《微积分A》教学大纲教程.docx
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《微积分A》教学大纲教程
《微积分A》教学大纲
一、说明
适用专业
物电学院所有专业、计科学院所有专业
先修课程
中学数学
总学时
160
总学分
4+6
（一）本课程的目的、要求
1．使学生比较系统地掌握本课程的基本概念，基本理论和数学思想方法，为学习专业课程提供必要的数学知识和方法。
2．通过教学，使学生具有比较熟练的运算能力，推理论证能力、分析和解决实际问题的能力，提高逻辑思维能力。
3．能运用所学数学知识解决本专业课程学习中遇到的相关问题，为专业课程学习夯实基础，能够运用数学的思想方法思考、分析和解决本专业领域的问题。
（二）内容选取和实施中注意的问题
1.本课程分三个部分：
微积分、向量代数与空间解析几何以及常微分方程。
2.本课程理论性较强，在教学中应注意教学方法。
既要强调理论，突出重点，又要加强基本训练，使学生掌握一定的解题技巧，提高教学效果。
3.为了培养学生分析问题和解决问题的能力，应讲解适当的例题或安排一定的习题课，同时布置适量的习题和思考题，促使学生牢固掌握所学知识。
4.教学时应保证大纲规定的基本内容，大纲中不带“*”号的内容属基本内容，带“*”号内容可根据教学和专业的实际情况机动处理。
5.建议总课时160课时左右，在第一、二学期开设，其中第一学期周课时为5课时,第二学期周课时为6课时，总学分为4+6=10学分。
（三）教学方法
讲授法为主，合理使用计算机多媒体辅助教学，强调学生自学。
（四）考核方式
闭卷笔试
说明：
1.作业，课堂笔记，课堂提问，出勤等方面的分数占学期成绩的20%；
2.期末考试分数占学期成绩的80%；
3.期末考试严格实行考教分离；考试试卷由系部负责人在考试前从卷库中随机抽取，交教务处审核；考试完毕试卷密封；考试阅卷实行流水阅卷。
（五）教学内容与学时分配
教学章节
教学内容
学时安排
备注
1
函数、极限与连续
18学时
2
一元函数微分学
24学时
3
一元函数积分学
22学时
4
向量代数和空间解析几何
12学时
5
无穷级数
15学时
6
多元函数微分学
15学时
7
多元函数积分学
33学时
8
常微分方程
21学时
（六）各学期教学内容分配
第一学期函数、极限与连续；一元函数微分学；一元函数积分学。
第二学期向量代数和空间解析几何；无穷级数；多元函数微分学；多元函数积分学；常微分方程。
二、大纲内容
第一章函数、极限与连续
1.区间与邻域，变量与常量，函数的概念及其表示法；
2.函数的几种特殊性质：
有界性，单调性，周期性，奇偶性；
3.复合函数，反函数及其图形；基本初等函数及其图形，初等函数；
4.数列极限的ε—N定义，收敛数列的性质——极限的唯一性，保号性，有界性；
5.函数极限的ε—δ与ε—X定义，左右极限定义，无穷小与无穷大的定义，函数极限性质——局部有界性，局部保号性；
5.极限四则运算性质；
7.求极限的夹逼定理,单调有界数列的极限存在定理，两个重要极限；
8.无穷小量与无穷小量阶的比较；
9.连续函数的概念，函数的间断点；闭区间上连续函数的基本性质；
10.连续函数的四则运算；基本初等函数，反函数，复合函数的连续性，初等函数的连续性。
说明和要求:
（1）明确函数、复合函数、反函数等概念；会求初等函数的定义域，掌握函数的各种表示法；
（2）深刻理解数列极限、函数极限、无穷小量与无穷大量的概念，会用“ε—N”，“ε—δ”的极限定义证明一些简单的极限；
（3）能熟练地运用极限的四则运算、夹逼定理、两个重要极限，会求常见函数与数列的极限；
（4）掌握连续函数的概念，会利用左右极限找出函数的间断点并判断其类型，理解闭区间上连续函数的性质。
（5）本章重点与难点：
重点：
极限的概念、性质与两个重要极限
难点：
极限计算方法的选择和应用。
第二章一元函数微分学
1.导数概念、导数的几何意义、物理意义左右导数的定义；
2.函数的和、差、积、商的导数,复合函数和反函数的导数,基本导数公式表；
