八年级下册数学.docx

八年级下册数学.docx

《八年级下册数学.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级下册数学.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

八年级下册数学

1.1等腰三角形

基础知识基本技能

1．等腰三角形

（1）概念：

有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两边叫腰，另一条边叫底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

（2）理解：

①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180°，两边之和大于第三边等．②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点也是研究它的重要方法．

破疑点等腰三角形有关概念的认识　

（1）对于等腰三角形问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和错误的地方；

（2）等腰三角形顶角可以是直角，是钝角或锐角，而底角只能是锐角．

【例1】等腰三角形两边长分别是5cm和11cm，则它的周长是（　　）．

A．27cmB．22cm

C．27cm或22cmD．无法确定

2．等腰三角形性质1

（1）性质1：

等腰三角形的两个底

角相

等（简写成“等边对等角”）．

（2）理解：

这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便．

（3）适用条件：

必须在同一个三角形中．

（4）应用模式：

在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.

【例2－1】已知等腰三角形的一个角为40°，则其顶角为（　　）．

A．40°B．80°

C．40°或100°D．100°

【例2－2】如图，AD、BC相交于O，AB∥CD，OA＝OB，求证：

∠C＝∠D.

3.等腰三角形性质2

（1）性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质．

（2）含义：

这是等腰三角形所特有的性质，它实际上是一组定理，应用过程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一线”，就可以说明是其他的“两线”

，性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系，所以应用非常广泛．

（3）对称性：

等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．

（4）应用模式：

如图，在△ABC中，

①∵AB=AC，AD⊥BC，

∴AD平分∠BAC（或BD=CD）；

②∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥BC（或AD平分∠BAC）；

③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴BD＝DC（或AD⊥B

C）．

解技巧“三线合一”的应用　因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”性质实际的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活．

【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，交BC于D，BD＝5cm，求底边BC的长．

4．等腰三角形的判定

（1）判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

（2）与性质的关系：

判定定理与性质定理是互逆的，性质：

→

；

判定：

→

.

（3）理解：

性质和判定应用的前提都是在同一三角形中，并且不经过三角形全等的证明，直接由等边得等角或由等角得等边，所以应用起来更简单、便捷．

破疑点

等腰三角形的判定方法的理解

教材中涉及等腰三角形的判定方法主要有两种：

一是判定定理；二是定义．另外还有很多方法，如在同一个三角形中，三线中两线重合，也能说明是等腰三角形．但不常用，一般是通过推理得出角相等或边相等，再得出是等腰三角形．

【例4】如图，BE平分∠ABC，交AC于E，过E作DE∥BC，交AB于D.试证明△BDE是等腰三角形．

5．等边三角形的概念和性质

（1）等边三角形

①概念：

三边都相等的三角形是等边三角形．

②认识：

它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质．

（2）性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

（3）拓展：

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它三边相等，三个内角相等，各边上的高、中线，对应的角平分线重合，且长度相等．

【例5】如图，点M、N分别在等边△ABC的边BC、AC上，且BM＝CN，AM、BN交于点Q.求证：

∠BQM＝60°.

6．等边三角形的判定

（1）判定定理：

①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

（2）判定方法：

等边三角形的判定方法有三种：

一是定义，另运用两个定理．

（3）拓展理解：

对于判定定理①，有时候在一个三角形中只要有两个角是60°也可判定是等边三角形．

解技巧巧用条件证明等边三角形　在证明三角形是等边三角形时，根据所给已知条件确定选择用哪个方法证明．若已知三边关系，一般选定义法；若已知三角关系，一般选判定定理①；若已知该三角形是等腰三角形，则选判定定理②.

【例6】如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？

试说明你的结论．

基本方法基本能力

7．等腰三角形性质和判定的综合应用

类似于全等三角形的性质和判定的关系，等腰三角形的性质和判定很多时候也是综合运用的．

一方面等腰三角形是特殊的三角形，由等腰三角形性质，可以知道许多相等的线段，相等的角，还能知道垂直关系，成倍数关系的线段或角，所以有时通过判定是等腰三角形来证明角相等、

线段相等或垂直关系等；另一方面通过等腰三角形性质和判定的运用，直接由线段相等得到角相等，由角相等到线段相等，省去了全等的证明，简化了过程，因此很多时候，等腰三角形性质和判定的应用更广泛．注意：

等腰三角形性质和判定的应用前提是在同一个三角形中．

【例7】如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是BC边上的高，求证：

CD＝AB＋BD.

