拉普拉斯变换.docx
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拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
基本要求
拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：
熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它
们的运用。
能根据时域电路模型画岀S域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状
态响应和全响应。
能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。
理解
全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。
会判定系统的稳定性。
知识要点
1.拉普拉斯变换的定义及定义域
（1）定义
单边拉普拉斯变换：
正变换[f（t）]
st
F（s）0f（t）edt
逆变换[F（s）]
1jst
f（t）2jjF（s）eds
双边拉普拉斯变换：
正变换FB（s）
f（t）estdt
1
逆变换f（t）
2j
jst
jFB（s）eds
数f（t）的性质有关。
2.拉普拉斯变换的性质
（1）线性性
若[fi（t）]Fi（S）,[f2（t）]F2（S）,i,2为常数时，则
[1f1（t）2f2（t）]1F1（S）2F2（S）
（2）原函数微分
若[f（t）]F（s）则[如]sF（s）f（0）
dt
r
式中f⑴（0）是r阶导数df（t）在0时刻的取值。
dtr
（3）原函数积分
（1）
若[f（t）]F（s），则「f（t）dt]•式中f
（1）（0）0f（t）dt
（4）延时性
若
[f（t）]
F（s），则
[f（tt°）u（t
t。
）]
est0F（s）
（5）
「s域平移
若
[f（t）]
F（s），则
[f（t）eat]
F（s
a）
（6）
「尺度变换
若
[f（t）]
F（s），则
1
[f（at）]-
F（?
）
（a0）
aa
（7）
初值定理
lim
f（t）
f（0）limsF（s）
to
s
（8）
终值定理
lim
t
f（t）
limsF（s）
s
（9）
卷积定理
若[fi（t）]Fi（s）,[f2（t）]F2（s），则有[fi（t）f2（t）]Fi（s）F2（s）
11j
[fl（t）f2（t）]h（s）F2（s）FjFl（p）F2（sp）dp
3.拉普拉斯逆变换
4.
部分分式展开法
叠加起来即得到原函数f⑴
（2）留数法
5.系统函数（网络函数）H（s）
（1）定义
系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数，即
H（s）Rzs（s）冲激响应h（t）与系统函数H（s）构成变换对，即H（s）[h（t）]系统的频率响
E（s）
应特性。
（1）零极点分布图
H（s）阻K（szi）（s互卜（szm）式中，是系数；Z1,z2,LZm为H（s）的
D（s）（sPi）（sP2）L（sPn）
零点；口,P2,L,Pn为H（s）的极点。
在s平面上，用“d”表示零点，“”表示极
点。
将H（s）的全部零点和极点画在s平面上得到的图称为系统的零极点分布图。
对于实系统函
数而言，其零极点要么位于实轴上，要么关于实轴成镜像对称分布。
（2）全通函数
如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于jw轴互为镜
像,那么这种系统函数称为全通函数，此系统则为全通系统或全通网络。
全通网络函数的幅频特
性是常数。
（3）最小相移函数
如果系统函数的全部极点和零点均位于s平面的左半平面或jw轴，则称这种函数为最小相移函
数。
具有这种网络函数的系统为最小相移网络。
（4）系统函数H（s）的求解方法
①由冲激响应h（t）求得，即H（s）[h（t）]。
②对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由H（s）Rzs（s）获得。
E（s）
③根据s域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为H（s）
6.系统的稳定性若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则此系统为稳定系统。
（1）稳定系统的时域判决条件h（t）dtM（充要条件）①
若系统是因果的，则①式可改写为°h（t）dtM
①若系统函数H（s）的全部极点落于
s左半平面，则该系统稳定;
（2）对于因果系统，其稳定性的s域判决条件
则该系统不稳定;
②若系统函数H（s）有极点落于s右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点,
③若系统函数H（s）没有极点落于s右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则该系统临界稳定
内容摘要
.拉普拉斯
拉氏变换的定义和收敛域
典型信号的拉氏变换
二•单边拉氏变换逆变换的求法
三•拉氏变换的基本性质
-部分分式展开法
■围线积分法
四•用拉普拉斯变换法分析电路
五•系统函数
学统函数的定义
由零极点的决定系统的时域特性
