山东高考数学一轮总复习教学案设计参考函数的图象含答案解析.docx

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山东高考数学一轮总复习教学案设计参考函数的图象含答案解析

第7讲　函数的图象

[考纲解读]　1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练地运用基本初等函数的图象解决问题．

2．掌握作函数图象的常用方法：

①描点法；②平移法；③对称法．（重点）

3．能运用函数图象理解和研究函数的性质、解决方程解的个数或与不等式相关的问题．（难点）

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测2021年高考将会考查：

①已知函数解析式识别函数的图象；②利用函数图象求函数零点的个数、解不等式或求参数的取值范围．题型以客观题为主，在解答题中也会用到数形结合的思想进行求解．

对应学生用书P030

1.利用描点法作函数图象的流程

2．变换法作图

（1）平移变换

提醒：

对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：

左加右减，上加下减．

（2）对称变换

①y＝f（x）

y＝

－f（x）；

②y＝f（x）

y＝

f（－x）；

③y＝f（x）

y＝

－f（－x）；

④y＝ax（a>0且a≠1）

y＝

logax（a>0且a≠1）．

（3）翻折变换

①y＝f（x）

y＝

|f（x）|；

②y＝f（x）

y＝

f（|x|）．

（4）伸缩变换

①y＝

y＝

f（ax）；

②y＝f（x）

y＝

af（x）．

1.概念辨析

（1）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝f（x）与y＝f（|x|）的图象相同．（　　）

（2）函数y＝f（x）与y＝－f（－x）的图象关于原点对称．（　　）

（3）若函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称．（　　）

（4）若函数y＝f（x）满足f（π＋x）＋f（π－x）＝0，则函数f（x）的图象关于点（π，0）中心对称．（　　）

答案　

（1）√　

（2）√　（3）√　（4）√

2.小题热身

（1）设a＜b，函数y＝（x－a）2（x－b）的图象可能是（　　）

答案　C

解析　因为（x－a）2≥0，所以当x＞b时，y＞0，当x＜b时，y≤0，对照四个选项，C中的图象符合题意．

（2）将函数y＝f（－x）的图象向右平移1个单位长度得到（　　）

A.函数y＝f（－x－1）的图象

B.函数y＝f（－x＋1）的图象

C.函数y＝f（－x）－1的图象

D.函数y＝f（－x）＋1的图象

答案　B

解析　函数y＝f（－x）的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝f（－（x－1）），即y＝f（－x＋1）的图象．

（3）把函数y＝lnx的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________．

答案　y＝ln

解析　函数f（x）＝lnx的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是f

＝ln

，即y＝ln

.

（4）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是________．

答案　（－1,1]

解析　作出函数y＝log2（x＋1）的图象，如图所示：

其中函数f（x）与y＝log2（x＋1）的图象的交点为D（1,1），由图象可知f（x）≥log2（x＋1）的解集为{x|－1

对应学生用书P031

题型一　函数图象的画法　

作出下列函数的图象：

（1）y＝

；

（2）y＝

|x＋1|；

（3）y＝|log2x－1|；（4）y＝x2－2|x|－1.

解　

（1）易知函数的定义域为{x|x≠－1，x∈R}．

y＝

＝－1＋

，因此由函数y＝

的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y＝

的图象，如图1所示．

（2）先作出y＝

x，x∈[0，＋∞）的图象，然后作其关于y轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y＝

|x＋1|的图象，如图2所示．

（3）先作出y＝log2x的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到y＝|log2x－1|的图象，如图3所示．

（4）y＝

的图象如图4所示．

条件探究　将本例（4）改为y＝|x2－2x－1|，其图象怎样画？

解　y＝

画图如图所示.

函数图象的画法

（1）直接法：

当函数的表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．

（2）转化法：

含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．如举例说明（4）．

（3）图象变换法：

若函数的图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．如举例说明

（1）、

（2）、（3）．

作出下列函数的图象：

（1）y＝

＋1；

（2）y＝x2－2x＋2，x∈（－1,2]；

（3）y＝10|lgx|.

解　

（1）函数图象如图1所示．

（2）函数图象如图2所示．

（3）y＝10|lgx|＝

其图象如图3所示.

题型二　函数图象的辨识

1.（2019·全国卷Ⅰ）函数f（x）＝

在[－π，π]的图象大致为（　　）

答案　D

解析　∵f（－x）＝

＝－f（x），∴f（x）为奇函数，排除A.又f

＝

＝

>1，f（π）＝

>0，排除B，C.故选D.

2.已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝－f（2－x）的图象为（　　）

答案　B

解析　解法一：

由y＝f（x）的图象知，

f（x）＝

当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，

所以f（2－x）＝

故y＝－f（2－x）＝

图象应为B.

解法二：

当x＝0时，－f（2－x）＝－f

（2）＝－1；

当x＝1时，－f（2－x）＝－f

（1）＝－1.

