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运筹41

运筹学期末考试知识点

线性规划

1.了解LP模型处理的问题类型（①给定任务，以最小代价实现；②给定条件，使之生产最大效益），LP模型的要素（变量，目标函数，约束条件）

2.LP问题的标准化（SLP：

①Max②所有约束均为“=”型③任意xj≥0④bj≥0；P14；习题1.1）

3.可行解（满足所有约束条件（包括非负条件）的解）、基解、基可行解（满足非负条件的基解为基可行解）的基本含义和性质（①基解不一定可行，可行解不一定是基解；②唯一最优解只需在基可行解中寻找③唯一最优解对应的是可行域的某一个顶点）

4.单纯形法求解LP问题（P28表1-1）

5.人工变量的含义，大M法求解时对约束条件和目标函数的处理（①人工变量未离基则无解；②人工变量一旦离基就可以不继续算；③离基变量为0即多重最优解）

6.解的判断（唯一最优解、无穷多最优价、无界解、无可行解）

对偶及灵敏度分析

1.求某一LP问题的对偶问题（DLP：

正常对正常，不正常对不正常；正常情况下Max对“≤”，变量≥0），对偶问题和原问题之间的关系（①对偶问题中的对偶问题是原问题；各自最优解

②最大化问题的目标函数值Z|最小化问题的目标函数值W

Z=W函数值

若一个问题有无界解（有可行解，且目标函数值无界），则另一个问题无可行解；反之，如果一个问题无解，则原问题可能为无界解或无解。

如果一个问题无解，而另一个问题若有解则一定是无界解。

③LP的检验数是DLP的一个基解的相反数）

2.强弱对偶理论

3.对偶单纯形法的求解思路（P56表2-4）

4.c和b的灵敏度分析

运输问题

1.运输问题模型的特点（基变量m+n-1个，退化LP；闭回路；解的可能性：

唯一最优解，多重最优解）

2.求运输问题初始方案的方法（西北角法、最小元素法、Vogel近似法、退化解）

3.检验数的含义

4.运输问题方案的改进（P86）

排队论

1.熟练掌握排队系统的分类（X/Y/Z/A/B/C），了解其中每个符号的含义

2.理解λ和μ的含义，掌握λ和μ的确定方法

3.理解ρ的含义（P148）

4.求解M/M/1排队系统的各运行指标ρ、p0、L、Lq、W、Wq等

存储论

1.描述存储策略的指标

2.评价存储策略优劣的指标，费用函数及其表达式

3.掌握4种确定性存储模型的存储状态图

4.4种确定性存储模型的T0、Q0、C0的求解

5.对单位时间费用C0中“单位时间”的理解

6.K、R、P、c1、c2、c3等参数的改变对T0、Q0、C0的影响

动态规划

1.动态规划的研究对象及基本概念

2.以最短路问题为例，理解阶段变量、状态变量、决策变量的、状态转移方程、阶段指标函数、过程指标函数等的含义及表达方法

3.两类动态规划问题（资金分配问题（①每个项目至多投2万；②若机器不投入生产，每1台价值15万）和资源动态分配问题p112）的求解

一、是非题（每题1分×10题）二、单选题（每题2分×10题）

三、大题

（一）线性规划综合题（15分）

1、单纯形法

目标函数Opt：

MaxZ=2x1+x2

　　　　　　5x2≤15

约束条件s.t6x1+2x2≤24

x1+x2≤5，并对照作图法，说明其迭代过程。

x1，x2≥0

解：

SLP：

MaxZ=2x1+x2

5x2+x3=15

s.t6x1+2x2+x4=24

x1+x2+x5=5

x1，x2≥0

---

［6］

24∕6√

5∕1

1∕3

1∕6

[2/3]

－1/6

3∕2√

1∕3√

－1/3

7.5

5/4

-15/2

3.5

1/4

-1/2

1.5

－1/4

1/5

－1/4

-1/2

X*＝（3.5，1.5，7.5，0，0）T　　目标函数最优值MaxZ=8.5

目标函数Z用非基变量表示，若检验数σj＜0，得到最优解

2、对偶单纯型法

目标函数Opt：

MinW=15y1+24y2+5y3

　　6y2+y3≥2

　约束条件s.t5y1+2y2+y3≥1

y1、y2、y3≥0

解：

SLP：

MaxZ=－15y1－24y2－5y3MaxZ=－15y1－24y2－5y3

　　6y2+y3－y4　＝2－6y2－y3＋y4　＝－2

s.t5y1+2y2+y3　－y5＝1→s.t－5y1－2y2－y3　＋y5＝－1

yj≥0yj≥0

－15

－24

－5

－2*

［-6］

－1

－5

－2

－1

－15

－24

－5

－

-24

1/3

1/6

-1/6

-1/3*

-5

[-2/3]

