,1, 0, 0)2 =(-1,0,1, 0)基的向量空间V3的一组标准正交基.解矩阵得 T34 T23 口（A 壬）1.6（二）正交矩阵在拓扑和近世代数中的作用全体n阶正交矩阵作成的集合，记为。，从代数和拓扑 的角度来看，我们可以证明它构成一拓扑群， 并且进一步证明 它是不连通的紧致lie群.（1）0（n）构成拓扑群在证明。构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念 定义5设G是任一集合，山是G的子集构成的子集族， 且满足：1集合G与空集G属于山；2山中任意个集的并集属于山；3山中任意有穷个集的交集属于山；称山是G上的一个拓扑，集合G上定义了拓扑山，

10、称G是一个 拓扑空间定义6设(G,)是一个代数体系，若满足：1- a,b,c G,(ab)_c 二 a_(bt)；2a G , Te G , st e $ = a = a ；3_a，G,_a G, st a a=a -a = e ；则称G是一个群.定义7如果G是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得 群的乘法运算 U ： G G ； G ；求逆运算 V： G G ；是连续映射，就称G为拓扑群.根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体 n阶正交矩 阵作成的集合Og构成拓扑群.1全体n阶正交矩阵作成的集合O（n）构成一拓扑空间.2全体n阶正交矩阵作成的集合O（n）构成一群.3全体n阶正交矩阵作成的集合

11、O（n）构成一拓扑群.证明 1设M表示所有具有实元素的n阶矩阵作成的 集合，以A=）表示M的一个代表元素我们可以把M等同于 n2维欧氏空间En2，也就是将A= ）对应于En2的点 佝-ajj ,a i a 2 1月二2 a 2a3,mna册是点集En的子集族，则 E和门都属于山，山中任意个集的并集属于山，山中有穷个集 的交集也属于山，可以验证E构成一拓扑空间，从而M成为 一个拓扑空间.0（n）是所有具有实元素的n阶正交矩阵，所以是 M的子集合，于是由M的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑， 从而O（n）构成M的一个子拓扑空间.21。-A,B,C 0（n）由于矩阵的乘法满足结合律，所以（AB ）C

12、二 A（BC ）o 2 E O（n）,St _A O（n）,EnA 二 AEn = A3 一A O（n）, A=A：st aJa = AA = AA，=AA=E所以正交矩阵作成的集合 Og对于乘法运算可构成一群.3对于1中的拓扑空间M的拓扑，定义矩阵乘法n设-A =何）,B =（bij），则乘积m （A, B）的第ij个元素是v aikbkj k -1现在M具有乘积空间E1 E1：: E1（n2个因子）的拓扑，对于任 何满足1 j S的i, j，我们有投影映射二jj : M ； E1，将矩阵A 映为它的第ij个元素.合成映射二jm:M M M E1，将A和B n的乘积m（A, B）映为它的第i

13、j个元素.现在二jm（A,B）aikbkj是k z!A与B的元素的多项式，因此二连续，投影映射二“是连续的， 从而证明映射 m是连续的.因为o（n）具有m的子空间拓扑，是 M的一个子拓扑空间，且由正交矩阵的性质3及上面的讨 论知，映射m：O（n）O（n） O（n）也是连续的.O（n）中的矩阵可逆，定义求逆映射f ：0（n） O（n）， -A 0（n）f （A）二 A.由于合成映射二 j f ：0（n）0（n）E1，将- A O（n） 映为A的第ij个元素，即a的第ij个元素，由正交矩阵的性质A* A A2，所以a/亩，即叫f（A），A的行列式及A 的代数余子式都是A内元素的多项式，且AO，所以

14、儿jf为连 续的，而投影映射二j为连续的，所以求逆映射f:O（n），O（n）为连 续的.至此，O（n）又是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射，因而所有 n阶正交矩阵作成的集合0（n）构成一拓扑群，称它为正交群.（2）O（n）是紧致lie群在证明之前我们知道一下有关的定义和定理.定义8设G为拓扑群，G的拓扑为n维实（或复）解析 流形，且映射（gi，g2） ）gig1 -gi,g G 为解析流形G G到G上的解析映射，则称g为n维lie群.定理3欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明-A M （所有具有实元素的n阶矩阵作成的集合）， A对应n2维欧氏空间E2的点：（

