烟台市数学中考试题解析.docx

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烟台市数学中考试题解析

山东省烟台市2013年中考数学试卷

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）

1．（3分）（2013•烟台）﹣6的倒数是（　B　）

2．（3分）（2013•烟台）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　B　）

A．

B．

C．

D．

3．（3分）（2013•烟台）“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是人一年的口粮．将用科学记数法表示为（C　　）

A．

2.1×109

B．

0.21×109

C．

2.1×108

D．

21×107

4．（3分）（2013•烟台）下列水平放置的几何体中，俯视图不是圆的是（　C　）

A．

B．

C．

D．

5．（3分）（2013•烟台）下列各运算中，正确的是（　B　）

A．

3a+2a=5a2

B．

（﹣3a3）2=9a6

C．

a4÷a2=a3

D．

（a+2）2=a2+4

6．（3分）（2012•青岛）如图，将四边形ABCD

先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，

那么点A的对应点A′的坐标是（　B　）

A．

（6，1）

B．

（0，1）

C．

（0，﹣3）

D．

（6，﹣3）

7．（3分）（2013•烟台）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（D　　）

A．

5

B．

5或6

C．

5或7

D．

5或6或7

考点：

多边形内角与外角．

分析：

首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．

解答：

解：

设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=720，解得：

n=6．则原多边形的边数为

5或6或7．故选．

点评：

本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．

　8．（3分）（2013•烟台）将正方形图1作如下操作：

第1次：

分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：

将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（　　）

A．

502

B．

503

C．

504

D．

505

考点：

规律型：

图形的变化类．

分析：

根据正方形的个数变化得出第n次得到2013个正方形，则4n+1=2013，求出即可．

解答：

解：

∵第1次：

分别连接各边中点如图2，得到4+1=5个正方形；

第2次：

将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2+1=9个正方形…，

以此类推，根据以上操作，若第n次得到2013个正方形，则4n+1=2013，解得：

n=503．故选：

B．

点评：

此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键．

9．（3分）（2013•烟台）已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则

的值是（　　）

A．

7

B．

﹣7

C．

11

D．

﹣11

考点：

根与系数的关系．

专题：

计算题．

分析：

根据已知两等式得到a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根，利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计算可求出值．

