拉普拉斯变换.docx

1、拉普拉斯变换拉普拉斯变换基本要求拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、 卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画岀 S域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。 理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。知识要点1.拉普拉斯变换的定义及定义域(1) 定义单边拉普拉斯变换：正变换 f (t)stF(s) 0 f(t)e dt逆变换 F (s)1 j stf(t) 2 j j F(s)eds双边拉普拉斯变换：正变换 F B(s)f (t

2、)e stdt1逆变换f(t)2 jj stj F B(s)e ds数f(t)的性质有关。2.拉普拉斯变换的性质(1)线性性若 fi(t) Fi(S) , f2(t) F2(S) , i , 2 为 常数时，则1 f1(t) 2 f2 (t) 1F1(S) 2F2(S)(2)原函数微分若f (t) F (s)则如sF(s) f(0 )dtr式中f(0 )是r阶导数d f(t)在0时刻的取值。dtr(3)原函数积分(1)若f (t) F (s)，则 f (t)dt 式中 f(1)(0) 0 f(t)dt(4) 延时性若f (t)F (s)，则f(t t)u(tt。)e st0 F (s)(5)

3、s域平移若f (t)F (s)，则f(t)e atF(sa)(6) 尺度变换若f (t)F (s)，则1f(at)-F(?)(a 0)a a(7)初值定理limf(t)f(0 ) limsF(s)t os(8)终值定理limtf(t)lim sF(s)s(9)卷积定理若fi(t) Fi(s), f2(t) F2(s)，则有fi(t) f2(t) Fi(s)F2(s)1 1 jfl(t)f2(t) h(s) F2(s)F j Fl(p)F2(s p)dp3.拉普拉斯逆变换4.部分分式展开法叠加起来即得到原函数 f(2)留数法5.系统函数(网络函数) H ( s)(1) 定义系统零状态响应的拉普拉

4、斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数，即H(s) Rzs(s)冲激响应h(t)与系统函数H (s)构成变换对，即 H(s) h(t)系统的频率响E(s)应特性。(1)零极点分布图H(s)阻 K(s zi)(s 互卜(s zm)式中，是系数；Z1 , z2, L Zm为 H(s)的D(s) (s Pi)(s P2)L (s Pn)零点；口 , P2, L , Pn为H(s)的极点。在s平面上，用“ d ”表示零点，“ ”表示极点。将H(s)的全部零点和极点画在 s平面上得到的图称为系统的零极点分布图。对于实系统函数而言，其零极点要么位于实轴上，要么关于实轴成镜像对称分布。(2)全通函数如果

5、一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于 jw轴互为镜像,那么这种系统函数称为全通函数， 此系统则为全通系统或全通网络。 全通网络函数的幅频特性是常数。(3)最小相移函数如果系统函数的全部极点和零点均位于 s平面的左半平面或 jw轴，则称这种函数为最小相移函数。具有这种网络函数的系统为最小相移网络。(4)系统函数H(s)的求解方法由冲激响应h(t)求得，即H(s) h(t)。对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由 H(s) Rzs(s)获得。E(s)根据s域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为 H (s)6.系统的稳定性 若系统对

6、任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则此系统为稳定系统。(1)稳定系统的时域判决条件 h(t)dt M (充要条件) 若系统是因果的，则式可改写为 h(t)dt M若系统函数H (s)的全部极点落于s左半平面，则该系统稳定;(2) 对于因果系统，其稳定性的 s域判决条件则该系统不稳定;若系统函数 H (s)有极点落于s右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点,若系统函数 H(s)没有极点落于s右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则该系统临界稳定内容摘要.拉普拉斯拉氏变换的定义和收敛域典型信号的拉氏变换二单边拉氏变换逆变换的求法三拉氏变换的基本性质-部分分式展开法围线积分法四用拉普拉斯变换法分析电

7、路五系统函数学统函数的定义由零极点的决定系统的时域特性由零极点的分析系统的稳定性j由零极点的分析系统的频响特性例1求下列函数的拉氏变换分析ft tu t 1拉氏变换有单边和双边拉氏变换 ，为了区别起见，本书以F s表示f t单边拉氏变换，以FB s表示f t双边拉氏变换。若文字中未作说明 ，则指单边拉氏变换。单边拉氏变换只研究 t 0的时间函数，因此，它和傅里叶变换之间有一些差异 ，例如在时移定理，微分定理和初值定理等方面。本例只讨论时移定理。请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。解答例2求三角脉冲函数f(t)如图4-2 (a)所示的象函数分析 此f t和傅里叶变换类似， 求拉氏变换的

