数列综合练习.docx
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数列综合练习
数列综合练习
一、选择题：
本大题共6小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5等于（ ）.
2．若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n（n∈N*）,则a4等于
3．已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6等于
4.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的产量为f（n）=
n（n+1）（2n+1）吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是
年年年年
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和,（n+1）Sn的最大值是S8的最小值是S8
的最大值是S7的最小值是S7
6．若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．0或2
7．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于（ ）
8．若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为（ ）.
+n2-1+1+n2-1+1+n2-2+n-2
9．等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为（ ）
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于（ ）
11.设数列{2n-1}按第n组有n个数（n是正整数）的规则分组如下:
（1）,（2,4）,（8,16,32）,…,则第101组中的第一个数为（ ）
951950051050
12．已知函数f（x）是定义在（0,+∞）上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f（x·y）=f（x）+f（y）,若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f（Sn+2）-f（an）=f（3）（n∈N+）,则an等于（ ）
D.
二、填空题：
本大题共4小题，每小题6分。
13．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是__________．
14．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
15．已知两个数列{an},{bn}满足bn=3nan,且数列{bn}的前n项和为Sn=3n-2,则数列{an}的通项公式为 .
16.若数列{an}满足
=d（n∈N+,d为常数）,则称数列{an}为调和数列,已知数列
为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16= .
三、解答题：
本大题共3小题，满分45分．
17．（10分）已知a1＝2，点（an，an＋1）在函数f（x）＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….
（1）证明数列{lg（1＋an）}是等比数列；
（2）求an的通项公式．
18．（15分）设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
（1）求通项公式an;
（2）求数列{|an-n-2|}的前n项和.
19．（15分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.
（1）求数列{an}的通项公式;
（2）求数列
20．（10分）已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．
21．（15分）已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
（1）求{an}的通项公式;
（2）设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
22．（15分）等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点（n,Sn）均在函数y=bx+r（b>0,且b≠1,b,r均为常数）的图象上.
（1）求r的值;
（2）当b=2时,记
求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案
一、选择题：
本大题共6小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．解析：
∵a3a11
an>0,∴a7=4.∴a5
答案:
A
2．解析：
a4=S4-S3=20-9=11.
答案:
A
3．解析：
因为{an},{bn}都是等差数列,
所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,
所以2（a3+b8）=（a1+b10）+（a5+b6）,
即a5+b6=2（a3+b8）-（a1+b10）=2×15-9=21.
答案:
C
4．解析：
由题意可知第一年的产量为a1=
×1×2×3=3;以后各年的产量分别为an=f（n）-f（n-1）
=
n（n+1）（2n+1）-
（n-1）·n·（2n-1）=3n2.
令3n2≤150,∴1≤n≤5
又n∈N+,
∴1≤n≤7,即生产期限最长为7年.
答案:
C
5.解析:
由（n+1）Snana8>0,a7<0,所以数列{an}的前7项为负值,即Sn的最小值是S7.
答案:
D
6．解析：
由题意，得b2＝4ac，令ax2＋bx＋c＝0，
∴Δ＝b2－4ac＝0，故函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相切，故选B.
答案：
B
7．解析：
设S2n=a,S4n=b,由等比数列的性质知2（14-a）=（a-2）2,解得a=6或a=-4（舍去）,同理（6-2）（b-14）=（14-6）2,所以b=S4n=30.
答案:
B
8．解析：
Sn=（2+22+…+2n）+（1+3+5+…+2n-1）
答案:
C
9.解析:
设等差数列的公差为d,则d≠0,
=a2·a6,即（1+2d）2=（1+d）（1+5d）,解得d=-2,所以S6=6×1+
×（-2）=-24,故选A.
答案:
A
10．答案:
A
11．解析：
前100组共有1+2+3+…+100=5050个数,则第101组中的第一个数为数列{2n-1}的第5051项,该数为25050.
答案:
D
12．解析:
由题意知f（Sn+2）=f（an）+f（3）（n∈N+）,
∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1（n≥2）,两式相减得2an=3an-1（n≥2）,又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,
∴a1=1,∴数列{an}是首项为1,公比为
的等比数列,∴an=.
答案:
D
二、填空题：
本大题共4小题，每小题6分。
13．解析：
设此三数为3，a，b
则
，
解得
，或
.
∴这个未知数为3或27.答案：
3或27
14.解析：
由题意得a4＋a5＝2，a4a5＝
，∵q>1，∴a5>a4，解得a4＝
，a5＝
，∴q＝3，
∴a6＋a7＝a5（q＋q2）＝18.
答案：
18
15．解析：
由题意可知3a1+32a2+…+3nan=3n-2.①
当n=1时,a1=
;
当n≥2时,3a1+32a2+…+3n-1an-1=3（n-1）-2,②
①-②,得3nan=3,an=
此时,令n=1,有a1=1,与a1=
相矛盾.
故an=
答案:
an=
16.解析：
由题意知,若{an}为调和数列,则
为等差数列,∴由
为调和数列,可得数列{xn}为等差数列.由等差数列的性质知,x5+x16=x1+x20=x2+x19=…=x10+x11=
=20.
答案:
20
三、解答题：
本大题共3小题，满分45分．
17解：
（1）由已知得an＋1＝a
＋2an，
∴an＋1＋1＝a
＋2an＋1＝（an＋1）2
∵a1＝2，∴an＋1＋1＝（an＋1）2>0，
∴lg（1＋an＋1）＝2lg（1＋an）
即
＝2，且lg（1＋a1）＝lg3
∴{lg（1＋an）}是首项为lg3，公比为2的等比数列．
（2）由
（1）知，lg（1＋an）＝2n－1·lg3＝lg32n－1
∴1＋an＝32n－1
∴an＝32n－1－1.
18.解：
（1）由题意
又当n≥2时,由an+1-an=（2Sn+1）-（2Sn-1+1）=2an,
得an+1=3an.
所以,数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*.
（2）设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1.
当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3.
设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.
当n≥3时,Tn=3
所以Tn
19.解：
（1）设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1
由已知可得
解得a1=1,d=-1.
故数列{an}的通项公式为an=2-n.
（2）由
（1）知
从而数列
n项和为
20．解：
（1）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝－6，a6＝0.
∴
，解得
，
∴an＝－10＋（n－1）×2＝2n－12.
（2）设等比数列{bn}的公比为q.
∵b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8.
∴－8q＝－24，∴q＝3.
∴{bn}的前n项和为
Sn＝
＝
＝4（1－3n）．
21.解：
（1）等比数列{bn}的公比q
所以b1
设等差数列{an}的公差为d.
因为a1=b1=1,a14=b4=27,
所以1+13d=27,即d=2.
所以an=2n-1（n=1,2,3,…）.
（2）由
（1）知,an=2n-1,bn=3n-1.
因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.
从而数列{cn}的前n项和
Sn=1+3+…+（2n-1）+1+3+…+3n-1
22.解析:
（1）由题意,得Sn=bn+r,
当n≥2时,Sn-1=bn-1+r,an=Sn-Sn-1=bn-1（b-1）.
∵b>0,且b≠1,∴当n≥2时,数列{an}是以b为公比的等比数列.
又a1=b+r,a2=b（b-1）
r=-1.
（2）由
（1）知,an=（b-1）bn-1=2n-1,n∈N*,
∴bn
Tn
两式相减,得
故Tn
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