解答：

解：

根据题意得：

a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根，

∴a+b=6，ab=4，

则原式=

=

=7．故选A

点评：

此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

10．（3分）（2013•烟台）如图，已知⊙O1的半径为1cm，

⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在

直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能

是（　　）A6cmB3cmC2cmD0.5cm

考点：

圆与圆的位置关系．

分析：

根据在滚动的过程中两圆的位置关系可以确定圆心距的关系．

解答：

解：

∵⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，∴当两圆内切时，圆心距为1，

∵⊙O1在直线l上任意滚动，∴两圆不可能内含，∴圆心距不能小于1，选D

点评：

本题考查了两圆的位置关系，本题中两圆不可能内含．

11．（3分）（2013•烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c

图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．

下列说法：

①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；

④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则

y1＞y2．其中说法正确的是（　　）

A．

①②

B．

②③

C．

①②④

D．

②③④

考点：

二次函数图象与系数的关系．

分析：

根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．

解答：

解：

∵二次函数的图象的开口向上，∴a＞0，

∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，

∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣

=﹣1，∴b=2a＞0，∴abc＜0，∴①正确；

2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．

∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），

∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：

y=4a+2b+c＞0，∴③错误；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），

根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∵＜3，∴y2＜y1，∴④正确；故选C．

点评：

本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．

12．（3分）（2013•烟台）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（　　）

A．

AE=6cm

B．

sin∠EBC=

C．

当0＜t≤10时，y=t2

D．

当t=12s时，△PBQ是等腰三角形

考点：

动点问题的函数图象．

分析：

由图2可知，在点（10，40）至点（14，40）区间，△BPQ的面积不变，因此可推论BC=BE，由此分析动点P的运动过程如下：

（1）在BE段，BP=BQ；持续时间10s，则BE=BC=10；y是t的二次函数；

（2）在ED段，y=40是定值，持续时间4s，则ED=4；

（3）在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数．

解答：

解：

（1）结论A正确．理由如下：

分析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm；

（2）结论B正确．理由如下：

如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，

由函数图象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BC•EF=×10×EF，∴EF=8，

∴sin∠EBC=

=

=；

（3）结论C正确．理由如下：

如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，∵BQ=BP=t，

∴y=S△BPQ=BQ•PG=BQ•BP•sin∠EBC=t•t•=t2．

（4）结论D错误．理由如下：

当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．

此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：

NB=

，NC=

，

∵BC=10，∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形

．

点评：

本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm．

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分）

13．（3分）（2013•烟台）分解因式：

a2b﹣4b3=　b（a+2b）（a﹣2b）　．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

分析：

先提取公因式b，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：

a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

解答：

解：

a2b﹣4b3=b（a2﹣4b2）=b（a+2b）（a﹣2b）．故答案为b（a+2b）（a﹣2b）．

点评：

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．

14．（3分）（2013•烟台）不等式

的最小整数解是　x=3　．

考点：

一元一次不等式组的整数解．

分析：

先求出一元一次不等式组的解集，再根据x是整数得出最小整数解．

解答：

解：

，

解不等式①，得x≥1，解不等式②，得x＞2，

所以不等式组的解集为x＞2，所以最小整数解为3．故答案为：

x=3．

点评：

此题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：

同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

15．（3分）（2013•烟台）如图，四边形ABCD是等腰梯形，

∠ABC=60°，若其四边满足长度的众数为5，平均数为

，

上、下底之比为1：

2，则BD=　

　．

考点：

等腰梯形的性质；算术平均数；众数．

分析：

设梯形的四边长为5，5，x，2x，根据平均数求出四边长，求出△BDC是直角三角形，根据勾股定理求出

解答：

解：

设梯形的四边长为5，5，x，2x，

则

=

，x=5，

则AB=CD=5，AD=5，BC=10，

∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ABD=∠DBC，

∵∠ABC=60°，∴∠DBC=30°，

∵等腰梯形ABCD，AB=DC，∴∠C=∠ABC=60°，∴∠BDC=90°，

∴在Rt△BDC中，由勾股定理得：

BD=

=5

，故答案为：

5

．

点评：

本题考查了梯形性质，平行线性质，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的应用，关键是求出BC、DC长和得出三角形DCB是等腰三角形．

16．（3分）（2013•烟台）如图，▱ABCD的周长为36，

对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，

则△DOE的周长为　15　．

考点：

三角形中位线定理；平行四边形的性质．

分析：

根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长．

解答：

解：

∵▱ABCD的周长为36，∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18

∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，∴OD=OB=BD=6．

又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，∴OE=BC，

∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15．故答案是：

15．

点评：

本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．

17．（3分）（2013•烟台）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为　108　度．

考点：

线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．

分析：

连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

解答：

解：

如图，连接OB、OC，∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，

又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°，

∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=27°∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°

∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，

∴点O是△ABC的外心，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=36°，

∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，

在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．故答案为：

108．

点评：

本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．

18．（3分）（2013•烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画

，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为　4π　．

考点：

正方形的性质；整式的混合运算．

分析：

设正方形EFGB的边长为a，表示出CE、AG，然后根据阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF，列式计算即可得解．

解答：

解：

设正方形EFGB的边长为a，则CE=4﹣a，AG=4+a，

阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF

=

+a2+a（4﹣a）﹣a（4+a）=4π+a2+2a﹣a2﹣2a﹣a2=4π．故答案为：

4π．

点评：

本题考查了正方形的性质，整式的混合运算，扇形的面积计算，引入小正方形的边长这一中间量是解题的关键．

三、解答题（本大题共8个小题，满分46分）

19．（6分）（2013•烟台）先化简，再求值：

，其中x满足x2+x﹣2=0．

考点：

分式的化简求值．

专题：

计算题．

分析：

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值，把x的值代入进行计算即可．

解答：

解：

原式=

•

=

•

=

，

由x2+x﹣2=0，解得x1=﹣2，x2=1，∵x≠1，∴当x=﹣2时，原式=

=．

点评：

本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

20．（6分）（2013•烟台）如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：

在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为12海里．求A、C两地之间的距离（参考数据：

≈1.41，

≈1.73，

≈2.45，结果精到0.1）

考点：

解直角三角形的应用-方向角问题．

分析：

过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，根据题意可得∠ACB和∠ABC的度数，然后根据三角形外角定理求出∠DAB的度数，已知AB=12海里，可求出BD、AD的长度，在Rt△CBD中，解直角三角形求出CD的长度，继而可求出A、C之间的距离．