3.高阶导数的概念及求法；一阶微分的概念及其几何意义,一阶微分形式的不变性；
4.隐函数和参数方程所确定的函数的导数；一阶微分在近似计算上的应用；
5.费马定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；洛必达法则及应用；
6.泰勒公式，麦克劳林公式，带皮亚诺型余项的泰勒公式；
7.函数单调性与极值，曲线的凹凸性与拐点，函数的最大值与最小值；
8.曲线的渐近线；*弧微分与曲率；函数作图。
说明和要求：
（1）深刻理解导数并了解其几何、物理意义、理解一阶微分、一阶导数、高阶导数的概念；
（2）能熟练地求常见函数的导数，会求反函数、复合函数、隐函数、和参数方程所确定的函数的导数；
（3）会用一阶微分概念进行简单的近似计算，会求简单函数的n阶导数；
（4）能正确叙述和理解微分中值定理的条件与结论；
（5）会用洛必达法则求
型与
型不定式的极限，会将其他类型的不定式转化为
型与
型，然后求其极限；
（6）会求常见函数的泰勒展开式及马克劳林展开式；
（7）能用导数方法求函数的单调区间、极值、最大值与最小值；
（8）会求曲线的渐进线、凹凸区间和拐点；会作简单函数的图形。
（9）本章重点和难点:
重点：
导数、微分的概念、性质与确定。
难点：
复合函数、隐函数等导数的求解与应用。
第三章一元函数积分学
1.原函数与不定积分的概念，线性运算法则，基本积分表；
2.不定积分的换元积分法，不定积分的分部积分法；
3.有理函数的积分，*三角函数有理式的积分，*简单无理函数的积分；
4.定积分的定义及其几何意义、物理意义；定积分的几个基本性质（线性
算，区间可加性、不等式性质、第一积分中值定理）；
5.变上限的积分原函数存在定理牛顿-菜布尼兹公式；
6.定积分的换元积分法和分部积分法，广义积分的含义及计算；
7.定积分的几何应用（面积、体积、弧长等）；
8.定积分物理应用（变力沿直线所作的功、水压力、引力等）。
说明和要求：
（1）理解原函数与不定积分的概念；熟练掌握换元积分法和分部积分法；
（2）掌握有理函数的积分法，会求三角函数有理式的积分和可化为有理函数的积分；
（3）深刻理解定积分的概念及性质；
（4）能熟练地运用牛顿-菜布尼兹公式、定积分的换元积分法和分部积分法计算定积分；
（5）能计算无穷积分限的广义积分和无界函数的广义积分；
（6）掌握定积分的几何应用，会用微元法解决简单的物理问题。
（7）本章重难点：
重点：
不定积分与积分的概念与性质。
难点：
积分的概念与分部积分法的灵活适用。
第四章向量代数和空间解析几何
1.向量与坐标；
2.向量的运算；
3.平面与空间直线；
4.空间曲面与空间曲线；
说明和要求：
（1）掌握向量的有关概念；
（2）理解向量代数运算的几何意义；
（3）能够熟练地进行向量运算；
（4）熟练地掌握平面和直线方程的几种主要形式及其应用；
（5）熟练掌握几种常见的二次曲面的方程并会作其草图；
（6）会求空间曲线的方程及空间曲线在坐标面上的投影方程；
（7）会求简单的旋转曲面方程和柱面方程。
（8）本章重点和难点：
重点：
向量的概念与运算。
难点：
曲线、曲面的确定。
第五章无穷级数
1.常数项级数的一般概念，收敛的必要条件，收敛级数的基本性质；
2.正项级数，比较判别法，比值判别法，根值判别法；
3.任意项级数，交错级数的莱布尼兹判别法，绝对收敛与条件收敛；
4.函数项级数的一般概念，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数在收敛区间上的性质；
5.初等函数的泰勒级数展开式，麦克劳林级数展开式，*幂级数在近似计算上的应用；
6.傅立叶级数，收敛定理介绍；正弦级数与余弦级数，奇偶函数的傅立叶级数；
7.以2L为周期的函数的傅立叶级数。
说明和要求：
（1）理解无穷级数收敛、发散、绝对收敛和条件收敛等概念；
（2）能应用正项级数与任意项级数的敛散判别法判断级数的敛散性；
（3）会求幂级数的收敛半径和收敛区间；
（4）熟练掌握初等函数的幂级数展开式，了解幂级数在收敛区间的性质；