15、an,ai2,aina,a2n,a“,a.n），M 可作为n2维欧氏空间.A的行列式detA为元素 ai ,i a 1,2 na,ia .a , 2才，的解析函数，A M detA?为 M 的 闭子集，因此M*=M AM|detA=o为M中的开子集.这时， 按诱导拓扑可以知道M *为解析流形，且关于矩阵的乘法和求 逆运算均解析，故M*为n2维lie群.O（n）为M*的闭子集，按诱 导拓扑为子流形，o（n）为lie群.为了证明0（n）紧致，根据定理内容，只要证明M等同于En 时，0（n）相当于En内的有界闭集.设-AO（n），由于AA E有 nj aij bkj _ ik 1 _ i , k _

16、 n对于任意的i,k，定义映射n1k M r E A _ M fik (A) = * aij bkjj 二则0(n)为下列各集合的交集fik(O) 1 乞 i, k 空 n i=k匚丄 1叮汀由于fi,汀k S)都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.n因此O(n)是M的闭集.由于aijbj =1，因此O(n)是M的有界闭集，j 土这就证明了的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie群，我们称为紧lie群，所以 O(n)为紧lie群.(3)O(n)是不连通的定义9设X是一个拓扑空间，X中存在着两个非空的闭 子集A和B,使A B 和A B -：-成立，则称X是不连通的.证明 我们再设SO(n)是所有行

17、列式为1的正交矩阵构成的集合，S为所有行列式为-1的正交矩阵构成集合.因为det: SO(n) E1是连续映射，而我们知道单点集 是E1的闭集，SO) =det(1)，在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，所以SO(n)也为闭集.SO(n)为O(n)的闭集，同理，我们也可以证明S是闭集因为SO（n）S =0（n）, SO（n）S _：,而SO和S是闭 集，有不连通的定义我们可以直接证明 。是不连通的.（三）正交矩阵在化学中的作用在结构化学原子轨道杂化理论中， 原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道 杂化过程的n数学表达式为k Cki i i -1, 2 n;k =

18、1,2， k为新的杂化轨i z!道，1为参加杂化的旧轨道，Cki为第k个杂化轨道中的第i个参 加杂化轨道的组合系数.在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三 条基本原则：1杂化轨道的归一性杂化轨道（k =1,2,n）满足l id . =1 2杂化轨道的正交性. =0（k T） 3单位轨道贡献每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨n道成分之和必须为一个单位，即Z c2 =c；i +c：i十+c；i =1.k I由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的单 位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交 基的过

19、渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化 为求出正交矩阵，作线性替换的过程.(1)sp3杂化轨道.以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：c* (1s)2(2 s)1(2 Px)1(2 Py)1(2 Pz)1，这样在形成CH4分子时，激发态碳 原子的一个2s原子轨道和3个2p原子轨道进行杂化形成4个 等同的sp3杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子 轨道；s、 2Px、；Py、5是一组相互正交的基向量，再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量 a、I、I、d，那么线性变换系数矩阵A必为正交矩阵.A 为正交矩阵，311,312,313,314,321 ,344

20、分别是；、 b、；、二在四个坐标轴上的分量.在等性杂化中，四个基向量；、b c d在四个坐标轴上的分量是相等的， 即由四个能量相近的原子轨道、2Px、札Py、玄Pz进行杂化时形成四个等同的sp3杂化轨道，在四个杂化轨道上，原子轨道s和p成份完全相同根据这 些理论，我们来求正交矩阵 A.F4a1a114aa1因为是等性杂化轨道2 1-(- a22取符合条件的1 1火+ *22 *32 * *23 *33 + *24 *34 = 0 2- a34a32(2) sp杂化轨道一个2s和一个2 p原子轨道杂化形成两个 sp杂化轨道同交矩阵.a11 = a21V21 1 1 a2 .2 、2 22sp杂化