由零极点的分析系统的稳定性
j由零极点的分析系统的频响特性
例1
求下列函数的拉氏变换
分析
fttut1
拉氏变换有单边和双边拉氏变换，为了区别起见，本书以Fs表示ft单边拉氏变换，以FBs
表示ft双边拉氏变换。
若文字中未作说明，则指单边拉氏变换。
单边拉氏变换只研究t0的
时间函数，因此，它和傅里叶变换之间有一些差异，例如在时移定理，微分定理和初值定理等方面。
本
例只讨论时移定理。
请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。
解答
例2
求三角脉冲函数f（t）如图4-2（a）所示的象函数
分析此ft
和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质,
这比
按拉氏变换的定义式积分简单，为比较起见,解答
方法一：
按定义式求解
方法二：
利用线性叠加和时移性质求解方法三：
利用微分性质求解
本例用多种方法求解
方法四：
利用卷积性质求解
方法一：
按定义式求解
方法二：
利用线性叠加和时移性质求解
由于
于是1s2s
Fsi2ese2s
方法三：
利用微分性质求解
分析1s2
1e
信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后岀现原
信号，这时利用微分性质比较简单。
将ft微分两次，所得波形如图4-2（b）所示。
显然
根据微分性质
由图4-2（b）可以看岀
于是
方法四：
利用卷积性质求解
ft可看作是图4-2（c）所示的矩形脉冲fit自身的卷积
解答3
说明
（1）
因而
这是应
t3t
单边拉氏变换，由于f1tf2tut,
t
故二者的象函数相同，即
t
用微分性质应特别注意的问题。
t
由图04-3（b）知
（1）*f31
0
图
4-4（激
某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。
当输入x3阶跃响应
t为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输岀
y3t。
则
Y3tYzitgt1gt3
例52etutet1ut1et3ut3
电路如图4-5（a）所示
（1）求系统的冲激响应。
（2）求系统的起始状态iL0、vC0,使系统的零输
入响应等于冲激响应。
（3）求系统的起始状态，使系统对ut的激励时的完
解答
（1）求系统的冲激响应。
2Q1H
iL0
4-5（a）
1F*Vct
s求逆变换可求得ht，这
s域模型。
下面我们用s
系统冲激响应ht与系统函数Hs是一对拉氏变换的关系。
对种方法比在时域求解微分方程简便。
利用s域模型图4-5（b）可直写岀图4-5（a）电路的系统函数冲激响应
（2）求系统的起始状态
为求得系统的零输入响应，应写岀系统的微分方程或给岀带有初值的
域模型求解。
图4-5（a）电路的s域模型如图4-5（b）。
由图4-5（b）可以写岀
上式中第二项只和系统起始状态有关，因此该项是零输入响应的拉氏变换。
依题意的要求，该项应和HS相等，从而得
故系统的起始状态
说明
通过本例可以看岀，改变系统的起始状态可以使系统的完全响应满足某些特定要求。
本质上，系统的零输入响应完全由系统的起始状态决定，对一个稳定系统而言，零输入响应是暂态响应中的一部分，因此，改变系统的起始状态只能改变系统的暂态响应，使暂态响应满足某些特定要求，例如，本例要求暂态响应为零。
（3）求系统的起始状态
从而求得系统的起始状态
附录A拉普拉斯变换及反变换
1.表A-1拉氏变换的基本性质
1
线性定理
齐次性
叠加性
2
微分定理
一般形式
初始条件为0时
3
积分定理
一般形式
初始条件为0时
4
延迟定理（或称t域平移定理）
5
衰减定理（或称s域平移定理）
6
终值定理
7
初值定理
8
卷积定理
2.表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表
序号
拉氏变换E（s）
时间函数e（t）
Z变换E（z）
1
1
5（t）
1
2
3
4
t
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3.用查表法进行拉氏反变换
然后逐项查表进行反变
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,
换。
设F（s）是s的有理真分式
F（s）展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
①A（s）0无重根
（F-2）
式计算:
Cism（ssJF（s）
（F-3）
CB（s）
A（s）
A（s）0有重根
设A（s）0有r重根s1，F（s）可写为
CrCr1
（ss）r（ss）r1
C1
Cr1
Ci
Cn
（sS1）
ssr1
ssi
sSn
式中，
Si为F（s）的r
重根，
Sr1，…
sn为F（s）的
n-r个单根；
其中，
Cr1,…，Cn
i仍按式（F-2）或（F-3）计算，
Cr，
Cr1，…,
5则按下式计算：
1
d（j）
r
Crj
lim
j!
sS1
ds（j）（S
S1）
F（s）
（F-5）
原函数
f（t）为
Cr”1
Cr
1tr2
c2t
C1
n
S|t
eci
eSit
（F-6）
（r1）!
（r
2）!
ir1
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