（5）会将初等函数展开成傅立叶级数（含正弦级数、余弦级数）；
（6）了解傅立叶级数的收敛定理和以2L为周期的函数的傅立叶级数的求法。
（7）本章重点和难点：
重点：
级数敛散性的判定。
难点：
幂级数的求和及展开。
第六章多元函数微分学
1.多元函数的概念，二元函数的几何表示，二元函数的极限与连续性；
2.偏导数与全微分，复合函数的偏导数与全微分；一阶全微分形式的不变性；
3.隐函数及其导数求法；高阶偏导数概念（着重二阶偏导数计算）；
4.空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线，方向导数；
5.*二元函数的泰勒公式，多元函数极值的概念，条件极值，拉格朗日乘数法及最小二乘法。
说明和要求：
（1）理解多元函数、多元函数的极限与连续性等概念（主要是二元函数）；
（2）掌握偏导数和全微分的概念，熟练掌握多元函数的复合函数的偏导数求法；
（3）会求简单隐函数的的偏导数；熟练掌握空间曲线的切线与法平面方程的求法；
（4）会求空间曲面的切平面和法线方程；会求函数的方向导数；
（5）会求解极值和条件极值问题。
（6）本章重点和难点：
重点：
多元函数、偏导数的概念与性质
难点：
复合函数、隐函数的偏导计算及多元函数极值问题的确定。
第七章多元函数积分学
1.曲顶柱体的体积，二重积分概念及运算性质；
2.二重积分的计算公式及初步应用；
3.三重积分的概念及计算公式；重积分的应用（曲面面积、质量、重心、转动惯量）；
4.第一类、第二类曲线积分的概念及计算方法；
5.格林公式平面曲线积分与路径无关的条件；
6.第一类、第二类曲面积分的概念和计算方法；
7.高斯公式，*斯托克斯公式，*空间曲线积分与路径无关的条件；
*8.数量场与矢量场的概念，数量场的等值面与矢量场的矢量线；
*9.数量场的方向导数的梯度；
*10.矢量场的散度和旋度奥高公式、斯托克斯公式的矢量形式；
*11.算子，关于梯度、散度、旋度的一些基本公式。
说明和要求：
（1）深刻理解二重积分和三重积分的概念，熟练掌握计算二重积分（直角坐标，极坐标）和计算三重积分（柱面坐标，球面坐标）的方法；
（2）掌握重积分的几何应用和物理应用（面积、体积、质量、重心等）；
（3）深刻理解曲线积分和曲面积分的概念及其物理意义；
（4）熟练掌握曲线积分和曲面积分的计算方法；
（5）了解格林公式及曲线积分与路径无关的条件，了解高斯公式，*了解斯托克斯公式的结论及应用；
*（6）深刻理解数量场和矢量场的概念，了解数量场的方向导数和梯度，矢量场的散度和旋度的定义及其物理意义。
（7）本章重点和难点：
重点：
各类积分的概念、性质。
难点：
积分的计算。
第八章常微分方程
1.微分方程的基本概念；
2.可分离变量的微分方程，齐次方程，可化为齐次方程的方程；
3.一阶线性微分方程，伯努利方程；
4.全微分方程，一阶隐方程；
5.可降阶的高阶微分方程
6.二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的解法；
7.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
说明和要求：
（1）深刻理解微分方程的基本概念；
（2）熟练掌握一阶方程的解法（可分离变量的方程，齐次方程，一阶线性方程，伯努利方程，全微分方程，一阶隐方程的解法等）；会解可降阶的高阶微分方程；
（3）熟练掌握二阶线性微分方程解的结构；会求二阶常系数齐次线性微分方程的解；
（4）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
（5）本章重点和难点：
重点：
微分方程的类型判断。
难点：
方程的求解方法的确定。
三、教材和主要参考书
1.殷建连等编.《微积分A》.北京：
科学出版社,2014.
2.陈光曙主编.《大学数学（理工类）》第二版.上海：
同济大学出版社,2010.
3.同济大学数学教研室编.《高等数学》（第五版）.北京：
高等教育出版社,2002.
