如何求三角函数的周期.docx

如何求三角函数的周期.docx

《如何求三角函数的周期.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《如何求三角函数的周期.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

如何求三角函数的周期

如何求三角函数的周期

三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．

1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期

例1求下列函数的周期　

．

（1）分析：

根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数

，对于函数定义域内的每一个

值都能使

成立，同时考虑到正弦函数

的周期是

．

解：

∵

即

．

∴当自变量由

增加到

时，函数值重复出现，因此

的周期是

．

（2）分析：

根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数

，对于函数定义域内的每一个

值都能使

成立，同时考虑到正切函数

的周期是

．

解：

∵

即

．　

∴函数

的周期是

．

注意：

1、根据周期函数的定义，周期

是使函数值重复出现的自变量

的增加值，

如

周期不是

，而是

；2、

是定义域内的恒等式，即对于自变量

取定义域内的每个值时，上式都成立．

2、根据公式求周期

对于函数

或

的周期公式是

，

对于函数

或

的周期公式是

．

例3求函数

的周期

解：

．

3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期

例4求函数

的周期

解：

∴

．

例5已知函数

求周期

解：

∵

∴

．

4、遇到绝对值时，可利用公式

化去绝对值符号再求周期

例6求函数

的周期

解：

∵

∴

．

例7求函数

的周期

解：

∵

∴函数

的最小正周期

．

5、若函数

，且

，都是周期函数，且最小正周期分别为

，如果找到一个正常数

使

，

（

均为正整数且互质），则

就是

的最小正周期．

例8求函数

的周期

解：

∵

的最小正周期是

，

的最小正周期是

．

∴函数

的周期

，把

代入得

，即

，

因为

为正整数且互质，所以

．

函数

的周期

．

例9求函数

的周期

解：

∵

的最小正周期是

，

的最小正周期是

，

由

，

，

（

为正整数且互质）,

得

．

所以函数

的周期是

．

函数的周期性

--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题

一.明确复习目标

1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；

2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。

二、建构知识网络

1.函数的周期性定义：

若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

周期函数定义域必是无界的

2.若T是周期，则k·T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。

一般所说的周期是指函数的最小正周期。

周期函数并非所都有最小正周期。

如常函数f（x）=C；

3.若函数f（x）对定义域内的任意x满足：

f（x+a）=f（x－a）,则2a为函数f（x）的周期。

（若f（x）满足f（a+x）=f（a－x）则f（x）的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别）

4.若函数f（x）图象有两条对称轴x=a和x=b，（a

5.若函数f（x）图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（a

（证一证）

6.若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）（a

举例:

y=sinx,等.

三.双基题目练练手

1.f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f

（1）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）

A．5B．4C．3D．2

2.若函数y=f（x）是周期为2的奇函数，且当x∈（0,1）时f（x）=x+1，则f（π）的值为（）

A．π-5B.5-πC.4-πD.π-4

3.是偶函数，且为奇函数，则f（1992）=

4.设存在常数p>0,使，则的一个周期是，f（px）的一个正周期是；

5.数列中

简答精讲：

1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0是对称轴，则周期是4；4、，；5、；由已知，周期为6。

四.经典例题做一做

【例1】已知f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈（0,1）时，f（x）=x+1.求f（x）在（1,2）上的解析式。

解法1：

（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。

）

∵x∈（1,2）,则-x∈（-2,-1）,

∴2-x∈（0,1）,∵T=2,是偶函数

∴f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x+1=3-x.

x∈（1,2）.

解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f（x）=f（x+2）

如图：

x∈（0,1）,f（x）=x+1.∵是偶函数

∴x∈（-1,0）时f（x）=f（-x）=-x+1.

又周期为2，x∈（1,2）时x-2∈（-1，0）

∴f（x）=f（x-2）=-（x-2）+1=3-x.

提炼方法：

1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的（1,2）上向已知的（0,1）上转化;

2.用好数形结合,对解题很有帮助.

【例2】f（x）的定义域是R，且f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x）,若f（0）=2008,求f（2008）的值。

解：

周期为8，

法二：

依次计算f（2、4、6、8）知周期为8，须再验证。

方法提炼：

1.求周期只需要弄出一个常数;

2.注意既得关系式的连续使用.

【例3】若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且.

