4．（·天津）设m，n∈R，若直线（m＋1）x＋（n＋1）y－2＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝1相切，
则m＋n的取值范围是（ ）
A．[1－，1＋]
B．（－∞，1－]∪[1＋，＋∞）
C．[2－2，2＋2]
D．（－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞）
答案 D
解析 圆心（1,1）到直线（m＋1）x＋（n＋1）y－2＝0的距离为＝1，
所以m＋n＋1＝mn≤（m＋n）2，
所以m＋n≥2＋2或m＋n≤2－2.
5．（·江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－
2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
答案
解析 圆C的标准方程为（x－4）2＋y2＝1，圆心为（4,0）．
由题意知（4,0）到kx－y－2＝0的距离应不大于2，
即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.
故k的最大值是.
题型一 直线方程及应用
例1
（1）已知点M是直线l：
2x－y－4＝0与x轴的交点，过M点作直线l的垂线，得到的直线
方程是（ ）
A．x－2y－2＝0B．x－2y＋2＝0
C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
（2）“a＝－1”是“直线ax＋（2a－1）y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
审题破题
（1）先求M点坐标，然后利用点斜式写出直线方程；
（2）考虑斜率为0，斜率不存在两种特殊情况．
答案
（1）C
（2）A
解析
（1）显然直线l：
2x－y－4＝0与x轴的交点坐标为M（2,0）．
又∵所求直线与直线l：
2x－y－4＝0垂直，
∴所求直线的斜率为－，
∴所求直线的方程为y－0＝－（x－2），
即x＋2y－2＝0.
（2）若直线ax＋（2a－1）y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直，则a×3＋（2a－1）×a＝0，解得a＝0或a＝－1.故a＝－1是两直线垂直的充分而不必要条件．
反思归纳 判断两条直线的位置关系时要注意两个易错点：
一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误．
变式训练1
（1）若过点A（－2，m），B（m,4）的直线与直线2x＋y＋2＝0平行，则m的值为________．
答案 －8
解析 因为AB所在的直线平行于直线2x＋y＋2＝0，
所以kAB＝＝－2，即m＝－8.
（2）设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________．
答案 x＋y－5＝0
解析 因为kPA＝1，则kPB＝－1.又A点坐标为（－1,0），点P的横坐标为2，则B点坐标为（5,0），直线PB的方程为x＋y－5＝0.
题型二 圆的方程及应用
例2
（1）已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（ ）
A．（x＋1）2＋（y－1）2＝2B．（x－1）2＋（y＋1）2＝2
C．（x－1）2＋（y－1）2＝2D．（x＋1）2＋（y＋1）2＝2
（2）若圆上一点A（2,3）关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，则圆的方程是__________________．
审题破题
（1）利用待定系数法设出圆C的方程，直线和圆相切可考虑代数法、几何法两种思路；
（2）将已知条件转化为直线x－y＋1＝0过圆心，弦长可通过几何法表示．
答案
（1）B
（2）（x－6）2＋（y＋3）2＝52或（x－14）2＋（y＋7）2＝244
解析
（1）方法一 设圆心坐标为（a，－a），
则＝，
即|a|＝|a－2|，解得a＝1，
故圆心坐标为（1，－1），半径r＝＝，
故圆的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝2.
方法二 题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d＝＝2；圆心是直线x＋y＝0与这两条平行线交点的中点，直线x＋y＝0与直线x－y＝0的交点坐标是（0,0）、与直线x－y－4＝0的交点坐标是（2，－2），故所求的圆的圆心坐标是（1，－1），所求的圆的方程是（x－1）2＋（y＋1）2＝2.
方法三 作为选择题也可以验证解答，圆心在x＋y＝0上，排除选项C、D，再验证选项A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可．
（2）设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，点A（2,3）关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y＝0上，即有a＋2b＝0，又（2－a）2＋（3－b）2＝r2，而圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，故r2－2＝2，
依据上述方程，解得或
∴所求圆的方程为（x－6）2＋（y＋3）2＝52或（x－14）2＋（y＋7）2＝244.
反思归纳 求圆的方程一般有两类方法：
（1）几何法：
通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；
（2）代数法：
即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．其一般步骤是：
①根据题意选择方程的形式：
标准形式或一般形式；
②利用条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．此外，根据条件，要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量．
变式训练2
（1）已知圆C1：
x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：
x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝________.
答案 －5或2
解析 对于圆C1与圆C2的方程，配方得
圆C1：
（x－m）2＋（y＋2）2＝9，圆C2：
（x＋1）2＋（y－m）2＝4，
则C1（m，－2），r1＝3，C2（－1，m），r2＝2.
如果圆C1与圆C2相外切，那么有|C1C2|＝r1＋r2，
即＝5，
则m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2，
所以当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2相外切．
（2）已知圆C关于y轴对称，经过点A（1,0），且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为________．
答案 x2＋2＝
解析 ∵圆C关于y轴对称，
∴圆C的圆心C在y轴上，可设C（0，b），
设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋（y－b）2＝r2.
依题意，得，
解之得.
∴圆C的方程为x2＋2＝.
题型三 直线与圆的综合应用
例3
如图所示，已知以点A（－1,2）为圆心的圆与直线l1：
x＋2y＋7＝0相切，过点B（－2,0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
（1）求圆A的方程；
（2）当＝2时，求直线l的方程；
（3）·是否为定值？
如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．
审题破题 第
（1）问由圆A与直线l1相切易求出圆的半径，进而求出圆A的方程；第
（2）问注意直线l的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意用好几何法，以减小计算量；第（3）问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论．
解
（1）设圆A的半径为R.
∵圆A与直线l1：
x＋2y＋7＝0相切，
∴R＝＝2.
∴圆A的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝20.
（2）当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x＋2），即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN.
∵＝2，∴|AQ|＝＝1.
由＝＝1，得k＝.
∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
（3）∵AQ⊥BP，∴·＝0.
∴·＝（＋）·
＝·＋·＝·.
当直线l与x轴垂直时，得P.
则B＝，又＝（1,2），
∴·＝·＝－5.
当直线l的斜率存在时
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