修订人：
徐淮涓审核人：
殷建连
修订日期：
2013年10月
《微积分B》教学大纲
一、说明
适用专业
经管、政管、教育、化学、生科、历史、城环等学院相关专业
先修课程
中学数学
总学时
128
总学分
4+4
（一）本课程的目的、要求
（1）使学生比较系统地掌握本课程的基本概念，基本理论和基本运算技能，为学习后继专业课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
（2）通过教学，逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，并注意培养学生的数学建模能力和用所学理论解决简单应用问题的能力，培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
（二）内容选取和实施中注意的问题
（1）本课程有以下内容：
一元与多元函数微积分、无穷级数与常微分方程。
（2）在讲清概念的基础上，精选范例，注意教学方法，阐明基本概念和基本规律，突出重点，提高教学效果。
（3）本课程以提高学生的解题能力为主，应注意分析解题思路，安排一定量的习题课。
并布置适量的作业和思考题，培养学生解决实际问题的能力。
（4）教学时应保证大纲规定的基本内容，大纲中不带“*”号的内容属基本内容，带“*”号内容可根据教学的实际情况机动处理。
（5）建议总课时128课时左右，在第一、二学期开设，其中第一学期周课时为5课时，第二学期周课时为4课时，总学分为4+4=8学分。
（三）教学方法
本课程讲授为主，适当地练习为辅。
合理使用计算机多媒体辅助教学。
（四）考核方式
本课为考试课程，闭卷、笔试考试。
说明：
1.作业，课堂笔记，出勤等方面的分数占学期成绩的20%；
2.期末考试分数占学期成绩的80%；
3.期末考试严格实行考教分离；考试试卷由系部负责人在考试前从卷库中随机抽取，交教务处审核；考试完毕试卷密封；考试阅卷实行流水阅卷。
（五）教学内容与学时分配
教学章节
教学内容
学时安排
备注
1
函数、极限与连续
18学时
2
一元函数微分学
24学时
3
一元函数积分学
22学时
4
无穷级数（数项级数、幂级数）
12学时
5
多元函数微分学
20学时
6
多元函数积分学（二重积分）
16学时
7
常微分方程
16学时
（六）各学期教学内容分配
第一学期函数、极限与连续；一元函数微分学；一元函数积分学。
第二学期无穷级数（数项级数、幂级数）；多元函数微分学；多元函数积分学（二重积分）；常微分方程。
二、大纲内容
第一章函数、极限与连续
1．函数；
2．数列的极限；
3．函数的极限；
4．极限存在准则，两个重要极限；
5．无穷小的比较；
6．函数的连续性。
说明和要求:
理解函数的概念，了解函数的几种常用表示法，了解函数的基本性质（有界性、单调性、奇偶性和周期性）。
理解复合函数的概念，了解反函数的概念。
掌握基本初等函数的性质及其图形。
会建立简单实际问题中的函数关系式。
理解极限的概念（对极限的ε-Ｎ、ε-δ定义可在学习中逐步加深理解，对于给出定义可不作过高要求）。
理解函数的左右极限与函数极限的关系，掌握极限四则运算法则及两个极限存在法则（夹逼准则和单调有界准则），掌握用两个重要极限求极限的方法。
理解无穷小和无穷大的概念，了解无穷小的阶的概念及无穷小与函数极限的关系，了解无穷小与无穷大的关系，会用等价无穷小求极限。
理解函数在一点连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。
了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理），会利用介值定理证明根的存在性等问题。
本章重难点是数列与函数极限的确定。
第二章一元函数微分学
1．导数的概念；
2．求导法则；
3．高阶导数
4．隐函数和参数方程所确定的函数的导数；
5．微分；
6．中值定理；
7．洛比达法则；
*8．泰勒公式；
9．函数单调性与极值；
10．函数的凹凸性，函数作图。
说明和要求:
理解导数的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。
会求平面曲线的切线和法线，掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。
了解高阶导数的概念。
会求某些简单函数的n阶导数，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。
了解隐函数的概念，掌握隐函数和参数方程所确定的导数；了解微分概念及几何意义；理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，掌握这两个定理的简单应用。
了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。
掌握用洛必达法则（L'Hospital）求不定式的极限的方法。
理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。
会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形（包括水平、铅直和斜渐近线）。
会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
会求曲线的渐进线。
本章重难点是函数导数的求解与应用。
第三章一元函数积分学
1．不定积分；
2．定积分；
3．广义积分；
4．定积分的应用。
说明和要求:
理解原函数与不定积分的概念及性质。
掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的换元法和分部积分法。
理解定积分的概念及性质。
掌握定积分的换元法和分部积分法。
理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton）—莱布尼兹（Leibniz）公式。
理解广义积分的概念。
会计算简单广义积分。
掌握定积分元素法，掌握用元素法求平面图形的面积、平面曲线的弧长和旋转体的体积的方法。
了解利用元素法计算功、压力、引力等物理量的方法。