图1　　　图2

8.巧用“三线合一”性质解题

（1）性质：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”性质；

（2）应用：

它是等腰三角形特有的性质，这条线段是中线、高，也是角平分线，它包含有线段相等、角相等、垂直等关系，涉及量多，应用广泛，是证明线段相等、线段的倍数关系、角相等、角的倍数关系、垂直等常用的方法．

构造“三线合一”解决等腰三角形问题　在等腰三角形问题中，最常添加的辅助线就是作底边上的高，或作顶角的平分线，或作底边上的中线，这样就可以由其中一线得到其他两线，从而知道更多的条件，以便更好地完成计算、证明．

【例8】已知：

如图a所示，△ABC中，AB＝AC，BF是AC边上的高，求证：

∠FBC＝

∠BAC.

图a　　图b

9.等边三角形的应用

等边三角形也称正三角形，它是最特殊的三角形，它除了三边相等，三个内角相等，且每个角都是60°外，还具有很多特殊的性质：

如，证明两个等边三角形全等只要有一边相等即可；同一个等边三角形的高、中线、角平分线都相等，并且任何一条高（或中线、顶角的平分线）将等边三角形都分成全等的两个含有30°角的直角三角形；它的高和边长也存在着特殊的比例关系，因此已知是等边三角形，就可以知道其中的许多等量关系．

等边三角形的判定也具有自己独特的特点，可以由普通三角形满足条件直接判定，也可以在等腰三角形

的基

础上进行判定．

【例9】（学科内综合题）如下图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线分别交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE＝EF＝FC的道理．

思维拓展创新应用

10．面积法证明等腰三角形的性质

面积法是解决几何问题常用的一种的方法，它巧妙地运用面积之间的关系，通过计算的方式，求线段的长度，或用来证明线段之间的数量关系，有时它比运用线段之间的等量关系证明、计算更简捷，更巧妙，因而在特定条件下能出奇制胜，是一种很好的方法．

面积法的运用，一般以同一个三角形的面积是相等的为基础，运用不同求法，即底不同、高不同、但面积都等于底×高的一半，或将一个图形分解成不同的图形来求面积，但面积之和相等．通过面积相等联系起各量之间的关系，再运用等式的性质，通过化简求出某些线段的长，或计算出某些线段之间的数量（如比例）关系．

解技巧巧用面积法证明线段

的关系　因为直角三角形的特殊性，所以面积法最常用在直角三角形中求斜边上的高，有时也用在等腰三角形中证明线段相等或求线段的和．

11．等

腰三角形中的“二推一”模式应用

在等腰三角形问题中，“等边、角平分线（等角）、平行”是出现最多，最常见的数量与位置关系，若这三个关系出现在同一图中，一般以其中任意两个条件为题设，推导、证明出第三个条件成立，因此我们称它为等腰三角形中的“二推一”．

（1）基本图形：

等腰三角形中的“二推一”一般有两种情况，一种是角平分线在外，要用到一个外角等于和它不相邻的两内角和；另一种是角平分线在内，基本图形如图①和图②所示，

演变图形类型较多，主要有以下几种：

（2）方法：

通过角相等作为纽带，将线段相等、线段平行联系起来，在此过程中要用到等量代换得出的角相等，方式一般是：

→

→

；

→

→

.

【例11-1】如图1，已知，在△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，G为底边BC上任一点，GF⊥AB，GE⊥AC，垂足分别为F、E.

求证：

GF＋GE＝BD.

