《第1章 勾股定理》测试题.docx
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《第1章勾股定理》测试题
《第1章勾股定理》
一、选择题
1．分别有下列几组数据：
①6、8、10②12、13、5③17、8、15④4、11、9，其中能构成直角三形的有（ ）
A．4组B．3组C．2组D．1组
2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25B．14C．7D．7或25
3．如图，带阴影的矩形面积是（ ）平方厘米．
A．9B．24C．45D．51
4．下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三角形三边分别是9，40，41
B．三角形三内角之比为1：
2：
3
C．三角形三内角中有两个角互余
D．三角形三边之比为2：
3：
4
5．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（ ）
A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米
6．如果三角形一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能
7．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为（ ）
A．6cmB．8.5cmC．
cmD．
cm
8．如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2
二、填空：
9．如图，正方形B的面积是 ．
10．如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD的面积 ．
11．一根旗杆在离地面12米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处．旗杆折断之前有 米．
12．一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km．
13．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
14．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ．
三、解答题：
15．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，该河流的宽度为多少？
16．新中源陶瓷厂某车间的人字形屋架为等腰△ABC，AC=BC=13米，AB=24米．求AB边上的高CD的长度？
17．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识
（1）求△ABC的面积．
（2）判断△ABC是什么形状？
并说明理由．
18．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是多少？
19．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
20．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米．
（1）求BF与FC的长．
（2）求EC的长．
《第1章勾股定理》
参考答案与试题解析
一、选择题
1．分别有下列几组数据：
①6、8、10②12、13、5③17、8、15④4、11、9，其中能构成直角三形的有（ ）
A．4组B．3组C．2组D．1组
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一解答即可．
【解答】解：
①62+82=100=102，符合勾股定理的逆定理；
②52+122=132，符合勾股定理的逆定理；
③82+152=172，符合勾股定理的逆定理；
④42+92≠112，不符合勾股定理的逆定理；
故选：
B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25B．14C．7D．7或25
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．
【解答】解：
分两种情况：
（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；
（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为
．∴第三边长的平方是25或7，
故选D．
【点评】本题利用了分类讨论思想，是数学中常用的一种解题方法．
3．如图，带阴影的矩形面积是（ ）平方厘米．
A．9B．24C．45D．51
【考点】几何体的表面积；勾股定理．
【分析】根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．
【解答】解：
∵
=15厘米，
∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．
故选C．
【点评】本题考查了勾股定理和长方形的面积公式．
4．下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三角形三边分别是9，40，41
B．三角形三内角之比为1：
2：
3
C．三角形三内角中有两个角互余
D．三角形三边之比为2：
3：
4
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】分别讨论四个选项是否满足勾股定理的逆定理或者有一个角是直角即可，若满足则是直角三角形，否则不是．
【解答】解：
对于A：
92+402=412，满足勾股定理的逆定理，所以该三角形是直角三角形；
对于B：
设三个内角为x，2x，3x则，x+2x+3x=180°，x=30°．此时三个内角分别为30°、60°、90°，即有一个角是直角，所以该三角形是直角三角形；
对于C：
三角形三内角中有两个互余，即另外一个角是90°，所以该三角形是直角三角形；
对于D：
设该三角形的三边为2x、3x、4x则（2x）2+（3x）2=13x2≠（4x）2=16x2，不满足勾股定理，也没有角为直角，所以不是直角三角形．
故选D．
【点评】本题主要考查利用直角三角形的性质证明该三角形是直角三角形的能力，只要满足勾股定理的逆定理或者有一个角为直角都可证明是直角三角形．
5．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（ ）
A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】应用题．
【分析】仔细分析题意得：
梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．
【解答】解：
梯脚与墙角距离：
=0.7（米）．
故选A．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
6．如果三角形一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能
【考点】三角形内角和定理．
【专题】应用题．
【分析】根据三角形的外角性质和已知条件可得：
这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的；又因为外角与它相邻的内角互补，可得一个内角一定是90°，即可判断此三角形的形状．
【解答】解：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和，
由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，
∴有一个内角一定是90°，故这个三角形是直角三角形．
故选B．
【点评】本题主要考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是利用外角和内角的关系，比较简单．
7．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为（ ）
A．6cmB．8.5cmC．
cmD．
cm
【考点】勾股定理；三角形的面积．
【分析】先根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
【解答】解：
∵直角三角形的两条直角边分别为5cm，12cm，
∴斜边=
=13cm，
设斜边上的高为h，则直角三角形的面积=
×5×12=
×13•h，
∴h=
cm．
故选D．
【点评】本题考查了勾股定理的运用及直角三角形的面积的求法，属中学阶段常见的题目，需同学们认真掌握．
8．如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】首先根据翻折的性质得到ED=BE，再设出未知数，分别表示出线段AE，ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．
【解答】解：
∵长方形折叠，使点B与点D重合，
∴ED=BE，
设AE=xcm，则ED=BE=（9﹣x）cm，
在Rt△ABE中，
AB2+AE2=BE2，
∴32+x2=（9﹣x）2，
解得：
x=4，
∴△ABE的面积为：
3×4×
=6（cm2）．
故选：
A．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力，解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可．
二、填空：
9．如图，正方形B的面积是 144 ．
【考点】勾股定理．
【分析】根据正方形的面积公式求出AC、AD的长，根据勾股定理求出CD的长，根据正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：
由正方形的面积公式可知，
AC=13，AD=5，
由勾股定理得，DC=
=12，
则CD2=144，
∴正方形B的面积是144，
故答案为：
144．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
10．如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD的面积 12 ．
【考点】勾股定理；三角形的面积；正方形的性质．
【专题】计算题．
【分析】由图可得出四边形ABCD的面积=网格的总面积﹣四个角的四个直角三角形的面积，该网格是5×5类型的且边长都是1的小正方形，面积为5×5；四个角的四个直角三角形的直角边分别为：
