五年级奥数第24讲包含与排除教.docx

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五年级奥数第24讲包含与排除教

学员编号：

学员姓名：

学科教师辅导讲义

年   级：

五年级

辅导科目：

奥数

课 时 数：

3

学科教师：

授课主题

授课类型

T 同步课堂

第 24 讲——包含与排除

P 实战演练            S 归纳总结

教学目标

① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容

②  掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用

授课日期及时段

T（Textbook-Based）——同步课堂

知识梳理

一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把

两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，

用式子可表示成：

 A U B = A + B - A I B ，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．

图示如下:

 A 表示小圆部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：

 A I B ，即阴影面积．

图示如下:

 A 表示小圆部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：

 A I B ，即阴影面积．

1．先包含—— A + B

重叠部分 A I B 计算了 2 次，多加了1 次；

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A、B 的并集 A U B 的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：

分别计算集合 A、B 的元素个数，然后加起来，即先求 A + B （意思是把 A、B 的一切元素都“包含”进

来，加在一起）；

第二步：

从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C = A I B （意思是“排除”了重复计算的元素个数）．

二、三量重叠问题

A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 = A 类元素的个数 +B 类元素个数 +C 类元素个数 - 既是 A 类又是 B 类

的元素个数 - 既是 B 类又是 C 类的元素个数 - 既是 A 类又是 C 类的元素个数 + 同时是 A 类、 B 类、 C 类的元

素个数．用符号表示为：

 A U B U C = A + B + C - A I B - B I C - A I C + A I B I C ．图示如下：

图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数，

1．先包含：

 A + B + C

重叠部分 A I B 、B I C 、C I A 重叠了 2 次，多加了1 次．

2．再排除：

 A + B + C - A I B - B I C - A I C

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．

典例分析

考点一：

两量重叠问题

例 1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28 人，参加数学兴趣小组的有29 人，有12 人两个小组都

参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

ACB

【解析】如图所示， A 圆表示参加语文兴趣小组的人， B 圆表示参加数学兴趣小组的人， A 与 B 重合的部分

C （阴影部分）表示同时参加两个小组的人．图中 A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣

小组的人，有 28 - 12 = 16 （人）；图中 B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，

有 29 - 12 = 17 （人）．

方法一：

由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：

16 + 12 + 17 = 45 （人）．

方法二：

根据包含排除法，直接可得：

参加语文或数学兴趣小组的人 = 参加语文兴趣小组的人 + 参加数学兴趣小组的人 - 两个小组都参加的人，即：

28 + 29 - 12 = 45 （人）．

例 2、对全班同学调查发现，会游泳的有 20 人，会打篮球的有 25 人．两项都会的有10 人，两项都不会的有 9

人．这个班一共有多少人？

会

游

泳

的

A

两

项

都

会

的

B

会

打

篮

球

的

两项都不会的

【解析】如图，用长方形表示全班人数，

A 圆表示会游泳的人数， B 圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．

由图中可以看出，全班人数 = 至少会一项的人数 + 两项都不会的人数，至少会一项的人数为：

20 + 25 - 10 = 35 （人），全班人数为：

 35 + 9 = 44 （人）．

例 3、在 46 人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18 人，既采了樱桃又采了杏的有 7 人，既没采樱桃又没采

杏的有 6 人，问：

只采了杏的有多少人？

既采

A

樱桃

又采

杏的

B

既没采樱桃

又没采杏的

【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员 46 人， A 圆表示采了樱桃的人数， B 圆表示采了杏的人数．

长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．

由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，

则至少采了一种的人数为：

 46 - 6 = 40 （人），

而至少采了一种的人数 = 只采了樱桃的人数 + 两种都采了的人数 + 只采了杏的人数，

所以，只采了杏的人数为：

 40 - 18 - 7 = 15 （人）．

例 4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有 16 幅画不是六年级的，有 15 幅画不是五年级的，五、六年级

共展出 25 幅画，其他年级的画共有多少幅？

乙

丙

甲

A

B

【解析】通过 16 幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是 16，

通过 15 幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是 15，

那也就是说五年级的画比六年级多 1 幅，我们还知道五、六年级共展出 25 幅画，

进而可以求出五年级画作有 13 幅，六年级画作有 12 幅，

那么就可以求出其他年级的画作共有 3 幅．

考点二：

三量重叠问题

例 1、全班有 25 个学生，其中17 人会骑自行车，13 人会游泳， 8 人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至