【例11－2】如图，在△ABC中，∠CAE是△ABC的外角，在下列三项中：

①AB＝AC；②AD平分∠CAE；③AD∥BC，选择其中两项为题设，另一项为结论，组成一个真命题，并证明．

【例11-3】如图，已知△ABC中，AC＋BC＝24，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，MN过O点，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为___．

【例11-4】如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BO、CO相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，△OEF的周长＝10，求BC的长．

1.2直角三角形

（一）

【学习目标】

1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法。

2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

【学习重难点】重点：

勾股定理及其逆定理。

难点：

结合具体例子了解逆命题的概念。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、直角三角形：

有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。

2、边的关系：

直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。

角的关系：

直角三角形的两个锐角_________。

3、有两个角___________的三角形是直角三角形。

4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的________。

5、阅读教材：

第2节《直角三角形》

二、教材精读

6、用两种不同的方法表示右图梯形的面积。

解：

①S

=（上底+下底）×高=

②S

=

因为S

=S

，所以

归纳：

勾股定理：

直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。

7、已知：

如图，在△ABC，AB2+AC2=BC2，求证：

△ABC是直角三角形。

证明：

作出Rt△A’B’C’，使∠A=90°，A’B’=AB，A’C’=AC，则

B’C’2=_____________（勾股定理）

∵AB2+AC2=BC2，A’B’=AB，A’C’=AC，

∴BC2=B’C’2

∴BC=_______

∴在△ABC和△A’B’C’中，

∴△ABC≌△A’B’C’（______）

∴∠A=∠A’=90°（全等三角形的对应角相等）

因此，△ABC是直角三角形。

归纳：

1、勾股定理的逆定理：

∵AB2+AC2=BC2，，∴∠___=90°（△ABC是直角三角形）

2、互逆命题：

在两个命题中，如果一个命题的______和______分别是另一个命题的______和_______，那么这两个命题称为__________，其中一个命题称为另一个命题的__________。

3、互逆定理：

一个命题是真命题，它的逆命题却______是真命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为________，其中一个定理称为另一个定理的________。

模块二合作探究

8、已知：

如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=

。

（1）求DC的长；

（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：

△ABC是直角三角形.

9、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？

最低造价是多少？

10、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。

（1）如果ab=0,那么a=0,b=0；

（2）初三（6）班有62位同学；（3）等边对等角；

11、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它写出来。

（1）如果

，则

（2）全等三角形对应角相等（3）对顶角相等

模块三形成提升

1、直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为；直角三角形的两边分别为13和5，则另一条边为。

如果三角形的三边长是6、10、8，则这个三角形是三角形。

2、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，求：

AD

模块四小结反思

一、本课知识：

1、勾股定理：

直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。

2、如果三角形两边的平方___等于第三边的______，那么这个三角形是____三角形。

1.3直角三角形

（二）

【学习目标】

1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法，能够证明直角三角形全等“HL”判定定理

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】直角三角形全等“HL”判定定理。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、一般三角形全等判定方法有：

。

2、直角三角形的判定：

①有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。

②有两个角互余的三角形是_____三角形。

③如果三角形两边的平方___等于第三边的______，那么这个三角形是____三角形。

3、阅读教材：

第2节《直角三角形》

二、教材精读

4、已知：

如图，△ABC和△A’B’C’中∠C=∠C’=90°，且AB=A’B’，BC=B’C’，

求证：

△ABC≌△A’B’C’

证明：

Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，

AC2=___________,A’C’2=____________2,（勾股定理）

∵AB=A’B’，BC=B’C’，’

∴AC2=______∴AC=_______

∴△ABC≌A’B’C’（）

归纳：

斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。

（“斜边、直角边”或“__”）

推理格式：

在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°

∵AB=A’B’

BC=B’C’

∴△ABC____A’B’C’（HL）

实践练习：

如图，∠B=∠E=90°，AC=DF，BF=EC。

求证：

BA=ED。

模块二合作探究

5、在Rt△ABC中，∠C=90°，且DE⊥AB，CD=ED，求证：

AD是∠BAC的角平分线。

6、如图，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E是AB上的一点，求证：

CE=DE。

7、用三角尺可以作角平线，如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线。

证明：

模块三形成提升

1、如图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°。

（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（3）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

2、如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD=CD。

求证：

EB=FC。

模块四小结反思

一、本课知识：

1、斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。

（“斜边、直角边”或“__”）