1、2；4、3；3、2；3、2；根据直角三角形的面积等于
×两直角边的乘积，分别求出四个直角三角形的面积，进而求出四边形ABCD的面积．
【解答】解：
由题意可得：
四边形ABCD的面积=5×5﹣
×1×2﹣
×4×3﹣
×2×3﹣
×2×3=12，
所以，四边形ABCD的面积为12．
故答案为12．
【点评】本题主要考查求不规则图形面积的能力，关键在于根据图形得出：
四边形ABCD的面积=网格的总面积﹣四个角的四个直角三角形的面积，求出四边形ABCD的面积．
11．一根旗杆在离地面12米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处．旗杆折断之前有 25 米．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题意，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长．
【解答】解：
∵52+122=169，
∴
=13（m），
∴13+12=25（米）．
∴旗杆折断之前有25米．
故答案为：
25．
【点评】此题考查了勾股定理的应用．培养同学们利用数学知识解决实际问题的能力，观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
12．一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 17 km．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的半小时后和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长．
【解答】解：
作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC=16×0.5km=8km，
BC=30×0.5km=15km．
则AB=
km=17km
故答案为17．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定△ABC为直角三角形，并且根据勾股定理计算AB是解题的关键．
13．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 8 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用AC+BC﹣AB进而得出答案．
【解答】解：
由题意可得：
AB=
=10（m），
则AC+BC﹣AB=14﹣10=4（m），
故他们仅仅少走了：
4×2=8（步）．
故答案为：
8．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
14．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= 4 ．
【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】规律型．
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【解答】
解：
观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，
即S1+S2=1，
同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
故答案为：
4．
【点评】运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．
三、解答题：
15．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，该河流的宽度为多少？
【考点】勾股定理的应用．
【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．
【解答】解：
根据图中数据，运用勾股定理求得AB=
=
=480m，
答：
该河流的宽度为480m．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．
16．新中源陶瓷厂某车间的人字形屋架为等腰△ABC，AC=BC=13米，AB=24米．求AB边上的高CD的长度？
【考点】勾股定理的应用；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形ABC，CD是高，则易得△ACD是直角三角形．利用勾股定理即可得出CD的长．
【解答】解：
∵等腰三角形ABC，CD⊥AB，
∴AD=BD=
AB=12m，
∵AC=BC=13m，
∴CD=
=5m．
答：
AB边上的高CD的长度是5米．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的简单应用，根据已知得出AD=BD=12米是解题关键．
17．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识
（1）求△ABC的面积．
（2）判断△ABC是什么形状？
并说明理由．
【考点】勾股定理；三角形的面积；勾股定理的逆定理．
【专题】网格型．
【分析】
（1）用长方形的面积减去三个小三角形的面积即可求出△ABC的面积．
（2）根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【解答】解：
（1）△ABC的面积=4×8﹣1×8÷2﹣2×3÷2﹣6×4÷2=13．
故△ABC的面积为13；
（2）∵正方形小方格边长为1
∴AC=
=
，AB=
=
，BC=
=2
，
∵在△ABC中，AB2+BC2=13+52=65，AC2=65，
∴AB2+BC2=AC2，
∴网格中的△ABC是直角三角形．
【点评】考查了三角形的面积，勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：
已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
18．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是多少？
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】先将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，连接AB；或将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，连接AB，然后分别在Rt△ABD与Rt△ABH，利用勾股定理求得AB的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．
【解答】解：
将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图1，
由题意可得：
BD=BC+CD=5+10=15cm，AD=CH=15cm，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
AB=
=15
cm；
将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图2，
由题意得：
BH=BC+CH=5+15=20cm，AH=10cm，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：
AB=
=10
cm，
则需要爬行的最短距离是15
cm．
连接AB，如图3，
由题意可得：
BB′=B′E+BE=15+10=25cm，AB′=BC=5cm，
在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：
AB=
=5
cm，
∵15
＜10
＜5
，
∴则需要爬行的最短距离是15
cm．
【点评】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．
19．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【解答】解：
设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2
∴x2+52=（x+1）2
解得x=12
∴AB=12
∴旗杆的高12m．
【点评】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力．
20．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米．
（1）求BF与FC的长．
（2）求EC的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理的应用；矩形的性质．
【分析】
（1）由图形翻折变换的性质可知，AD=AF=10，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求解BF，再由BC=12厘米可得出FC的长度；
（2）将CE的长设为x，得出DE=10﹣x=EF，在Rt△CEF中，根据勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：
（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE，
∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．
∵AD=BC=10cm，
∴AF=AD=10cm．
又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2
∴82+BF2=102，
∴BF=6cm，
∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm．
（2）设EC的长为xcm，则DE=（8﹣x）cm．
在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：
FC2+EC2=EF2，
∴42+x2=（8﹣x）2，
即16+x2=64﹣16x+x2，
化简，得16x=48，
∴x=3，
故EC的长为3cm．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题时常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
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