二次函数平行四边形存在性问题例题doc.docx
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二次函数平行四边形存在性问题例题
一．解答题（共9小题）
1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点
构成的四边形为平行四边形若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于
点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，
B，P为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试
说明理由．
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3．已知：
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点
分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若
（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP
为平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若把
（1）中的抛物线向左平移个单位，则图象与x轴交于F、N（点F在
点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，
使点Q到E、N两点的距离之差最大若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请
说明理由．
4．已知：
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点
分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于
点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA
﹣QO|的取值范围．
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5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：
四边形PEFM的周长是否有最大值如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．
（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N
四点构成以OC为一边的平行四边形若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c
经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求
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出点E的坐标和△BEC面积的最大值
（3）在
（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2
7．如图，抛物线y=ax+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（﹣
垂足为E，交AB于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；
（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线
AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出
符合要求的M、N两点的横坐标．
8．已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两
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点．
（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；
（2）在
（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l
于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．
9．抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原
点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上
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2017年05月03日99的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共9小题）
1．（2016?
安顺）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点
构成的四边形为平行四边形若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【解答】解：
（1）设抛物线的解析式为y=ax+bx+c（a≠0），
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：
y=x2﹣2x﹣；
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（2）∵抛物线的解析式为：
y=x2﹣2x﹣，
∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，﹣），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣，
当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；
（3）存在．如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），
∴N1（4，﹣）；
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②当点N在x轴上方时，
如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，
在△AN2D与△M2CO中，
∴△AN2D≌△M2CO（ASA），
∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．
∴x2﹣2x﹣=，
解得x=2+
或x=2﹣
，
∴N2（2+
，），N3（2﹣
，）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣
），（2+
，）或（2﹣
，）．
2．（2016?
十堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于
点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，
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B，P为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试
说明理由．
【解答】解：
（1）当y=0时，﹣3x﹣3=0，x=﹣1∴A（﹣1，0）
当x=0时，y=﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴
∴，
抛物线的解析式是：
y=x2﹣2x﹣3．
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得：
x1=﹣1，x2=3
∴B（3，0）．
（2）由
（1）知B（3，0），C（0，﹣3）直线BC的解析式是：
y=x﹣3，设M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则E（x，x2﹣2x﹣3）
∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+；
∴当x=时，ME的最大值为．
（3）答：
不存在．
由
（2）知ME取最大值时ME=，E（，﹣），M（，﹣）
∴MF=，BF=OB﹣OF=．
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设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM．
∴P1（0，﹣）或P2（3，﹣）
当P1（0，﹣）时，由
（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣
∴P1不在抛物线上．
当P2（3，﹣）时，由
（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣
∴P2不在抛物线上．
综上所述：
在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形．
3．（2016?
义乌市模拟）已知：
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线
与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若
（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP
为平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若把
（1）中的抛物线向左平移个单位，则图象与x轴交于F、N（点F在
点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，
使点Q到E、N两点的距离之差最大若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请
说明理由．
【解答】解：
（1）连接CH
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由轴对称得CH⊥AB，BH=BO，CH=CO
∴在△CHA中由勾股定理，得
222
AC=CH+AH
∵直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点
∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=8
∴B（0，6），A（8，0）
∴OB=6，OA=8，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=10
设C（a，0），∴OC=a
∴CH=a，AH=4，AC=8﹣a，在Rt△AHC中，由勾股定理，得（8﹣a）2=a2+42解得
a=3
C（3，0）
设抛物线的解析式为：
y=ax2+bx+c，由题意，得
解得：
∴抛物线的解析式为：
∴
（2）由
（1）的结论，得
D（）
∴DF=
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设BC的解析式为：
y=kx+b，则有
解得
直线BC的解析式为：
y=﹣2x+6
设存在点P使四边形ODAP是平行四边形，P（m，n）
作PE⊥OA于E，HD交OA于F．
∴∠PEO=∠AFD=90°，PO=DA，PO∥DA
∴∠POE=∠DAF
∴△OPE≌△ADF
∴PE=DF=n=
∴
×=
P（）
当x=时，
y=﹣2×+6=1≠
∴点P不再直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点P．
（3）由题意得，平移后的解析式为：
∴对称轴为：
x=2，
当x=0时，y=﹣
当y=0时，0=
解得：
∵F在N的左边
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F（，0），E（0，﹣），N（，0）
连接EF交x=2于Q，设EF的解析式为：
y=kx+b，则有
解得：
∴EF的解析式为：
y=﹣x﹣
∴
解得：
∴Q（2，）．
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4．（2016?
深圳模拟）已知：
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与
x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA
﹣QO|的取值范围．
【解答】解：
（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）
∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），
∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．
将x=0，y=6代入抛物线的解析式，
得．（2分）
∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为
．（3分）
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（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．
直线BC的解析式为y=﹣2x+分）
设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．
解法一：
如图，作OP∥AD交直线BC于点P，
连接AP，作PM⊥x轴于点M．
∵OP∥AD，
∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．
∴，
即．
解得．
经检验是原方程的解．
此时点P的坐标为．（5分）
但此时，OM＜GA．
∵，
∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P（6分）
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解法二：
如图，取OA的中点E，
作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于
点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．
可得△PEN≌△DEG．
由，可得E点的坐标为（4，0）．
NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．
∴点P的坐标为．（5分）
∵x=时，，
∴点P不在直线BC上．
∴直线BC上不存在符合条件的点P．（6分）
（3）|QA﹣QO|的取值范围是．（8分）
当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK，则|QA
﹣QO|=0，
当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，
直线AH的解析式为：
y=﹣x+6，直线BC的解析式为：
y=﹣2x+6，
联立可得：
交点为（0，6），
∴OQ=6，AQ=10，
∴|QA﹣QO|=4，
∴|QA﹣QO|的取值范围是：
0≤|QA﹣QO|≤4．
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5．（2016?
山西模拟）如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角
边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：
四边形PEFM的周长是否有最大值如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．
（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N
四点构成以OC为一边的平行四边形若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°，可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0），
又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，
17第17页（共29页）
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得，
解得
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；
（2）四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：
由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，
∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，
22
则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a+4a）]=﹣2（a﹣1）+10，
（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下：
∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4可知顶点坐标（2，4），
∴知道C点正好是顶点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度，
过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，
这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4解得x1=2+，x2=2﹣
∴N点坐标为N1（2+，﹣4），N2（2﹣，﹣4）．
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6．（2015?
葫芦岛）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
2
抛物线y=ax+x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值
（3）在
（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点
Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），
∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，
∴
解得
∴y=﹣x2+x+3．
（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，
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，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则点M的坐标是（x，﹣x+3），
∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，
∴S△BEC=S△BEM+S△MEC
=
=×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x
=﹣（x﹣2）2+3，
∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，，
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由
（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=﹣x+3上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），
∴AM==，
∴AM所在的直线的斜率是：
；
∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则
解得或，
∵x＜0，
∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．
②如图3，，
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由
（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=﹣x+3上，
∴点M的坐标是（2，
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