本章重难点是积分的计算。
第四章无穷级数
1．数项级数，正项级数，正项级数收敛性的一般判别原则，比较原则，比式判别法与根式判别法。
一般项级数与莱布尼茨判别法。
2．幂级数，收敛半径与收敛区间，幂级数的性质，连续性，可积性（逐项积分），可微性（逐项微分）；幂级数的运算。
3．函数的幂级数展开：
泰勒级数及展开的条件，初等函数的幂级数展开式。
4．求幂级数和函数。
说明和要求：
了解级数，幂函数等概念，会求一些级数的和。
掌握级数与幂级数的性质。
会求幂级数的收敛半径与某些幂级数的收敛域。
会将某些函数展开成幂级数，会用间接法求函数的泰勒展开式。
会求幂级数的和函数。
本章的重点是级数的求和及收敛性的比较判别法，幂级数收敛半径与收敛区间，幂级数的性质，函数的幂级数展开，求幂级数和函数。
难点是求幂级数的和函数。
第五章多元函数微分学
1．多元函数、极限和连续；
2．偏导数与全微分；
3．复合函数与隐函数的微分法；
4．偏导数的几何应用；
5．多元函数的极值。
说明和要求:
理解多元函数的概念。
了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质，会求简单二元函数的极限。
理解偏导数和全微分的概念，掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法，掌握全微分的求法。
会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组所确定的隐函数）的偏导数。
了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，并会求它们的方程。
会求方向导数。
理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，掌握求条件极值的拉格朗日乘数法，会求简单多元函数的最大值和最小值。
本章重难点是偏导数的确定与应用。
第六章多元函数积分学
1．二重积分；
2．二重积分的应用。
说明和要求:
理解二重积分的概念，了解二重积分的性质，如二重积分的中值定理。
掌握二重积分（直角坐标系下、极坐标系下）的计算方法，会改换二重积分的次序。
会用二重积分计算平面图形的面积、立体的体积以及曲面的面积等一些几何量。
本章重难点是二重积分的计算与应用。
第七章常微分方程
1．微分方程的基本概念；
2．一阶微分方程；
3．可降阶的高阶微分方程；
4．二阶线性微分方程。
说明和要求:
了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。
掌握变量可分离的方程、齐次方程及一阶线性方程的解法。
会用简单的变量代换解一些微分方程，会用降阶法解相应方程。
理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解的结构。
会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
本章重难点是微分方程的求解。
三、教材和主要参考书
1.杨青等编.《大学数学（经管类）》第一版.上海：
同济大学出版社,2013.
2.陈光曙主编.《大学数学（理工类）》第二版.上海：
同济大学出版社,2010.
3.同济大学数学教研室编.《高等数学》（第五版）.北京：
高等教育出版社,2002.
修订人：
徐淮涓审核人：
殷建连
修订日期：
2013年10月
《文科大学数学》教学大纲
一、说明
适用专业
艺体类、语言类等文科专业
先修课程
中学数学
总学时
48
总学分
3
（一）本课程的目的、要求
（1）使学生比较系统地掌握高等数学中的微积分的基本概念、基本理论、基本运算和一些简单应用。
（2）逐步提高学生对数学的基本特点、方法、思想、历史及在社会与文化中的应用与地位有大致的认识，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
（3）使学生在较高数学理论学习的基础上，培养学生的辩证唯物主义观点和科学态度。
（二）内容选取和实施中注意的问题
（1）本课程的主要内容包括一元函数微积分学。
（2）极限是一元微积分中的重要概念，是本课程的难点，但又是研究本课程的最基本方法，教学时要特别注意理解极限的思想方法和深刻含意。
（3）在介绍数学理论知识的同时，要注意培养学生的数学思维方式。
（4）对于文科同学，在教学中注意教学方法，既要注重理论、突出重点，加强练习，又要运用所学理论知识解决具体问题，培养分析问题和解决问题的能力。
（5）在使用本大纲时，对教学内容的系统安排，课时分配和章节增减可根据具体情况灵活掌握，进行适当调整，但要保证大纲规定的基本内容。
（6）建议总课时48课时左右，在第二学期开设，周课时为3课时，总学分为3学分。
（三）教学方法
本课程讲授为主，自学为辅。
（四）考核方式
本课为考查课程，闭卷，笔试考试。
说明：
1.作业，课堂笔记，出勤等方面的分数占学期成绩的30%；
2.期末考查分数占学期成绩的70%；
（五）教学内容与学时分配
教学章节
教学内容
学时安排
备注
1
函数、极限与连续
15学时
2
一元函数微分学
18学时
3
一元函数积分学
15学时
二、大纲内容
第一章函数、极限与连续
1．函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，反函数、复合函数、隐函数、分段函数，基本初等函数的性质及图形，初等函数。
2．数列极限与函数极限的概念，函数的左极限和右极限。
3．无穷小和无穷大的概念及关系，无穷小的基本性质及阶的比较。
4．极限四则运算，两个重要极限公式。
5．函数连续与间断的概念，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
说明和要求:
（1）了解函数的概念，掌握函数的表示法。
（2）掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
（3）理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念。
（4）掌握基本初等函数的性质及
升级会员 