解答：

解：

过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，

由题意得，∠ACB=60°﹣30°=30°，

∠ABC=75°﹣60°=15°，

∴∠DAB=∠DBA=45°，

在Rt△ABD中，AB=12，∠DAB=45°，

∴BD=AD=ABcos45°=6

，

在Rt△CBD中，CD=

=6

，

∴AC=6

﹣6

≈6.2（海里）．

答：

A、C两地之间的距离为6.2海里．

点评：

本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般．

21．（7分）（2013•烟台）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．

分析：

（1）求出OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；

（2）求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标．

解答：

解：

（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，

∴OA=BC=2，

将y=2代入y=﹣x+3得：

x=2，

∴M（2，2），

把M的坐标代入y=得：

k=4，

∴反比例函数的解析式是y=；

（2）∵S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON

=4×2﹣4=4，

由题意得：

OP×AM=4，

∵AM=2，

∴OP=4，

∴点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．

点评：

本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生应用性质进行计算的能力，题目比较好，难度适中．

22．（9分）（2013•烟台）今年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：

A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表．

对雾霾了解程度的统计表：

对雾霾的了解程度

百分比

A．非常了解

5%

B．比较了解

m

C．基本了解

45%

D．不了解

n

请结合统计图表，回答下列问题．

（1）本次参与调查的学生共有　400　人，m=　15%　，n=　35%　；

（2）图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是　126　度；

（3）请补全图1示数的条形统计图；

（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从“非常了解”态度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：

把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．

考点：

游戏公平性；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．

分析：

（1）根据“基本了解”的人数以及所占比例，可求得总人数；在根据频数、百分比之间的关系，可得m，n的值；

（2）根据在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心的度数与360°的比可得出统计图中D部分扇形所对应的圆心角；

（3）根据D等级的人数为：

400×35%=140；可得（3）的答案；

（4）用树状图列举出所有可能，进而得出答案．

解答：

解：

（1）利用条形图和扇形图可得出：

本次参与调查的学生共有：

180÷45%=400；

m=

×100%=15%，n=1﹣5%﹣15%﹣45%=35%；

（2）图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是：

360°×35%=126°；

（3）∵D等级的人数为：

400×35%=140；

如图所示：

（4）列树状图得：

；

所以从树状图可以看出所有可能的结果有12种，数字之和为奇数的有8种，

则小明参加的概率为：

P=

=，

小刚参加的概率为：

P=

=，

故游戏规则不公平．故答案为：

400，15%，35%；126

点评：

此题主要考查了游戏公平性，涉及扇形统计图的意义与特点，即可以比较清楚地反映出部分与部分、部分与整体之间的数量关系．

23．（8分）（2013•烟台）烟台享有“苹果之乡”的美誉．甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果．甲超市销售方案是：

将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价10%销售．乙超市的销售方案是：

不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元（其它成本不计）．问：

（1）苹果进价为每千克多少元？

（2）乙超市获利多少元？

并比较哪种销售方式更合算．

考点：

分式方程的应用．

分析：

（1）先设苹果进价为每千克x元，根据两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元列出方程，求出x的值，再进行检验即可求出答案；

（2）根据

（1）求出每个超市苹果总量，再根据大、小苹果售价分别为10元和5.5元，求出乙超市获利，再与甲超市获利2100元相比较即可．

解答：

解：

（1）设苹果进价为每千克x元，根据题意得：

400x+10%x（

﹣400）=2100，

解得：

x=5，

经检验x=5是原方程的解，

答：

苹果进价为每千克5元．

（2）由

（1）得，每个超市苹果总量为：

=600（千克），

大、小苹果售价分别为10元和5.5元，

则乙超市获利600×（

﹣5）=1650（元），

∵甲超市获利2100元，

∴甲超市销售方式更合算．

点评：

此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，根据两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元列出方程，解方程时要注意检验．

24．（2013•烟台）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为

上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EF•EB．

（1）求证：

CB=CF；

（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=，求⊙O的半径．

考点：

切线的性质；相似三角形的判定与性质．

分析：

（1）如图1，通过相似三角形（△AEF∽△AEB）的对应角相等推知，∠1=∠EAB；又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3；最后根据等角对等边证得结论；

（2）如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．根据

（1）中的相似三角形的性质证得∠4=∠5，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧AD的中点，则OE⊥AD；然后通过解直角△ABC求得cos∠C=sin∠GAO=

=，则以求r的值．

解答：

（1）证明：

如图1，

∵AE2=EF•EB，

∴

=

．

又