少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6 个人数学不及格，那么，

（1） 数学成绩优秀的有几个学生？

（2）有几个人既会游泳，又会滑冰？

【解析】

（1）有 6 个数学不及格，那么及格的有：

 25 - 6 = 19 （人），

即最多不会超过19 人会这三项运动之一．

而又因为没人全会这三项运动，那么，

最少也会有：

（17 + 13 + ）÷ 2 = 19 （人）至少会这三项运动之一．

于是，至少会三项运动之一的只能是19 人，

而这19 人又不是优秀，说明全班 25 人中除了19 人外，剩下的 6 名不及格，

所以没有数学成绩优秀的．

（2）上面分析可知，及格的19 人中，每人都会两项运动；

会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰；

会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，

而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，

但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以，

全班有19 - 17 = 2 （人）既会游泳又会滑冰．

考点三：

图形中的重叠问题

例 1、把长 38 厘米和 53 厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4 厘米，焊接后这根铁条有多长？

【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，

所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长38 + 53 - 4 = 87 （厘米）．

例 2、两张长 4 厘米，宽 2 厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？

4

厘

米

2厘米

图 3

【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分），

重叠部分恰好是边长为 2 厘米的正方形，

如果利用两个 4 ⨯ 2 的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，

那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，

而实际上这部分只需计算一次就可以了．

所以，被覆盖面积 = 长方形面积之和-重叠部分．

于是，被覆盖面积 = 4 ⨯ 2 ⨯ 2 - 2 ⨯ 2 = 12 （平方厘米）．

例 3、三个面积均为 50 平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积是10 平方厘米．三个

纸片盖住桌面的总面积是100 厘米．问：

图中阴影部分面积之和是多少？

A

B

10

C

【解析】将图中的三个圆标上 A 、 B 、 C ．根据包含排除法，

三个纸片盖住桌面的总面积 = （ A 圆面积 +B 圆面积 +C 圆面积）（ A 与 B 重合部分面积 + A 与 C 重合部分面积

+B 与 C 重合部分面积） 三个纸片共同重叠的面积，

得：

100 =（50 + 50 + 50）（A 与 B 重合部分面积 + A 与 C 重合部分面积 +B 与 C 重合部分面积）+ 10 ，

得到 A 、 B 、 C 三个圆两两重合面积之和为：

160 - 100 = 60 平方厘米，

而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，

即：

 60 = 10 ⨯ 3 + 阴影部分面积，

则阴影部分面积为：

 60 - 30 = 30 （平方厘米）．

考点四：

容斥原理在数论问题中的应用

例 1、在1~100 的全部自然数中，不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有多少个？

AB

【解析】如图，用长方形表示1~100 的全部自然数，

圆表示1~100 中 3 的倍数， B 圆表示1~100 中 5 的倍数，

长方形内两圆外的部分表示既不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数．

由 100 ÷ 3 = 33L 1 可知，1~100 中 3 的倍数有 33 个；

由 100 ÷ 5 = 20 可知，1~100 中 5 的倍数有 20 个；

由 100 ÷（ ⨯ 5）= 6L 10 可知，1~100 既是 3 的倍数又是 5 的倍数的数有 6 个．

由包含排除法， 3 或 5 的倍数有：

 33 + 20 - 6 = 47 （个）．

从而不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有100 - 47 = 53 （个）．

考点五：

容斥原理中的最值问题

例 1、将 1～13 这 13 个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的 13 个区域中，然后把每个圆内

的 7 个数相加，最后把四个圆的和相加，问：

和最大是多少？

【解析】越是中间，被重复计算的越多，

最中心的区域被重复计算四次，

将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，

最大和为：

13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.

P（Practice-Oriented）——实战演练

实战演练

课堂狙击

1、一个班有 48 人，班主任在班会上问：

 谁做完语文作业？

请举手！

 有 37 人举手。

又问：

 谁做完数学作业？

请举手！

”有 42 人举手。

最后问：

“谁语文、数学作业都没有做完？

”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都

完成的人数。

【解析】完成语文作业的有 37 人，完成数学作业的有 42 人，一共有 37＋42=79 人，多于全班人数。

这是因

为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算

了一次，这样就多算了一次。

所以，这个班语文、数作业都完成的有：

79－48=31 人。

2、某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的有 23 人，两题都答对的有 15 人。

问多少个同学两题都答得不对？

【解析】已知答对第一题的有 25 人，两题都答对的有 15 人，可以求出只答对第一题的有 25－15=10 人。

又

已知答对第二题的有 23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：

10＋23=33 人。

所以，两题都答得不对的有 36－33=3 人。

3、某班有 56 人，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 27 人，如果两科都没有参加的有 25 人，那么