-1/3

－15

－1

－4

3/2*

-24

1/4

-5/4

-1/4

1/4

-5

1/2

15/2

1/2

-3/2

－15/2

-7/2

-3/2

得到最优解：

Y*＝（0，1/4，1/2，0，0），MinW=8.5

1整个迭代过程中，sj≤0；（若sj＞0，方法或计算错误）②若bi≥0，已是最优解

3、灵敏度分析（习题2.8，2.9）

（二）动态规划（20分）资金分配问题

习题4.3某公司有资金4万元，可向A、B、C三个项目投资，已知各项目的投资回报如下，求最大回报。

项目

投资额及收益

阶段变量k、状态变量Sk、决策变量xk、状态转移方程sk+1=Tk（sk，xk）、阶段指标函数dk（sk，xk）、过程指标函数fk（sk）＝OPT｛dk（sk，xk）＋fk+1（sk+1）

（三）存储论（共20分）5.1,5.2,5.3,5.4,5.5,5.6

模型

状态

参数

一

P（120）

瞬时（订货）补充，

不允许缺货

需求R存储费c1

订购费c3

二

逐渐（生产）补充，

不允许缺货

R、c1、c3

生产速度p

三

瞬时（订货）补充,

允许缺货

R、c1、c3

缺货成本c2

四

逐渐（生产）补充，

允许缺货

R、c1、c3生产速度p缺货成本c2

（四）排队论（共15分）习题6.1，6.2

①排队系统中等待的人数Lq；②排队系统中的总人数L；③排队等待的时间Wq；④逗留时间W。

Kendall记号为：

X/Y/Z/A/B/C，其中X——顾客流的时间分布；Y——服务时间分布；Z——服务台个数；A――系统容量，可容纳最多顾客数；B――顾客源数目（顾客人数）；C——服务规则

（M/M/1/∞/∞/FCFS（M/M/1）排队模型）某店仅有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson流，流入速度λ，修理时间服从负指数分布，流出速度μ；

ρ=λ/μ

①系统中没有顾客的概率：

P0＝1－ρ②系统中有K个顾客的概率为：

Pk＝（ρ^k）（1－ρ）③系统中顾客数（逗留人数、队长）期望值L=ρ/（1-ρ）④等待服务的顾客的平均数：

Lq＝L－ρ＝ρ²/（1-ρ）；⑤排队等待的时间Wq=Lq/λ；⑥逗留时间W=L/λ（如：

排队系统中平均有6人，平均到达速度2人/小时，系统平衡，则每个人平均要逗留3小时。

）

例、某入城检查站，只有一个通关口，商人到达过程为Poisson流，平均4人/小时，物品检查时间服从负指数分布，平均6分钟/人，求：

［解］λ＝4人/h，μ＝10人/h，ρ＝λ/μ＝0.4

（1）检查站空闲的概率；P0＝1－ρ＝0.6

（2）恰有3个人的概率；P3＝（ρ^3）（1－ρ）＝0.038

（3）至少有1个人的概率；P｛N≥1｝＝1－P0＝0.4

（4）一到就能接受检查的概率；同

（1），P0＝0.6

（5）需要等待的概率；同（3），P＝0.4

（6）检查站的平均商人数；L＝ρ/（1-ρ）＝0.67人

（7）每位商人在检查站的平均逗留时间；W＝L/λ＝1/6小时＝10分钟

（7）等待检查的平均商人数；Lq＝L－ρ＝0.267人

（8）每位商人的平均等待时间；Wq＝Lq/λ＝1/15h＝4min

（9）检查人员的工作强度（平均每小时中有多少时间处于忙期）；ρ＝0.4

例、汽车按平均90辆/h的Poisson流到达高速公路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时间为38s。

由于驾驶人员反映等待时间太长，主管部门打算采用新装置，使汽车通过关卡的平均时间减少到平均30s。

但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过5辆和新系统中关卡的空闲时间不超过10%时才是合算的。