①求的周期；

②证明f（x）的图象关于点（2k,0）中心对称;关于直线x=2k+1轴对称,（k∈Z）;

③讨论f（x）在（1,2）上的单调性；

解:

①由已知f（x）=－f（x+2）=f（x+2+2）=f（x+4）,故周期T=4.

②设P（x,y）是图象上任意一点,则y=f（x）,且P关于点（2k,0）对称的点为P1（4k-x,-y）.P关于直线x=2k+1对称的点为P2（4k+2-x,y）.

∵f（4k-x）=f（-x）=-f（x）=-y,∴点P1在图象上,图象关于点（2k,0）对称.

又f（x）是奇函数,f（x+2）=-f（x）=f（-x）

∴f（4k+2-x）=f（2-x）=f（x）=y,∴点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称.

③设1

∵f（x）在（-1,0）上递增,∴f（2-x1）

又f（x+2）=-f（x）=f（-x）∴f（2-x1）=f（x1）,f（2-x2）=f（x2）.

（*）为f（x2）

提炼方法：

总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。

【研究.欣赏】已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数.又知y=f（x）在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.

①证明：

；②求的解析式；

③求在上的解析式.

解：

∵是以为周期的周期函数，且在[-1,1]上是奇函数，∴，∴.

②当时，由题意可设，

由得，∴，

∴.

③∵是奇函数，∴，

又知在上是一次函数，∴可设，而，

∴，∴当时，，

从而时，，故时，.

∴当时，有，∴.

当时，，

∴

∴.

五．提炼总结以为师

1.函数的周期性及有关概念;

2.用周期的定义求函数的周期;

3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;

同步练习2．7函数的周期性

【选择题】

1.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－）的值为

A.0B.C.TD.－

2.（2004天津）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0，］时，f（x）=sinx，则f（）的值为

A.－B.C.－D.

【填空题】

3.设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间[2，3]上，=,则=

4.已知函数f（x）是偶函数，且等式f（4+x）＝f（4-x），对一切实数x成立，写出f（x）的一个最小正周

5.对任意x∈R，f（x）=f（x-1）+f（x+1）且f（0）=6,f（4）=3,则f（69）=

6.设f（x）定义在R上的偶函数，且，又当x∈（0，3]时，f（x）=2x，则f（2007）=。

答案提示：

1、A；由f（）=f（－+T）=f（－）=－f（），知f（）=0.（或取特殊函数f（x）=sinx）

2、D；f（）=f（－2π）=f（－）=f（）=sin=.

3、;4、8；

5、f（x-1）=f（x）-f（x+1）,∴f（x）=f（x+1）-f（x+2）=f（x+2）-f（x+3）-f（x+2）=-f（x+3）

∴f（x）=-f（x+3）=f（x+6）.周期是6；f（69）=f（3）=f（-3）=-f（-3+3）=-6

6、，周期T=6，F（2007）=f（3）=6

【解答题】

7.设函数f（x）的最小正周期为2002，并且f（1001+x）=f（1001－x）对一切x∈R均成立，试讨论f（x）的奇偶性.

解:

∵周期是2002,∴f（2002+x）=f（x）,

又由f（1001+x）=f（1001－x）得f（2002-x）=f（x）

∴对任意的x都有f（x）=f（2002-x）=f（-x）,f（x）是偶函数.

8.设f（x）为定义在实数集上周期为2的函数，且为偶函数，已知x∈[2,3]时f（x）=x，求x∈[-2,0]时f（x）的解析式。

分析：

由T=2可得x∈[-2,-1]和x∈[0,1]时的解析式；再由奇偶性可得[-1，0]上的解析式。

解：

因为函数f（x）是T=2的周期函数，所以f（x+2）=f（x）.

又由于f（x）为偶函数，故

所以解析式为

9.设f（x）是定义在（-∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f（x）+f（x+2）=0，当-1

思路分析：

∵f（x）+f（x+2）=0∴f（x）=-f（x+2）

∵该式对一切x∈R成立，

∴以x-2代x得：

f（x-2）=-f[（x-2）+2]=-f（x）

当1

∴f（x）=-f（x-2）=-2x+5，∴f（x）=-2x+5（1

评注：

在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。

在化归过程中还体现了整体思想。

10.（2005广东）设函数在上满足，f（7-x）=f（7+x），且在闭区间［0，7］上，只有f

（1）=f（3）=0。

（Ⅰ）试判断函数y=f（x）的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程f（x）=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

解：

由得即

由已知易得，所以，而，从而且