同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？

【解析】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：

56－25=31 人，再求两科竞赛同

时参加的人数：

28＋27－31=24 人。

4、在 1 到 100 的自然数中，既不是 5 的倍数也不是 6 的倍数的数有多少个？

【解析】从 1 到 100 的自然数中，减去 5 或 6 的倍数的个数。

从 1 到 100 的自然数中，5 的倍数有 100÷5=20

个，6 的倍数有 16 个（100÷6=16……4），其中既是 5 的倍数又是 6 的倍数（即 5 和 6 的公倍数）的数有 3 个

（100÷30=3……10）。

因此，是 6 或 5 的倍数的个数是 16＋20－3=33 个，既不是 5 的倍数又不是 6 的倍数的

数的个数是：

100－33=67 个。

5、光明小学举办学生书法展览。

学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24 幅不是五年级的，

有 22 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 10 幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？

【解析】由题意知，24 幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22 幅是一、二、三、四、五年级

参展作品的总数。

24＋22=46 幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉

五、六两个年级共参展的 10 幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以 2，即可求出

其他年级参展作品的总数。

（24＋22－10）÷2=18 幅。

课后反击

1、芳草地小学四年级有 58 人学钢琴， 43 人学画画， 37 人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别

有多少人？

ACB

【解析】如图， A 圆表示学画画的人， B 圆表示学钢琴的人， C 表示既学钢琴又学画画的人，

图中 A 圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：

 43 - 37 = 6 （人），

图中 B 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：

58 - 37 = 21（人）．

2、科技活动小组有 55 人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：

制作好一架飞机模型的同学有 40 人，制作好一艘舰艇的同学有32 人．每个同学都至少完成了一项制作．问两

项制作都完成的同学有多少人？

ACB

【解析】因为 40 + 32 = 72 ， 72 > 55 ，所以必有人两项制作都完成了．

由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知：

全组人数 = 40 + 32 - 完成了两项制作的人数，

即 55 = 72 - 完成了两项制作的人数．

所以，完成了两项制作的人数为：

 72 - 55 = 17 （人）．

3、五年级一班共有 36 人，每人参加一个兴趣小组，共有 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五个小组，若参加 A 组的有15

人，参加 B 组的人数仅次于 A 组，参加 C 组、 D 组的人数相同，参加 E 组的人数最少，只有 4 人．那么，参

加 B 组的有_______人．

【解析】参加 B ， C ， D 三组的总人数是 36 - 15 - 4 = 17 （人），

C ， D 每组至少 5 人，

当 C ， D 每组 6 人时， B 组为 5 人，不符合题意，

所以参加 B 组的有17 - 5 - 5 = 7 （人）．

4、如下图，一张长8 厘米，宽6 厘米，另一个正方形边长为6 厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4 厘米

的正方形，求这个组合图形的面积．

6

8

4

6

图 3

【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分），

重叠部分恰好是边长为 4 厘米的正方形，

如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，

那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，

而实际上这部分只需计算一次就可以了．

所以，组合图形的面积 = 长方形面积 + 正方形面积 - 重叠部分．

于是，组合图形的面积：

 8 ⨯ 6 + 6 ⨯ 6 - 4 ⨯ 4 = 68 （平方厘米）．

5、甲、乙、丙同时给 100 盆花浇水．已知甲浇了 78 盆，乙浇了 68 盆，丙浇了 58 盆，那么 3 人都浇过的花

最少有多少盆?

【解析】只考虑甲乙两人情况，

有甲、乙都浇过的最少为：

78+68-100=46 盆，

此时甲单独浇过的为 78-46=32 盆，

乙单独浇过的为 68-46=22 盆；

欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端．

于是三者都浇过花最少为 58-32-22=4 盆．

直击赛场

1、（第二届小学迎春杯数学竞赛）有100 位旅客，其中有10 人既不懂英语又不懂俄语，有75 人懂英语，83 人懂

俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？

【解析】方法一：

在100 人中懂英语或俄语的有：

100 - 10 = 90 （人）．

又因为有 75 人懂英语，所以只懂俄语的有：

 90 - 75 = 15 （人）．

从 83 位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，

剩下的 83 - 15 = 68 （人）就是既懂英语又懂俄语的旅客．

方法二：

学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：

A U B = A + B - A I B = 75 + 83 - 90 = 68 （人）．

（Summary-Embedded）——归纳总结

名师点拨

容斥原理的基本思想是：

先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后

再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

学霸经验

➢本节课我学到了

➢我需要努力的地方是