根据这一要求，分析采用新装置是否合算。

［解］原系统λ＝90辆/h，μ＝3600/38（辆/h），

　　　ρ＝　λ/μ＝95%

Lq＝L－ρ＝ρ²/（1-ρ）＝18.05辆＞5辆，合算

新系统μ＝3600/30＝120（辆/h），ρ＝0.75，P0＝1－ρ＝0.25，不合算。

第一章　线性规划

1．1将下述线性规划问题化成标准形式

1）minz＝－3x1＋4x2－2x3＋5x4

　4x1－x2＋2x3－　x4　＝－2

st.x1＋x2－x3＋2x4≤14

－2x1＋3x2＋x3－x4≥2

x1，x2，x3≥0，x4　无约束

2）minz＝2x1－2x2＋3x3

－x1＋x2＋x3＝4

st.－2x1＋x2－x3≤6

x1≤0，x2≥0，x3无约束

1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

1）minz＝2x1＋3x2

4x1＋6x2≥6

st　　　2x1＋2x2≥4

x1，x2≥0

2）maxz＝3x1＋2x2

2x1＋x2≤2

st　　　3x1＋4x2≥12

x1，x2≥0

3）maxz＝3x1＋5x2

6x1＋10x2≤120

st　　　5≤x1≤10

3≤x2≤8

1．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解

（1）minz＝5x1－2x2＋3x3＋2x4

x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7

st　　　2x1＋2x2＋x3＋2x4＝3

x1，x2，x3，x4≥0

1．4分别用图解法与单纯形法求解下列LP问题，并对照指出最优解所对应的顶点。

1）maxz＝10x1＋5x2

3x1＋4x2≤9

st　　5x1＋2x2≤8

x1，x2≥0

2）maxz＝2x1＋x2

3x1＋5x2≤15

st　　　6x1＋2x2≤24

x1，x2≥0

1．5分别用大M法与两阶段法求解下列LP问题。

1）minz＝2x1＋3x2＋x3

x1＋4x2＋2x3≥8

st　　　3x1＋2x2　≥6

x1，x2，x3≥0

2）maxz＝4x1＋5x2＋x3

.3x1＋2x2＋x3≥18

St.2x1＋x2≤4

x1＋x2－x3＝5

3）maxz＝5x1＋3x2+6x3

x1＋2x2　－x3≤18

st　2x1＋x2　－3x3≤16

x1＋x2　－x3＝10

x1，x2，x3≥0

1．6求下表中a～l的值。

（a）

－1

（b）

（c）

（d）

-1

（e）

（a）

-1

（a）

（f）

［（g）］

-1

1/2

（h）

（I）

1/2

-7

（j）

（k）

（l）

第二章对偶与灵敏度分析

2．1　　写出以下线性规划问题的DLP

1）minz＝2x1＋2x2＋4x3

　x1＋3x2＋4x3　≥2

st2x1＋x2＋3x3　≤3

　x1＋4x2＋3x3　＝5

x1，x2≥0，x3无约束

2）maxz＝5x1＋6x2＋3x3

　x1＋2x2＋2x3　＝5

st－x1＋5x2－x3　≥3

4x1＋7x2＋3x3　≤8

x1无约束，x2≥0，x3≤0

3）maxz＝c1x1＋c2x2＋c3x3

a11x1＋a12x2＋a13x3≤b1

sta21x1＋a22x2＋a23x3＝b2

a31x1＋a32x2＋a33x3　≥b3

x1≥0，x2≤0，x3无约束

2．2　　对于给出的LP：

minz＝2x1＋3x2＋5x3＋6x4

　x1＋2x2＋3x3＋x4　≥2

st－2x1＋x2－x3＋3x4　≤－3

　xj≥0（j=1,2,3,4）

1）写出DLP；

2）用图解法求解DLP；

3）利用2）的结果及根据对偶性质写出原问题的最优解。

2．3　　对于给出LP：

maxz＝x1＋2x2＋x3

　x1＋　x2－　x3　≤2

st　x1－　x2＋　x3　＝1

2x1＋　x2＋　x3　≥2

x1≥0，x2≤0，x3无约束

1）写出DLP；

2）利用对偶问题性质证明原问题目标函数值Z≤1

2．4　　已知LP：

maxz＝x1＋x2

－x1＋　x2＋　x3　≤2

st－2x1＋x2－　x3　≤1

　xj≥0

试根据对偶问题性质证明上述线性问题目标函数值无界。

2．5　　给出LP：

maxz＝2x1＋4x2＋x3＋x4

　x1＋3x2　　　＋x4　≤8

2x1＋x2　　　　≤6

st.　　　x2＋　x3＋x4≤6

x1＋x2＋　x3　≤9

　xj≥0

1）写出DLP；

2）已知原问题最优解X＝（2,2，4,0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

2．6　　用对偶单纯形法求解下列线性规划问题

1）minz＝4x1＋12x2＋18x3

x1　　　＋3x3≥3

st　　2x2＋2x3　≥5

　xj≥0（j=1,2,3）

2．8　　已知LP：

maxz＝2x1－x2＋x3

x1＋x2＋x3≤6

st　－x1＋2x2　　≤4

x1，x2，x3≥0

1）用单纯形法求最优解

2）分析当目标函数变为maxz＝2x1＋3x2＋x3时最优解的变化；

3）分析第一个约束条件右端系数变为3时最优解的变化。

2．9　　给出线性规划问题

maxz＝2x1＋3x2＋x3

1/3x1＋1/3x2＋1/3x3≤1

st1/3x1＋4/3x2＋7/3x3≤3

xj≥0