8、时， 往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质,这比按拉氏变换的定义式积分简单，为比较起见, 解答方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解 方法三：利用微分性质求解本例用多种方法求解方法四：利用卷积性质求解方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解由于于是 1 s 2sF s i 2 e s e 2s方法三：利用微分性质求解分析 1 s 21 e信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后岀现原信号，这时利用微分性质比较简单。将f t微分两次，所得波形如图 4-2 (b)所示。显然根据微分性质由图4-2 ( b)可以看岀于是方法四：利用

9、卷积性质求解f t可看作是图4-2(c)所示的矩形脉冲 fi t自身的卷积解答 3说明(1)因而这是应t 3 t单边拉氏变换，由于f1 t f2 t u t ,t故二者的象函数相同，即t用微分性质应特别注意的问题。t由图04-3 ( b)知(1)* f310图4-4(激某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。 当输入x3 阶跃响应t为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输岀y3 t。则Y3 t Yzi t g t 1 g t 3例 5 2e t u t e t 1 u t 1 e t 3 u t 3电路如图4-5 ( a)所示(1)求系统的冲激响应。(2)求系统

10、的起始状态 iL 0 、vC 0 ,使系统的零输入响应等于冲激响应。(3)求系统的起始状态， 使系统对 ut的激励时的完解答(1 )求系统的冲激响应。2Q 1HiL 04-5(a)1F * Vc ts求逆变换可求得h t，这s域模型。下面我们用 s系统冲激响应h t与系统函数 H s是一对拉氏变换的关系。对 种方法比在时域求解微分方程简便。利用s域模型图4-5 ( b)可直写岀图4-5 ( a)电路的系统函数 冲激响应(2)求系统的起始状态为求得系统的零输入响应，应写岀系统的微分方程或给岀带有初值的域模型求解。图 4-5(a)电路的s域模型如图4-5(b)。由图4-5(b)可以写岀上式中第二项

11、只和系统起始状态有关，因此该项是零输入响应的拉氏变换。依题意的要求，该 项应和H S相等，从而得故系统的起始状态说明通过本例可以看岀，改变系统的起始状态可以使系统的完全响应满足某些特定要求。本质上， 系统的零输入响应完全由系统的起始状态决定，对一个稳定系统而言，零输入响应是暂态响应 中的一部分，因此，改变系统的起始状态只能改变系统的暂态响应，使暂态响应满足某些特定 要求，例如，本例要求暂态响应为零。(3)求系统的起始状态从而求得系统的起始状态附录A拉普拉斯变换及反变换1.表A-1拉氏变换的基本性质1线性定理齐次性叠加性2微分定理一般形式初始条件为0时3积分定理一般形式初始条件为0时4延迟定理(

12、或称t域平移定理)5衰减定理(或称 s域平移定理)6终值定理7初值定理8卷积定理2 .表A-2常用函数的拉氏变换和 z变换表序号拉氏变换E(s)时间函数e(t)Z变换E(z)115 (t)1234t567891011121314153.用查表法进行拉氏反变换然后逐项查表进行反变用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,换。设F(s)是s的有理真分式F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。A(s) 0无重根(F-2)式计算:Ci sm(s sJF(s)(F-3)C B(s)A(s)A(s) 0有重根设A(s) 0有r重根s1，F(s)可写为Cr Cr 1(s s)r (s s)r1C1Cr 1CiCn(s S1)s sr 1s sis Sn式中，Si 为 F(s)的 r重根，Sr 1，,sn 为 F(s)的n-r个单根；其中，Cr 1 ,，Cni仍按式(F-2)或(F-3)计算，Cr，Cr 1，,5则按下式计算：1d(j)rCr jlimj!s S1ds(j)(SS1)F(s)(F-5)原函数f(t)为Cr ” 1Cr1 t r 2c2tC1nS|te cieSit(F-6)(r 1)!(r2)!i r 1