观察各选项，可知应选B.

函数图象辨识的策略

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性，如举例说明1.

（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复；

（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象，如举例说明1.

1.函数f（x）＝sin（πx）e－

的图象可能是（　　）

答案　A

解析　由f

＝e－

＞0，排除D；由f（－x）＝－f（x），可知f（x）是奇函数，可排除C；由f

＝sin

e－

＝－e－

＞－e0＝－1.可排除B.故选A.

2．如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于点E，当l从左至右移动（与线段AB有公共点）时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为（　　）

答案　D

解析　直线l在AD圆弧段时，面积y的变化率逐渐增大，l在DC段时，y随x的变化率不变；l在CB段时，y随x的变化率逐渐变小，故选D.

题型三　函数图象的应用　

角度1　研究函数的性质

1.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x＋1）＝f（x－1），已知当x∈[0,1]时，f（x）＝

1－x，则下列说法：

①2是函数f（x）的周期；

②函数f（x）在（1,2）上递减，在（2,3）上递增；

③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；

④当x∈（3,4）时，f（x）＝

x－3.

其中所有正确说法的序号是________．

答案　①②④

解析　由已知条件，得f（x＋2）＝f（x），

故y＝f（x）是以2为周期的周期函数，①正确；

当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，

f（x）＝f（－x）＝

1＋x，

函数y＝f（x）的图象如图所示，

当3

f（x）＝f（x－4）＝

x－3，因此②④正确，③不正确.

角度2　解不等式

2.（2019·昆明检测）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（－∞，0）上是减函数，f

（2）＝0，g（x）＝f（x＋2），则不等式xg（x）≤0的解集是（　　）

A.（－∞，－2]∪[2，＋∞）

B.[－4，－2]∪[0，＋∞）

C.（－∞，－4]∪[－2，＋∞）

D.（－∞，－4]∪[0，＋∞）

答案　C

解析　依题意，画出函数g（x）的大致图象如图，则xg（x）≤0⇔

或

由图可得xg（x）≤0的解集为（－∞，－4]∪[－2，＋∞）．

3.不等式3sin

x－log

x<0的整数解的个数为（　　）

A.2B．3

C．4D．5

答案　A

解析　不等式3sin

x－log

x<0可化为3sin

x

x，作出函数y＝3sin

x和y＝log

x的图象如下图所示：

结合图象可知，3sin

x

x的整数解为3和7，共2个.

角度3　求取值范围

4.设函数f（x）＝

若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a＋2b＋2c的取值范围是（　　）

A.（16,32）B．（18,34）

C.（17,35）D．（6,7）

答案　B

解析　画出函数f（x）的图象如图所示．

不妨令a＜b＜c，则1－2a＝2b－1，

则2a＋2b＝2.

结合图象可得4＜c＜5，故16＜2c＜32.

所以18＜2a＋2b＋2c＜34.故选B.

5.若关于x的不等式4ax－1＜3x－4（a＞0，且a≠1）对于任意的x＞2恒成立，求a的取值范围．

解　不等式4ax－1＜3x－4等价于ax－1＜

x－1.

令f（x）＝ax－1，g（x）＝

x－1，

当a＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图1所示，由图知不满足条件；

当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图2所示，

当x≥2时，f

（2）≤g

（2），即a2－1≤

×2－1，

解得a≤

，所以a的取值范围是

.

1.利用图象研究函数性质问题的思路

对于已知解析式易画出其在给定区间上函数的图象，其性质常借助图象研究：

2.利用函数的图象研究不等式

当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．如举例说明3.

3.利用函数图象解答求取值范围问题

（1）借助函数图象．由参数满足的等量关系分析出参数满足的其他等量关系或不等关系，如举例说明4.

（2）解不等式恒成立问题，通常在同一坐标系中分别作出两函数的图象，利用数形结合求解．如举例说明5.

1．已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）是偶函数，单调递增区间是（0，＋∞）

B．f（x）是偶函数，单调递减区间是（－∞，1）

C．f（x）是奇函数，单调递减区间是（－1,1）

D．f（x）是奇函数，单调递增区间是（－∞，0）

答案　C

解析　函数f（x）＝x|x|－2x的定义域是R，且f（－x）＝－x|－x|－2（－x）＝－x|x|＋2x＝－f（x），

所以函数f（x）是奇函数，

f（x）＝x|x|－2x

＝

如图所示．

函数f（x）的单调递减区间是（－1,1）．

2．若a＝2x，b＝

，c＝log

x，则“a>b>c”是“x>1”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　由图可知，“x>1”⇒“a>b>c”，但“a>b>c”

“x>1”，即“a>b>c”是“x>1”的必要不充分条件．故选B.

3．（2019·山西四校联考）已知函数f（x）＝|x2－1|，若0＜a＜b且f（a）