21、轨道式为： As （四）正交矩阵在物理中的作用任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经过刚体运动，其曲率和挠率是不变的，称它们为运动不变量 下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量个运动，从曲线：(t)到曲线J(t)的变换为yi=Ay+b20iZ3 j其中是三阶正交矩阵，bi,是常数.对(1)两边求n阶导数得(3)因为A是正交矩阵，所以亦有ri (t)r (t)另一方面，由一阶，二阶，三阶导数，可作成矩阵f *Xiy；F 、ZixIPyF、 ZFXiyiIMZxyF ZNFMiIWyiZ i)IffxKUyFTZ丿TA两边取行列式，由det A二1得因为（2）代入（4）的右边得/ _ i

22、i* I ii* j , yi(aiix +ai2y +ai3z ) ”yi丄 / HF 丄 IIF i IIF” + (a2iX +a22y +a23z ) ziXi yiIIF . HF . |F 1 “ 1 (a3ix +a33y +a33Z ) ” ”zi yi因（4）与（5）右边相等，有（5）右边与（6）式右边相等得F y* z=any；+821FZ1x1+ 831Xy；wyIR zy!z11IPFZ1x1x；y；r zXy1fZ1FZ1x1X；y1*Pla12科+a22m+ 832p jl*zXy1z1lZ1X1X1y1FXIPyy1FZ1FZ1x1x1y1負=813n*+f823

23、r+ 833r rXyy1Z1Z1X1X1y1由正交矩阵的性质2知,aij二Aj且由n一 Aji Akj = -： jk ( j , k = 1,2, 3)i zi将上面三式左右分别平方相加写成矢函数，即得T TL F T Tr 1 (t) x r1 (t)r (t) (t)t t T *(ri (t)ri (t)ri (t)j t “ $(r (t) r (t)r (t)二-1T = 这里的K,Ki； ., .i分别是曲线r (t), ri(t)的曲率与挠率.参考文献1 张凯院 徐仲等编 矩阵论 西北工业大学出版社 2001.3 160164页2 赵成大等 物质结构 人民教育出版社 1982

24、.9 219226 页3 熊金城编 点集拓扑讲义 高等教育出版社 1998.5 110111， 193195页4严志达等 lie群及其lie代数 高等教育出版社1985.10 11， 1617页5丘维声 有限群和紧群的表示论 北京大学出版社1997.12 27 1 273， 276277页6戴立辉等 正交矩阵的若干性质 华东地质学院学报2002.9 第25卷第 31期 267268页7刘钊南 正交矩阵的作用 湘潭师范学院学报 1987 1116 页8刘国志 欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法Give ns变换法 抚顺石油学院学报1996.3 16卷1期78 81页9张焕玲等 一种求欧氏空间子

25、空间的标准正交基的新方法山东科学 1996.3 9卷 1 期 1416页10武汉科技大学陈少白 空间曲线的刚体运动基不变量 学报 2003.12 26卷 4期 424426页致谢本论文是在我的指导教师任艳丽副教授的亲切关怀和悉 心指导下完成的.从论文的选材到定稿，任老师给予我亲切的 关 怀 和 指 导 ，从 任 老 师 那 里 我 不 仅 学 到 了 专 业 知 识 ，更 重 要 的 是 学 到 了 严 谨 的 治 学 态 度 ，独 立 研 究 的 工 作 作 风 和 不 断 进 取 的 精 神 ，在 此 ，我 谨 向 我 的 指 导 教 师 任 艳 丽 老 师 表 示 最 衷 心 的 感 谢.我要向所有教过我的老师和帮助过我的同学致以深深的 感 谢 ，是 他 们 的 孜 孜 不 倦 的 教 诲 和 无 私 的 帮 助 才 使 我 今 天 的 工 作得以顺利进行.我特别感谢我的同学和朋友，给我关怀和鼓励.我 还 要 感 谢 数 学 系 002 班 大 学 四 年 共 同 奋 斗 过 的 所 有 同 学.