用单纯形法求解得最终单纯形表如下

－1

－3

－5

－1

试分析下列各种条件下，最优解（基）的变化：

1）目标函数中变量x3的系数变为6；

2）分别确定目标函数中变量x1和x2的系数C1、C2在什么范围内变动时最优解不变；

3）

约束条件的右端由1变为　2；

第三章运输问题

3．1　　根据下表，用表上作业法求最优解。

产量

销量

3．2　　根据下表，用表上作业法求最优解。

产量

销量

3．3　　求给出的产销不平衡问题的最优解

产量

销量

3.4某市有三个面粉厂，他们供给三个面食加工厂所需的面粉，各面粉厂的产量、各面食加工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价，均式于下表。

假定在第1，2和3面食加工厂制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元，试确定使总效益最大的面粉分配计划（假定面粉厂和面食加工厂都属于同一个主管单位）。

食品厂

面粉厂

面粉厂产值

销量

3.5光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。

已知1至6月份各月的生产能力、合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表：

已知上年末库存103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运到分厂库房，每台增加运输成本0.1万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为0.2万元。

在7--8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6月份完成销售合同后还要留出库存80台。

加班生产机器每台增加成本1万元。

问应如何安排1--6月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓储、维护）最少？

3.6设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的农用化肥。

假设效果相同，有关数据如下表：

试求总费用为最低的化肥调拨方案

第四章　动态规划

4．1现有天然气站A，需铺设管理到用气单位E，可以选择的设计路线如下图，B、C、D各点是中间加压站，各线路的费用如图所标注（单位：

万元），试设计费用最低的线路。

4．2一艘货轮在A港装货后驶往F港，中途需靠港加油、加淡水三次，从A港到F港全部可能的航运路线及两港之间距离如图，F港有3个码头F1，F2，F3，试求最合理停靠的码头及航线，使总路程最短。

4．3某公司有资金4万元，可向A、B、C三个项目投资，已知各项目的投资回报如下，求最大回报。

项目

投资额及收益

第五章　存储论

5．1某建筑工地每月需用水泥800t，每t定价2000元，不可缺货。

设每t每月保管费率为0.2%，每次订购费为300元，求最佳订购批量、经济周期与最小费用。

5．2一汽车公司每年使用某种零件150，000件，每件每年保管费0.2元，不允许缺货，试比较每次订购费为1,000元或100元两种情况下的经济订购批量、经济周期与最小费用。

5．3某拖拉机厂生产一种小型拖拉机，每月可生产1000台，但对该拖拉机的市场需要量为每年4,000台。

已知每次生产的准备费用为15,000元，每台拖拉机每月的存贮费为10元，允许缺货（缺货费为20元/台月），求经济生产批量、经济周期与最小费用。

5．4某产品每月需求量为8件，生产准备费用为100元，存贮费为5元/月件。

在不允许缺货条件下，比较生产速度分别为每月20件和40件两种情况下的经济生产批量、经济周期与最小费用。

5．5对某种电子元件每月需求量为4,000件，每件成本为150元，每年的存贮费为成本的10%，每次订购费为500元。

求：

（1）不允许缺货条件下的最优存贮策略；

（2）允许缺货（缺货费为100元/件年）条件下的最优存贮策略。

5．6某农机维修站需要购一种农机配件，其每月需要量为150件，订购费为每次400元，存贮费为0.96元/件月，并不允许缺货。

（1）求经济订购批量、经济周期与最小费用；

（2）该厂为少占用流动资金，希望进一步降低存贮量。

因此，决定使订购和存贮总费用可以超过原最低费用的10%，求这时的最优存贮策略。

第六章　排队论

6．1某店仅有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson流，平均3人/h，修理时间服从负指数分布，平均需10min。

求：

（1）店内空闲的概率；

（2）有4个顾客的概率；

（3）至少有1个顾客的概率；

（4）店内顾客的平均数；

（5）等待服务的顾客的平均数；

（6）平均等待修理时间；

（7）一个顾客在店内逗留时间超过15min的概率。

6．2设有一单人打字室，顾客的到达为为Poisson流，平均到达时间间隔为20min，打字时间服从负指数分布，平均为15min。

求：

（1）顾客来打字不必等待的概率；

（2）打字室内顾客的平均数；

（3）顾客在打字室内的平均逗留时间；

（4）若顾客在打字室内的平均逗留时间超过1.25h，则主人将考虑增加设备及打字员。

问顾客的平均到达率为多少时，主人才会

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